L'objectif de la thèse est l'étude mathématique et l'analyse numérique du problème non linéaire de Sobolev. Un premier chapitre est consacré à l'analyse a priori pour le problème de Sobolev où on utilise des méthodes de semi-discrétisation explicite en temps. Des estimations d'erreurs ont été obtenues assurant que les schémas numériques utilisés convergent lorsque le pas de discrétisation en temps et le pas de discrétisation en espace tendent vers zéro. Dans le second chapitre, on s'intéresse au problème de Sobolev singulièrement perturbé. En vue de la stabilité des schémas numériques, on utilise dans cette partie des méthodes numériques implicites (la méthode d'Euler et la méthode de Crank- Nicolson) pour discrétiser le problème par rapport au temps. Dans le troisième chapitre, on présente des applications et des illustrations où on utilise le logiciel "FreeFem++". Dans le dernier chapitre, on considère une équation de type Sobolev et on s'intéresse à la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori pour la discrétisation de cette équation par la méthode des éléments finis conforme en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. La borne supérieure est globale en espace et en temps et permet le contrôle effectif de l'erreur globale. A la fin du chapitre, on propose un algorithme adaptatif qui permet d'atteindre une précision relative fixée par l'utilisateur en raffinant les maillages adaptativement et en équilibrant les contributions en espace et en temps de l'erreur. On présente également des essais numériques. / The purpose of this work is the mathematical study and the numerical analysis of the nonlinear Sobolev problem. A first chapter is devoted to the a priori analysis for the Sobolev problem, where we use an explicit semidiscretization in time. A priori error estimates were obtained ensuring that the used numerical schemes converge when the time step discretization and the spatial step discretization tend to zero. In a second chapter, we are interested in the singularly perturbed Sobolev problem. For the stability of numerical schemes, we used in this part implicit semidiscretizations in time (the Euler method and the Crank-Nicolson method). Our estimates of Chapters 1 and 2 are confirmed in the third chapter by some numerical experiments. In the last chapter, we consider a Sobolev equation and we derive a posteriori error estimates for the discretization of this equation by a conforming finite element method in space and an implicit Euler scheme in time. The upper bound is global in space and time and allows effective control of the global error. At the end of the chapter, we propose an adaptive algorithm which ensures the control of the total error with respect to a user-defined relative precision by refining the meshes adaptively, equilibrating the time and space contributions of the error. We also present numerical experiments.

Dans cette thèse, nous étudions l'équation de la chaleur couplée avec la loi de Darcy à travers de la viscosité non-linéaire qui dépend de la température pour les dimensions d=2,3 (Hooman et Gurgenci ou Rashad). Nous analysons ce problème en introduisant la formulation variationnelle équivalente et en la réduisant à une simple équation de diffusion-convection pour la température où la vitesse dépend implicitement de la température.Nous démontrons l'existence de la solution sans la restriction sur les données par la méthode de Galerkin et du point fixe de Brouwer. L'unicité globale est établie une fois la solution est légèrement régulière et les données se restreignent convenablement. Nous introduisons aussi une formulation variationnelle alternative équivalente. Toutes les deux formulations variationnelles sont discrétisées par quatre schémas d'éléments finis pour un domaine polygonal ou polyédrique. Nous dérivons l'existence, l'unicité conditionnée, la convergence et l'estimation d'erreur a priori optimale pour les solutions des trois schémas. Par la suite, ces schémas sont linéarisés par des algorithmes d'approximation successifs et convergentes. Nous présentons quelques expériences numériques pour un problème modèle qui confirme les résultats théoriques de convergence développées dans ce travail. L'estimation d'erreur a posteriori est établie avec deux types d'indicateurs d'erreur de linéarisation et de discrétisation. Enfin, nous montrons des résultats numériques de validation. / In this thesis, we study the heat equation coupled with Darcy's law by a nonlinear viscosity depending on the temperature in dimension d=2,3 (Hooman and Gurgenci or Rashad). We analyse this problem by setting it in an equivalent variational formulation and reducing it to an diffusion-convection equation for the temperature where the velocity depends implicitly on the temperature.Existence of a solution is derived without restriction on the data by Galerkin's method and Brouwer's Fixed Point. Global uniqueness is established when the solution is slightly smoother and the dataare suitably restricted. We also introduce an alternative equivalent variational formulation. Both variational formulations are discretized by four finite element schemes in a polygonal or polyhedral domain. We derive existence, conditional uniqueness, convergence, and optimal a priori error estimates for the solutions of the three schemes. Next, these schemes are linearized by suitable convergent successive approximation algorithms. We present some numerical experiments for a model problem that confirm the theoretical rates of convergence developed in this work. A posteriori error estimates are established with two types of errors indicators related to the linearisation and discretization. Finally, we show numerical results of validation.

This work is dedicated to the control of the accuracy of computational simulations of sound propagation and scattering. Assuming time-harmonic behaviour, the mathematical models are given as boundary value problems for the Helmholtz equation <i>Delta u+k2u=0 </i> in <i>Oméga</i>. A distinction is made between interior, exterior and coupled problems and this work focuses mainly on interior uncoupled problems for which the Helmholtz equation becomes singular at eigenfrequencies. As in other application fields, error control is an important issue in acoustic computations. It is clear that the numerical parameters (mesh size h and degree of approximation p) must be adapted to the physical parameter k. The well known ‘rule of the thumb’ for the h version with linear elements is to resolve the wavelength <i>lambda=2 pi k-1</i> by six elements characterising the approximability of the finite element mesh. If the numerical model is stable, the quality of the numerical solution is entirely controlled by the approximability of the finite element mesh. The situation is quite different in the presence of singularities. In that case, <i>stability</i> (or the lack thereof) is equally (sometimes more) important. In our application, the solutions are ‘rough’, i.e., highly oscillatory if the wavenumber is large. This is a singularity inherent to the differential operator rather than to the domain or the boundary conditions. This effect is called the <i>k-singularity</i>. Similarly, the discrete operator (“stiffness” matrix) becomes singular at eigenvalues of the discretised interior problem (or nearly singular at damped eigenvalues in solid-fluid interaction). This type of singularities is called the <i>lambda-singularities</i>. Both singularities are of global character. Without adaptive correction, their destabilizing effect generally leads to large error of the finite element results, even if the finite element mesh satisfies the ‘rule of the thumb’. The k- and lambda-singularities are first extensively demonstrated by numerical examples. Then, two <i>a posteriori</i> error estimators are developed and the numerical tests show that, due to these specific phenomena of dynamo-acoustic computations, <i>error control cannot, in general, be accomplished by just ‘transplanting’ methods that worked well in static computations</i>. However, for low wavenumbers, it is necessary to also control the influence of the geometric (reentrants corners) or physical (discontinuities of the boundary conditions) singularities. An <i>h</i>-adaptive version with refinements has been implemented. These tools have been applied to two industrial examples : the GLT, a bi-mode bus from Bombardier Eurorail, and the Vertigo, a sport car from Gillet Automobiles. As a conclusion, it is recommanded to replace the rule of the thumb by a criterion based on the control of the influence of the specific singularities of the Helmholtz operator. As this aim cannot be achieved by the <i>a posteriori</i> error estimators, it is suggested to minimize the influence of the singularities by modifying the formulation of the finite element method or by formulating a “meshless” method.

Ce mémoire composé de quatre chapitres, réunit des résultats sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des Equations Primitives (EPs) des océans et de l'atmosphère, en dimension deux et trois d'espace (Chapitres 1--3), ainsi qu'une étude sur le comportement asymptotique des EPs quand le nombre de Rossby tend vers zero (Chapitre 4) ; les conditions aux limites sont de type périodique dans tous les cas.<br /><br />Dans le premier chapitre, on considère les EPs de l'océan en dimension deux d'espace (écoulement tridimensionnel indépendant de la variable y). On montre d'abord l'existence globale en temps d'une solution faible ainsi que l'existence et l'unicité d'une solution forte. Puis, on prouve l'existence d'une solution plus régulière (jusqu' à la régularité C-infini).<br /><br />Dans le deuxième chapitre on montre, pour un modèle semblable à celui du premier chapitre que, pour une force analytique en temps à valeurs dans un espace du type de Gevrey, et une donnée initiale dans un espace de Sobolev convenable, les solutions des EPs appartiennent, sur un certain intervalle de temps, à un espace de Gevrey.<br /><br />Le troisième chapitre est dans la continuité naturelle des deux premiers chapitres. On considère ici les EPs en dimension trois d'espace et on étudie la régularité du type de Sobolev et du type de Gevrey pour les solutions.<br /><br />Le dernier chapitre de la thèse est dédié à l'étude du comportement asymptotique des EPs (sous la forme introduite au premier chapitre), quand le nombre de Rossby tend vers zero. On arrive ici a "moyenner" la solution exacte très oscillante quand le nombre de Rossby est petit, en utilisant une méthode de renormalisation.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématique théorique et numérique des équations deNavier-Stokes compressibles en régime barotrope. La plupart des travaux présentés ici combinent desméthodes d’analyse des équations aux dérivées partielles et des méthodes d’analyse numérique afin de clarifierla notion de solution faible ainsi que les mécanismes de convergence de méthodes numériques approximant cessolutions faibles. En effet les équations de Navier-Stokes compressibles sont fortement non linéaires et leuranalyse mathématique repose nécessairement sur la structure de ces équations. Plus précisément, nousprouvons dans la partie théorique l’existence de solutions faibles pour un modèle d’écoulement compressibled’entropie variable où l’entropie du système est transportée. Nous utilisons les méthodes classiques permettantde prouver l’existence de solutions faibles aux équations de Navier-Stokes compressibles en regime barotrope.Nous étudions aussi dans cette partie la réduction de dimension 3D/2D dans les équations de Navier-Stokescompressibles en utilisant la méthode d’énergie relative. Dans la partie numérique nous nous intéressons auxestimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques approximant les solutions faibles deséquations de Navier-Stokes compressibles. Ces estimations d’erreur sont obtenues à l’aide d’une versiondiscrète de l’énergie relative satisfaite par les solutions discrètes de ces schémas. Ces estimations d’erreur sontobtenues pour un schéma numérique académique de type volumes finis/éléments finis ainsi que pour le schémanumérique Marker-and-Cell. Nous prouvons aussi que le schéma Marker-and-Cell est inconditionnellement etuniformément asymptotiquement stable en régime bas Mach. Ces résultats constituent les premiers résultatsd’estimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques pour les équations de Navier-Stokescompressibles en régime barorope. / In this thesis, we deal with mathematical and numerical analysis of compressible Navier-Stokes equations inbarotropic regime. Most of these works presented here combine mathematical analysis of partial differentialequations and numerical methods with aim to shred more light on the construction of weak solutions on oneside and on the convergence mechanisms of numerical methods approximating these weak solutions on theother side. Indeed, the compressible Navier-Stokes equations are strongly nonlinear and their mathematicalanalysis necessarily relies on the structure of equations. More precisely, we prove in the theorical part theexistence of weak solutions for a model a flow of compressible viscous fluid with variable entropy where theentropy is transported. We use the classical techniques to prove the existence of weak solutions for thecompressible Navier-Stokes equations in barotropic regime. We also investigate the 3D/2D dimensionreduction in the compressible Navier-Stokes equations using the relative energy method. In the numerical wedeal with unconditionally error estimates for numerical schemes approximating weak solutions of thecompressible Navier-Stokes equations. These error estimates are obtained by using the discrete version of therelative energy method. These error estimates are obtained for a academic finite volume/finite element schemeand for the Marker-and-Cell scheme. We also prove that the Marker-and-cell scheme is unconditionally anduniformly asymptotically stable at the Low Mach number regime. These are the first results onunconditionally error estimates for numerical schemes approximating the compressible Navier-Stokesequations in barotropic regime.

Nous présentons dans ces travaux des méthodes de résolution duales des problèmes de contact avec frottement de Coulomb. De tels problèmes sont souvent résolus par application de méthodes d'éléments finis formulés en déplacements, vérifiant les équations de compatibilité et les conditions de contact et de frottement. Les méthodes duales consistent en la formulation du problème en termes de contraintes, vérifiant les équations d'équilibre local et les conditions de contact et de frottement et permettant d'obtenir une meilleure approximation du champ de contraintes qu'avec les méthodes classiques. <br /><br />Nous abordons dans cette thèse de nombreux points relatifs à la mise en place de la méthode d'éléments finis formulée en contraintes, à la résolution du problème via diverses méthodes numériques et à la prise en compte des conditions de contact et de frottement. Des comparaisons entre les résultats obtenus par cette méthode et par une méthode classique sont effectuées et montrent le gain de précision en termes de contraintes.<br /><br />Deux applications directes de la méthode sont proposées, la première est l'estimation d'erreur, elle permet d'évaluer l'erreur due à la discrétisation du problème de contact et de frottement par la méthode des éléments finis. La seconde est l'amélioration de la solution par raffinement ou remaillage, qui vise à diminuer cette erreur tout en minimisant les temps de calcul.

Les écoulements de mélanges de deux fluides incompressibles, miscibles et ayant des densités très différentes sont gouvernés par les équations de Navier-Stokes non-homogène, couplées à une équation de convection-diffusion décrivant l'évolution de la composition du mélange. Nous proposons un algorithme associant la méthode des caractéristiques, pour la discrétisation des termes de transport, à la méthode des éléments finis avec une adaptation automatique de maillage, et démontrons que la solution de cet algorithme converge vers la solution exacte lorsque les pas de discrétisation tendent vers zéro. La robustesse de cet algorithme permet d'obtenir les premiers résultats de simulations numériques directes d'écoulements d'échange à très forte différence de densité, et de les valider par comparaison avec des expériences. Des écoulements de nuages denses sur des pentes sont simulés, et permettent d'analyser l'influence de la différence de densité sur les écoulements d'avalanches.

Ce travail concerne la simulation d'écoulements viscoélastiques compressibles appliquée à l'injection de polymères. La compressibilité est intégrée dans Rem3D en supposant que la densité du matériau suit une loi d'évolution du type loi de Tait. La conservation de la masse est écrite comme une équation en vitesse, pression et température, à travers des coefficients de compressibilité isotherme et de dilatation isobare. Le système obtenu est désigné "Stokes compressible" et sa résolution numérique est faite par la méthode des éléments finis mixtes. Le système obtenu est non-linéaire et non-symétrique. Le couplage thermique et l'extension à des problèmes avec surface libre sont aussi consid ér és. Le modèle viscoélastique choisi est le modèle Pom-Pom, issu de la dynamique moléculaire. L'extra-contrainte est fonction des propriétés microscopiques du matériau, comme l'orientation moléculaire et son étirement. L'élasticité est vue comme une perturbation dans le problème mécanique, et une méthode de stabilisation du type DEVSS est utilisée. L'orientation et l'étirement sont déterminés par la résolution de deux équations d'évolution via une méthode espace-temps Galerkin discontinu. Finalement, la thermoviscoélasticité est abordée brièvement. Dans le contexte de l'injection de polymères, REM3D couvre aujourd'hui toutes les phases du proc éd é. Néanmoins, la solidification et la transition liquide-solide sont approximées par un comportement du type liquide de très haute viscosité. L'introduction de la compressibilité permet de compenser le retrait du matériau par un apport supplémentaire de matière. D'un autre côté, la prise en compte d'un comportement viscoélastique détecte d'éventuelles anisotropies des propriétés de la pièce injectée. Les diverses comparaisons des résultats obtenus avec la littérature et l'expérience montre une bonne concordance, validant les modèles implémentés.

Le travail de thèse exposé dans ce manuscrit porte sur le développement et l'analyse numérique de schémas volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour la discrétisation des équations de Darcy et des équations de Stokes. Un point commun à ces problèmes, qui motive l'emploi des schémas DDFV, est que leur résolution par volumes finis nécessite d'approcher toutes les composantes du gradient de la solution. On étudie tout d'abord la discrétisation du problème de diffusion scalaire anisotrope pour des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Fourier. Le schéma que nous proposons permet de construire un algorithme de Schwarz discret associé à une décomposition de domaine sans recouvrement qui converge vers la solution obtenue sans décomposition. Des expériences numériques illustrent les résultats théoriques d'estimation d'erreur et de convergence des algorithmes de Schwarz DDFV. On se propose ensuite de discrétiser des problèmes de Stokes avec une viscosité variable. Les schémas DDFV correspondant sont en général mal posés. Pour y remédier, on stabilise le bilan de masse par différents termes en pression. Dans un second temps, on considère le cas où la viscosité est discontinue. Ces discontinuités doivent être prise en compte par le schéma pour surmonter la perte de consistance des contraintes à l'interface. Ensuite une première étude de l'extension des schémas DDFV aux équations de Navier-Stokes est présentée aussi qu'une généralisation des résultats pour le problème de Stokes avec une viscosité régulière dans le cas tridimensionnel.

On considère l'équation de convection-diffusion-réaction instationnaire. On s'intéresse à la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori pour la discrétisation de cette équation par la méthode des volumes finis centrés par mailles en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. Les estimations, qui sont établies dans la norme d'énergie, bornent l'erreur entre la solution exacte et une solution post-traitée à l'aide de reconstructions H(div, Ω)-conformes du flux diffusif et du flux convectif, et d'une reconstruction H_0^1(Ω)-conforme du potentiel. On propose un algorithme adaptatif qui permet d'atteindre une précision relative fixée par l'utilisateur en raffinant les maillages adaptativement et en équilibrant les contributions en espace et en temps de l'erreur. On présente également des essais numériques. Enfin, on dérive une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie augmentée d'une norme duale de la dérivée en temps et de la partie antisymétrique de l'opérateur différentiel. Cette nouvelle estimation est robuste dans des régimes dominés par la convection et des bornes inférieures locales en temps et globales en espace sont également obtenues.