Dans quelles conditions une application entre variétés différentiables est-elle homotope à un plongement lisse ? L'objet de la thèse est de compléter les obstructions rationnelles déjà connues, de façon à réduire le problème initial de topologie différentiable à un problème de calcul algébrique. Le théorème principal de la thèse permet de construire un plongement entre variétés lisses dans une classe d'homotopie rationnelle d'une application donnée, lorsque le problème algébrique a une solution. Plusieurs cas génériques de réalisabilité sont présentés, ainsi que des exemples mettant en évidence les nouvelles obstructions au plongement. Enfin, l'utilisation des techniques de chirurgie plongée dans le rang métastable aboutit à de nouveaux théorèmes de réalisation de plongements à cohomologie rationnelle près dans une variété fixée. / When does there exist a smooth embedding in a homotopy class of map between differentiable manifolds ? Rational homotopy theory provides computation machinery to such questions in differential topology. The purpose of this thesis is the completion of rational obstructions which prevent a map from being an embedding. More precisely, we show that a solution to the underlying algebraic problem gives rise to a smooth embedding with the same rational invariants. Several generic cases of realizability are detailed, as well as some examples which illustrate our new obstructions. We also use techniques of embedded surgery in metastable range, in order to state a theorem about realizability of an embedding up to rational cohomolgy into a fixed manifold.

Ce travail de thèse se situe dans le domaine de la géométrie différentielle et a pour objectif l'étude du problème du plongement isométrique généralisé de fibrés vectoriels, dont la résolution permet, entre autres, de montrer l'existence d'analogues des lois de conservation en l'absence de symétries pour des équations aux dérivées partielles. Pour résoudre ce problème, nous le traduisons en termes d'un système différentiel extérieur, et l'existence ou non de variétés intégrales permet non seulement d'affirmer l'existence du plongement isométrique généralisé mais aussi de préciser la dimension de l'espace d'arrivé. En utilisant donc la théorie de Cartan-Kähler, nous résolvons le problème du plongement isométrique généralisé dans le cas des lois de conservations, i.e., lorsque la forme différentielle fermée covariante à valeurs dans le fibré est de degré un de moins que la dimension de la variété. Un corollaire de ce résultat est l'existence de lois de conservations pour le tenseur énergie-impulsion. Nous donnons aussi une réponse positive pour le plongement de 1-formes différentielles et pour le cas d'une 2-forme différentielle anti-auto-duale sur une variété de dimension 4 à valeurs dans un fibré de rang 3 muni d'une métrique et d'une connexion.

Cette thèse est subdivisée en deux parties. Dans la premier, je étudie la normalité projective de variétés symétriques, tandis que dans la deuxième je prouve des résultats partiels sur la classification de variétés symétriques de Fano (i.e. avec fibré anti-canonique ample). Dans [R. Chirivì, A. Maffei, Projective normality of complete symmetric varieties, Duke Math. J. 122 (1) (2004) 93-123], les authors ont prouvé la surjectivité du produit de sections de deux fibrés en droites globalement engendrés sur le plongement magnifique d'un espace symétrique (adjoint). Donné deux fibrés en droites amples sur une variété symétrique toroïdale compacte et lisse, je prouve deux critères pour la surjectivité du produit de sections. Grace à tels critères on se peut réduire à étudier le même problème sur la variété torique compacte (respectivement ouverte) associé. De plus, j'ai trouvé des familles de variétés symétriques toroïdales complètes, en particulier lesquelles avec rang 2, telles que le produit de sections de n'import quel fibré en droites ample est surjectif. Dans la deuxième part de ma thèse, j'ai d'abord classifié les variétés symétriques de Fano avec rang arbitraire et que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements le long d'orbites fermées. Quand le rang est au plus trois, j'ai obtenu des résultats plus précis. Les variétés symétriques projectives avec rang un sont tous lisse et magnifique par un résultat classique dû à Akhiezer. J'ai classifié les variétés symétriques toroïdales projectives lisses de rang 2 dont le fibré anti-canonique est ample, respectivement globalement engendré. De plus, j'ai classifié les variétés symétriques de Fano avec rang 3 que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements des sous-variétés G-stables. On peut observer que n'import quelle variété symétrique complete est dominé par une variété que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements des sous-variétés G-stables de codimension 2.

Les schémas de routage locaux basés sur des coordonnées prises dans le plan hyperbolique ont attiré un intérêt croissant depuis quelques années. Cependant, les solutions proposées sont toutes appliquées à des réseaux au topologie aléatoire et au nombre de nœuds limités. Dans le même temps, plusieurs travaux se sont concentrés sur la création de modèle topologique basé sur les lois de la géométrie hyperbolique. Dans ce cas, Il est montré que les graphes ont des topologies semblables à Internet et qu'un routage local hyperbolique atteint une efficacité proche de la perfection. Cependant, ces graphes ne garantissent pas le taux de réussite du routage même si aucune panne ne se produit. Dans cette thèse, l'objectif est de construire un système passant à l'échelle pour la création de réseau recouvrant capable de fournir à ses membres un service d'adressage et de routage résilient dans un environnement dynamique. Ensuite, nous étudions de quelle manière les réseaux P2PTV pourraient supporter un nombre d'utilisateur croissant. Dans cette thèse, nous essayons de répondre à cette question en étudiant les facteurs d'efficacité et de passage à l'échelle dans un système de diffusion vidéo P2P typique. Au travers des données fournies par Zattoo, producteur de réseau P2PTV, nous réalisons des simulations dont les résultats montrent qu'il y a encore des obstacles à surmonter avant que les réseaux P2P de diffusion vidéo puissent dépendre uniquement de leurs utilisateurs. / Local routing schemes based on virtual coordinates taken from the hyperbolic plane have attracted considerable interest in recent years.However, solutions have been applied to ad-hoc and sensor networks having a random topology and a limited number of nodes. In other hand, some research has focused on the creation of network topology models based on hyperbolic geometric laws. In this case, it has been shown that these graphs have an Internet-like topology and that local hyperbolic routing achieves a near perfect efficiency. However, with these graphs, routing success is not guaranteed even if no failures happen. In this thesis, we aim at building a scalable system for creating overlay networks on top of the Internet that would provide reliable addressing and routing service to its members in a dynamic environment.Next, we investigate how well P2PTV networks would support a growing number of users. In this thesis, we try to address this question by studying scalability and efficiency factors in a typical P2P based live streaming network. Through the use of the data provided by Zattoo a production P2PTV network, we carry out simulations whose results show that there are still hurdles to overcome before P2P based live streaming could depend uniquely of their users.

Le but principal de ce manuscrit est de montrer que certaines familles de graphes sont des graphes plongeables dans l'hypercube. Un problème d'une autre nature sera traité, il concerne la partition de l'hypercube en des cycles sommet-disjoints de longueur paires. Nous prouvons que l'hypercube de dimension n peut être partitionné en k cycles sommet-disjoints si k

The so-called Web 2.0 revolution has fundamentally changed the way people interact with the Internet. The Web has turned from a read-only infrastructure to a collaborative platform. By expressing their preferences and sharing private information, the users benefit from a personalized Web experience. Yet, these systems raise several problems in terms of \emph{privacy} and \emph{scalability}. The social platforms use the user information for commercial needs and expose the privacy and preferences of the users. Furthermore, centralized personalized systems require costly data-centers. As a consequence, existing centralized social platforms do not exploit the full extent of the personalization possibilities. In this thesis, we consider the design of social networks and social information services in the context of \emph{peer-to-peer} (P2P) networks. P2P networks are decentralized architecture, thus the users participates to the service and control their own data. This greatly improves the privacy of the users and the scalability of the system. Nevertheless, building social systems in a distributed context also comes with many challenges. The information is distributed among the users and the system has be able to efficiently locate relevant data. The contributions of this thesis are as follow. We define the \emph{cold start link prediction} problem, which consists in predicting the edges of a social network solely from the social information of the users. We propose a method based on a \emph{probabilistic graph} to solve this problem. We evaluate it on a dataset from Flickr, using the group membership as social information. Our results show that the social information indeed enables a prediction of the social network. Thus, the centralization of the information threatens the privacy of the users, hence the need for decentralized systems. We propose \textsc{SoCS}, a \emph{decentralized} algorithm for \emph{link prediction}. Recommending neighbors is a central functionality in social networks, and it is therefore crucial to propose a decentralized approach as a first step towards P2P social networks. \textsc{SoCS} relies on gossip protocols to perform a force-based embedding of the social networks. The social coordinates are then used to predict links among vertices. We show that \textsc{SoCS} is adapted to decentralized systems at it is churn resilient and has a low bandwidth consumption. We propose \textsc{GMIN}, a \emph{decentralized} platform for \emph{personalized services} based on social information. \textsc{GMIN} provides each user with neighbors that share her interests. The clustering algorithm we propose takes care to encompass all the different interests of the user, and not only the main ones. We then propose a personalized \emph{query expansion} algorithm (\textsc{GQE}) that leverages the \textsc{GMIN} neighbors. For each query, the system computes a tag centrality based on the relations between tags as seen by the user and her neighbors.

Le théorème de Petri affirme que l'image canonique d'une courbe lisse non hyperelliptique de genre g>=4 définie sur un corps algébriquement clos est une intersection d'hypersurfaces quadriques et cubiques. De plus, on peut exhiber un système d'équations pour cette image; il s'agit ici de résultats de Petri (1923) transcrits dans le langage moderne par Saint-Donat (1973). On sait par ailleurs que l'espace des modules des courbes lisses n'est pas propre, son bord étant constitué des courbes stables. C'est pourquoi il est naturel de chercher des énoncés similaires valables pour les courbes stables et d'examiner la dégénérescence du système d'équations d'une courbe lisse vers une courbe stable. <br />Dans cette thèse, on envisage d'une part le cas d'une courbe stable ayant un seul point double ordinaire et dont la normalisée est hyperelliptique, et d'autre part le cas d'une courbe stable dont le graphe est planaire. De plus, on entreprend l'étude du plongement canonique d'une courbe stable définie sur un anneau de valuation discrète. Quel que soit le contexte, la méthode employée pour aboutir à des théorèmes de Petri est la suivante:<br />-- description du faisceau canonique et construction d'une base bien adaptée de l'espace de ses sections globales; <br />-- construction de quadriques et cubiques dans l'idéal canonique;<br />-- démonstration que ces éléments engendrent l'idéal canonique.<br /><br />Ce mémoire contient également de nouveaux éléments biographiques concernant le mathématicien allemand Karl Petri.

La condition de monotonie pour les sous-variétés lagrangiennes a été introduite par Oh en 1993. C'est une version relative d'une condition définie par Floer pour les variétés symplectiques. Ces conditions permettent d'obtenir la bonne définition d'homologies de type Floer, en particulier de l'homologie de Floer lagrangienne, outil très utile pour l'étude de plongements lagrangiens.<br /> <br />Dans cette thèse, nous exploitons les hypothèses de monotonie en théorie de Floer sous deux aspects. Un premier aspect est l'étude d'une nouvelle famille d'exemples de variétés symplectiques monotones et de leurs sous-variétés lagrangiennes monotones. Cette famille d'exemples est construite par découpe symplectique à partir du cotangent de variétés munies d'une action libre du cercle. Un second aspect est la construction d'une homologie de type Floer-Novikov pour des sous-variétés lagrangiennes d'un cotangent qui sont dites monotones sur les lacets. On en déduit de nouveaux résultats d'obstruction de plongements lagrangiens monotones sur les lacets dans le cotangent de variétés qui fibrent sur le cercle.

Cette thèse propose une étude originale de la propagation d'ondes acoustiques dans un guide d'ondes. La méthode consiste à factoriser l'équation des ondes grâce à la technique du plongement invariant: on introduit dans le domaine une frontière mobile, correspondant à une section du guide, et on résout le problème pour la partie du guide comprise entre cette section et une de ses faces. Cela permet d'obtenir un système couplé d'équations différentielles et de faire apparaître un opérateur de type Dirichlet-to-Neumann, solution d'une équation de Riccati. On étudie alors celui-ci à l'aide d'une formule de représentation: l'opérateur est semblable à un semi-groupe linéaire par une transformation homographique.

Le but de la thèse est de relier entre les propriétés de diffusion des variétés riemanniennes et leur géométrie. On veut plonger une famille de variétés riemanniennes dont la métrique est dépendante d'un paramètre t dans un espace de Hilbert par ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t)) telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G.P.S et donne beaucoup d'informations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de la chaleur non linéaire sur (M, g(t)) telle que g(t) soit de volume constant. Finalement, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'avérait vraie, on pourrait plonger (M, g(t)) dans un espace de Hilbert à l'aide de P.