Cette thèse s'intéresse à la résolution d'EDP non linéaire sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n 3 de la forme : . Ces équations ont une structure variationnelle et on cherche des solutions qui minimisent l'énergie : parmi les fonctions u de W1,2 qui vérifient Cf(u)= . Th. Aubin a montré qu'on a toujours : , où cn est une constante qui ne dépend que de la dimension, et que de plus si l'inégalité est stricte, alors l'équation a des solutions minimisantes. Je montre dans mon travail des théorèmes d'existence dans le cas limite où cette inégalité est une égalité en utilisant une notion de « fonction critique » introduite par E. Hebey et M. Vaugon, et je montre différents résultats concernant ces fonctions critiques.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent<br />essentiellement sur l'étude d'opérateurs elliptiques<br />non-linéaires sur des variétés Riemanniennes non-compactes.<br />Ils sont motivés par des questions naturelles provenant de la géométrie Riemannienne ou de la<br />relativité générale.<br /> Le point central étant la recherche et l'étude de<br />métriques d'Einstein (Riemanniennes ou Lorentziennes).

Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus<br />/X/ à coefficients discontinus. Un premier schéma pour le cas<br />unidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiques<br />avec Temps Local. En effet en dimension un les processus /X/ sont<br />solutions de telles équations. On construit une grille sur la droite<br />réelle, qu'une bijection adéquate transforme en une grille uniforme<br />de pas /h/. Cette bijection permet de transformer /X/ en /Y/ qui se<br />comporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel on<br />connaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et le<br />temps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marche<br />aléatoire peut alors être construite, qui converge vers /X/ en racine<br />de /h/. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxième<br />schéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur la<br />droite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à<br />/h/. On montre qu'on peut relier les probabilités de transition de<br />/X/ sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par /X/ sur<br />chacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d'EDP<br />elliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace est<br />ainsi construite, qui permet d'approcher /X/ à nouveau en racine de<br />/h/. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernière<br />approche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève.<br />Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et dePomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique et prouvons que cette extension est maximale et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky-Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-deSitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire. / The aim of this thesis is the mathematical study of families of spacetimes satisfying the Einstein's equations of General Relativity. Two methodsare used in this context.The first part, consisting of the first three chapters of this work,investigates the geometric properties of the Emparan-Reall andPomeransky-Senkov families of 5-dimensional spacetimes. We show that they contain a black-hole region, whose event horizon has non-spherical compact cross sections. We construct an analytic extension, and show its maximality and its uniqueness within a natural class in the Emparan-Reallcase. We further establish the Carter-Penrose diagram for these extensions, and analyse the structure of the ergosurface of the Pomeransky-Senkovspacetimes.The second part focuses on the study of initial data, solutions of theconstraint equations induced by the Einstein's equations. We perform agluing construction between a given family of inital data sets andinitial data of Kerr-Kottler-de Sitter spacetimes, using Corvino'smethod.On the other hand, we construct 3-dimensional asymptotically hyperbolicmetrics which satisfy all the assumptions of the positive mass theorem but the completeness, and which display an energy-momentum vector of arbitry causal type.

Les contributions de cette thèse consistent en trois principaux résultats. Le premier résultat concerne la théorie des perturbations analytique pour les modèles de type Kohn-Sham. Nous montrons, sous certaines conditions techniques, l'existence, l'unicité et l'analyticité de la matrice densité de l'état fondamental du modèle de Hartree-Fock réduit pour des perturbations régulières provenant d'un potentiel extérieur. Notre analyse englobe le cas où le niveau de Fermi de l'état fondamental non-perturbé est une valeur propre dégénérée de l'opérateur de champ moyen et où les orbitales frontières sont partiellement occupées. Le deuxième résultat concerne la construction mathématique de pseudos potentiels pour les modèles Kohn-Sham. Nous définissons l'ensemble des pseudos potentiels semi-locaux à normes conservées de régularité de Sobolev donnée, et nous prouvons que cet ensemble est non-vide et fermé pour une topologie appropriée. Cela nous permet de proposer une nouvelle façon de construire des pseudos potentiels, qui consiste à optimiser sur cet ensemble un critère tenant compte des impératifs de régularité et de transférabilité. Le troisième résultat est une étude numérique du modèle de Hartree-Fock réduit pour les atomes. Nous proposons une méthode de discrétisation et un algorithme de résolution numérique des équations de Kohn-Sham pour un atome soumis à un potentiel extérieur à symétrie cylindrique. Nous calculons les niveaux d'énergie occupés et les nombres d'occupations pour tous les éléments des quatre premières rangées du tableau périodique et considérons le cas d'un atome soumis à un champ électrique uniforme / The contributions of this thesis consist of three main results. The first result is concerned with analytic perturbation theory for Kohn-Sham type models. We prove, under some technical conditions, the existence, uniqueness and analyticity of the perturbed reduced Hartree-Fock ground state density matrix for regular perturbations arising from an external potential. Our analysis encompasses the case when the Fermi level of the unperturbed ground state is a degenerate eigenvalue of the mean-field operator and the frontier orbitals are partially occupied. The second result is concerned with the mathematical construction of pseudo potentials for Kohn-Sham models. We define a set of admissible semi local norm-conserving pseudo potentials of given local Sobolev regularity and prove that this set is non-empty and closed for an appropriate topology. This allows us to propose a new way to construct pseudo potentials, which consists in optimizing on the latter set some criterion taking into account both smoothness and transferability requirements. The third result is a numerical study of the reduced Hartree-Fock model of atoms. We propose a discretization method and an algorithm to solve numerically the Kohn-Sham equations for an atom subjected to a cylindrically-symmetric external potential. We report the computed occupied energy levels and the occupation numbers for all the atoms of the four first rows of the periodic table and consider the case of an atom subjected to a uniform electric-field

L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.