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Thesis (Ph. D.)--Victoria University (Melbourne, Vic.), 2009. / Includes bibliographical references.

<p> Bayesian filtering refers to the process of sequentially estimating the current state of a complex dynamic system from noisy partial measurements using Bayes' rule. This thesis considers Bayesian filtering as applied to an important class of state estimation problems, which is describable by a discrete-time nonlinear state-space model with additive Gaussian noise. It is known that the conditional probability density of the state given the measurement history or simply the posterior density contains all information about the state. For nonlinear systems, the posterior density cannot be described by a finite number of sufficient statistics, and an approximation must be made instead.</p> <p> The approximation of the posterior density is a challenging problem that has engaged many researchers for over four decades. Their work has resulted in a variety of approximate Bayesian filters. Unfortunately, the existing filters suffer from possible divergence, or the curse of dimensionality, or both, and it is doubtful that a single filter exists that would be considered effective for applications ranging from low to high dimensions. The challenge ahead of us therefore is to derive an approximate nonlinear Bayesian filter, which is theoretically motivated, reasonably accurate, and easily extendable to a wide range of applications at a minimal computational cost.</p> <p> In this thesis, a new approximate Bayesian filter is derived for discrete-time nonlinear filtering problems, which is named the cubature Kalman filter. To develop this filter, it is assumed that the predictive density of the joint state-measurement random variable is Gaussian. In this way, the optimal Bayesian filter reduces to the problem of how to compute various multi-dimensional Gaussian-weighted moment integrals. To numerically compute these integrals, a third-degree spherical-radial cubature rule is proposed. This cubature rule entails a set of cubature points scaling linearly with the state-vector dimension. The cubature Kalman filter therefore provides an efficient solution even for high-dimensional nonlinear filtering problems. More remarkably, the cubature Kalman filter is the closest known approximate filter in the sense of completely preserving second-order information due to the maximum entropy principle. For the purpose of mitigating divergence, and improving numerical accuracy in systems where there are apparent computer roundoff difficulties, the cubature Kalman filter is reformulated to propagate the square roots of the error-covariance matrices. The formulation of the (square-root) cubature Kalman filter is validated through three different numerical experiments, namely, tracking a maneuvering ship, supervised training of recurrent neural networks, and model-based signal detection and enhancement. All three experiments clearly indicate that this powerful new filter is superior to other existing nonlinear filters. </p> / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

Cette thèse traite de la solution numérique de deux types de problèmes stochastiques. Premièrement, nous nous intéressons aux EDS fortement oscillantes, c'est-à-dire, les systèmes composés de variables ergodiques évoluant rapidement par rapport aux autres. Nous proposons un algorithme basé sur des résultats d'homogénéisation. Il est défini par un schéma d'Euler appliqué aux variables lentes couplé avec un estimateur à pas décroissant pour approcher la limite ergodique des variables rapides. Nous prouvons la convergence forte de l'algorithme et montrons que son erreur normalisée satisfait un résultat du type théorème limite centrale généralisé. Nous proposons également une version extrapolée de l'algorithme ayant une meilleure complexité asymptotique en satisfaisant les mêmes propriétés que la version originale. Ensuite, nous étudions la solution des EDS de type McKean-Vlasov (EDSPR-MKV) associées à la solution de certains problèmes de contrôle sous un environnement formé d'un grand nombre de particules ayant des interactions du type champ-moyen. D'abord, nous présentons un nouvel algorithme, basé sur la méthode de cubature sur l'espace de Wiener, pour approcher faiblement la solution d'une EDS du type McKean-Vlasov. Il est déterministe et peut être paramétré pour atteindre tout ordre de convergence souhaité. Puis, en utilisant ce nouvel algorithme, nous construisons deux schémas pour résoudre les EDSPR-MKV découplées et nous montrons que ces schémas ont des convergences d'ordres un et deux. Enfin, nous considérons le problème de réduction de la complexité de la méthode présentée tout en respectant la vitesse de convergence énoncée. / This Ph.D. thesis deals with the numerical solution of two types of stochastic problems. First, we investigate the numeric solution to strongly oscillating SDEs, i.e. systems in which some ergodic state variables evolve quickly with respect to the remaining ones. We propose an algorithm that uses homogenization results and consists of an Euler scheme for the slow scale variables coupled with a decreasing step estimator for the ergodic averages of the fast variables. We prove the strong convergence of the algorithm as well as a generalized central limit theorem result for the normalized error distribution. In addition, we propose an extrapolated version applicable under stronger regularity assumptions and which satisfies the same properties of the original algorithm with lower asymptotic complexity. Then, we treat the problem of solving decoupled Forward Backward Stochastic Differential equations of McKean-Vlasov type (MKV-FBSDE) which appear in some stochastic control problems in an environment of a large number of particles with mean field interactions. As a first step, we propose a new algorithm, based on the cubature method on Wiener spaces, to weakly approach the solution of a McKean-Vlasov SDE. It is deterministic and can be parametrized to obtain any given order of convergence. Using this first forward approximation algorithm, we construct two procedures to solve the decoupled MKV-FBSDE and show that they converge with orders one and two under appropriate regularity conditions. Finally, we consider the problem of reducing the complexity of the presented method while preserving the presented convergence rates.

Thesis (MSc (Mathematics))--University of Stellenbosch, 2010. / ENGLISH ABSTRACT: In this thesis, higher order numerical methods for weak approximation of solutions of stochastic differential equations (SDEs) are presented. They are motivated by option pricing problems in finance where the price of a given option can be written as the expectation of a functional of a diffusion process. Numerical methods of order at most one have been the most used so far and higher order methods have been difficult to perform because of the unknown density of iterated integrals of the d-dimensional Brownian motion present in the stochastic Taylor expansion. In 2001, Kusuoka constructed a higher order approximation scheme based on Malliavin calculus. The iterated stochastic integrals are replaced by a family of finitely-valued random variables whose moments up to a certain fixed order are equivalent to moments of iterated Stratonovich integrals of Brownian motion. This method has been shown to outperform the traditional Euler-Maruyama method. In 2004, this method was refined by Lyons and Victoir into Cubature on Wiener space. Lyons and Victoir extended the classical cubature method for approximating integrals in finite dimension to approximating integrals in infinite dimensional Wiener space. Since then, many authors have intensively applied these ideas and the topic is today an active domain of research. Our work is essentially based on the recently developed higher order schemes based on ideas of the Kusuoka approximation and Lyons-Victoir “Cubature on Wiener space” and mostly applied to option pricing. These are the Ninomiya-Victoir (N-V) and Ninomiya- Ninomiya (N-N) approximation schemes. It should be stressed here that many other applications of these schemes have been developed among which is the Alfonsi scheme for the CIR process and the decomposition method presented by Kohatsu and Tanaka for jump driven SDEs. After sketching the main ideas of numerical approximation methods in Chapter 1 , we start Chapter 2 by setting up some essential terminologies and definitions. A discussion on the stochastic Taylor expansion based on iterated Stratonovich integrals is presented, we close this chapter by illustrating this expansion with the Euler-Maruyama approximation scheme. Chapter 3 contains the main ideas of Kusuoka approximation scheme, we concentrate on the implementation of the algorithm. This scheme is applied to the pricing of an Asian call option and numerical results are presented. We start Chapter 4 by taking a look at the classical cubature formulas after which we propose in a simple way the general ideas of “Cubature on Wiener space” also known as the Lyons-Victoir approximation scheme. This is an extension of the classical cubature method. The aim of this scheme is to construct cubature formulas for approximating integrals defined on Wiener space and consequently, to develop higher order numerical schemes. It is based on the stochastic Stratonovich expansion and can be viewed as an extension of the Kusuoka scheme. Applying the ideas of the Kusuoka and Lyons-Victoir approximation schemes, Ninomiya- Victoir and Ninomiya-Ninomiya developed new numerical schemes of order 2, where they transformed the problem of solving SDE into a problem of solving ordinary differential equations (ODEs). In Chapter 5 , we begin by a general presentation of the N-V algorithm. We then apply this algorithm to the pricing of an Asian call option and we also consider the optimal portfolio strategies problem introduced by Fukaya. The implementation and numerical simulation of the algorithm for these problems are performed. We find that the N-V algorithm performs significantly faster than the traditional Euler-Maruyama method. Finally, the N-N approximation method is introduced. The idea behind this scheme is to construct an ODE-valued random variable whose average approximates the solution of a given SDE. The Runge-Kutta method for ODEs is then applied to the ODE drawn from the random variable and a linear operator is constructed. We derive the general expression for the constructed operator and apply the algorithm to the pricing of an Asian call option under the Heston volatility model. / AFRIKAANSE OPSOMMING: In hierdie proefskrif, word ’n hoërorde numeriese metode vir die swak benadering van oplossings tot stogastiese differensiaalvergelykings (SDV) aangebied. Die motivering vir hierdie werk word gegee deur ’n probleem in finansies, naamlik om opsiepryse vas te stel, waar die prys van ’n gegewe opsie beskryf kan word as die verwagte waarde van ’n funksionaal van ’n diffusie proses. Numeriese metodes van orde, op die meeste een, is tot dus ver in algemene gebruik. Dit is moelik om hoërorde metodes toe te pas as gevolg van die onbekende digtheid van herhaalde integrale van d-dimensionele Brown-beweging teenwoordig in die stogastiese Taylor ontwikkeling. In 2001 het Kusuoka ’n hoërorde benaderings skema gekonstrueer wat gebaseer is op Malliavin calculus. Die herhaalde stogastiese integrale word vervang deur ’n familie van stogastiese veranderlikes met eindige waardes, wat se momente tot ’n sekere vaste orde bestaan. Dit is al gedemonstreer dat hierdie metode die tradisionele Euler-Maruyama metode oortref. In 2004 is hierdie metode verfyn deur Lyons en Victoir na volumeberekening op Wiener ruimtes. Lyons en Victoir het uitgebrei op die klassieke volumeberekening metode om integrale te benader in eindige dimensie na die benadering van integrale in oneindige dimensionele Wiener ruimte. Sedertdien het menige outeurs dié idees intensief toegepas en is die onderwerp vandag ’n aktiewe navorsings gebied. Ons werk is hoofsaaklik gebaseer op die onlangse ontwikkelling van hoërorde skemas, wat op hul beurt gebaseer is op die idees van Kusuoka benadering en Lyons-Victoir "Volumeberekening op Wiener ruimte". Die werk word veral toegepas op die prysvastelling van opsies, naamlik Ninomiya-Victoir en Ninomiya-Ninomiya benaderings skemas. Dit moet hier beklemtoon word dat baie ander toepassings van hierdie skemas al ontwikkel is, onder meer die Alfonsi skema vir die CIR proses en die ontbinding metode wat voorgestel is deur Kohatsu en Tanaka vir sprong aangedrewe SDVs. Na ’n skets van die hoof idees agter metodes van numeriese benadering in Hoofstuk 1 , begin Hoofstuk 2 met die neersetting van noodsaaklike terminologie en definisies. ’n Diskussie oor die stogastiese Taylor ontwikkeling, gebaseer op herhaalde Stratonovich integrale word uiteengeset, waarna die hoofstuk afsluit met ’n illustrasie van dié ontwikkeling met die Euler-Maruyama benaderings skema. Hoofstuk 3 bevat die hoofgedagtes agter die Kusuoka benaderings skema, waar daar ook op die implementering van die algoritme gekonsentreer word. Hierdie skema is van toepassing op die prysvastelling van ’n Asiatiese call-opsie, numeriese resultate word ook aangebied. Ons begin Hoofstuk 4 deur te kyk na klassieke volumeberekenings formules waarna ons op ’n eenvoudige wyse die algemene idees van "Volumeberekening op Wiener ruimtes", ook bekend as die Lyons-Victoir benaderings skema, as ’n uitbreiding van die klassieke volumeberekening metode gebruik. Die doel van hierdie skema is om volumeberekening formules op te stel vir benaderings integrale wat gedefinieer is op Wiener ruimtes en gevolglik, hoërorde numeriese skemas te ontwikkel. Dit is gebaseer op die stogastiese Stratonovich ontwikkeling en kan beskou word as ’n ontwikkeling van die Kusuoka skema. Deur Kusuoka en Lyon-Victoir se idees oor benaderings skemas toe te pas, het Ninomiya-Victoir en Ninomiya- Ninomiya nuwe numeriese skemas van orde 2 ontwikkel, waar hulle die probleem omgeskakel het van een waar SDVs opgelos moet word, na een waar gewone differensiaalvergelykings (GDV) opgelos moet word. Hierdie twee skemas word in Hoofstuk 5 uiteengeset. Alhoewel die benaderings soortgelyk is, is daar ’n beduidende verskil in die algoritmes self. Hierdie hoofstuk begin met ’n algemene uiteensetting van die Ninomiya-Victoir algoritme waar ’n arbitrêre vaste tyd horison, T, gebruik word. Dié word toegepas op opsieprysvastelling en optimale portefeulje strategie probleme. Verder word numeriese simulasies uitgevoer, die prestasie van die Ninomiya-Victoir algoritme was bestudeer en vergelyk met die Euler-Maruyama metode. Ons maak die opmerking dat die Ninomiya-Victoir algoritme aansienlik vinniger is. Die belangrikste resultaat van die Ninomiya-Ninomiya benaderings skema word ook voorgestel. Deur die idee van ’n Lie algebra te gebruik, het Ninomiya en Ninomiya ’n stogastiese veranderlike met GDV-waardes gekonstrueer wat se gemiddeld die oplossing van ’n gegewe SDV benader. Die Runge-Kutta metode vir GDVs word dan toegepas op die GDV wat getrek is uit die stogastiese veranderlike en ’n lineêre operator gekonstrueer. ’n Veralgemeende uitdrukking vir die gekonstrueerde operator is afgelei en die algoritme is toegepas op die prysvasstelling van ’n Asiatiese opsie onder die Heston onbestendigheids model.

This thesis established the cubature method developed by Gyurkó &amp; Lyons (2010) and Lyons &amp; Victor (2004) for the Heath–Jarrow–Morton (HJM) model. The HJM model was first proposed by Heath, Jarrow, and Morton (1992) to model the evolution of interest rates through the dynamics of the forward rate curve. These dynamics are described by an infinite-dimensional stochastic equation with the whole forward rate curve as a state variable. To construct the cubature method, we first discretize the infinite dimensional HJM equation and thereafter apply stochastic Taylor expansion to obtain cubature formulae. We further used their results to construct cubature formulae to degree 3, 5, 7 and 9 in 1-dimensional space. We give, a considerable step by step calculation regarding construction of cubature formulae on Wiener space.

Dans de nombreuses applications, nous souhaitons interpoler ou approcher une fonction de plusieurs variables possédant certaines propriétés ou “formes” géométriques, telles que la régularité, la monotonie, la convexité ou la non-négativité. Ces propriétés sont importantes pourdes applications en physique (par exemple, la courbe pression-volume doit avoir une dérivée non négative), aussi bien où le problème de l’interpolation conservant la forme est essentiel dans divers problèmes de l’industrie (par exemple, modélisation automobile, construction de la surface dumasque). Par conséquent, une question importante se pose : comment calculer la meilleure approximation possible à une fonction donnée f lorsque certaines de ses propriétés caractéristiques supplémentaires sont connues ?Cette thèse présente plusieurs nouvelles techniques pour trouver une bonne approximation des fonctions de plusieurs variables par des opérateurs linéaires dont l’erreur d’approximation A( f ) - f garde un signe constant pour toute fonction f satisfaisant une certaine convexité généralisée. Nous nous concentrons dans cette thèse sur la classe des fonctions convexesou fortement convexes. Nous décrirons comment la connaissance a priori de cette information peut être utilisée pour déterminer une bonne majoration de l’erreur pour des fonctions continuellement différentiables avec des gradients Lipschitz continus. Plus précisément, nous montrons que les estimations d’erreur basées sur ces opérateurs sont toujours contrôléespar les constantes de Lipschitz des gradients, le paramètre de la convexité forte ainsi que l’erreur commise associée à l’utilisation de la fonction quadratique. En supposant en plus que la fonction que nous voulons approcher est également fortement convexe, nous établissons de meilleures bornes inférieures et supérieures pour les estimations d’erreur de l’approximation. Lesméthodes de quadrature multidimensionnelle jouent un rôle important, voire fondamental, en analyse numérique. Une analyse satisfaisante des erreurs provenant de l’utilisationdes formules de quadrature multidimensionnelle est bien moins étudiée que dans le cas d’une variable. Nous proposons une méthode d’approximation de l’intégrale d’une fonction réelle donnée à plusieurs variables par des formules de quadrature, qui conduisent à des valeurs approchées par excès (respectivement par défaut) des intégrales des fonctions ayantun certain type de convexité. Nous verrons aussi, comme nous l’avons fait pour l’approximation des fonctions, que pour de telles formules d’intégration, on peut établir un résultat de caractérisation en termes d’estimations d’erreur. En outre, nous avons étudié le problèmede l’approximation d’une intégrale définie d’une fonction donnée quand un certain nombre d’intégrales de cette fonction sur certaines sections hyperplanes d’un l’hyper-rectangle sont seulement disponibles.La motivation derrière ce type de problème est multiple. Il se pose dans de nombreuses applications, en particulier en physique expérimentale et en ingénierie, où les valeurs standards des échantillons discrets des fonctions ne sont pas disponibles, mais où seulement leurs valeurs moyennes sont accessibles. Par exemple, ce type de données apparaît naturellement dans la tomographie par ordinateur avec ses nombreuses applications en médecine, radiologie, géologie, entre autres. / In many applications, we may wish to interpolate or approximate a multivariate function possessing certain geometric properties or “shapes” such as smoothness, monotonicity, convexityor nonnegativity. These properties may be desirable for physical (e.g., a volume-pressure curve should have a nonnegative derivative) or practical reasons where the problem of shape preserving interpolation is important in various problems occurring in industry (e.g., car modelling, construction of mask surface). Hence, an important question arises: How can we compute the best possible approximation to a given function f when some of its additional characteristic properties are known?This thesis presents several new techniques to find a good approximation of multivariate functions by a new kind of linear operators, which approximate from above (or, respectively, from below) all functions having certain generalized convexity. We focus on the class of convex and strongly convex functions. We would wish to use this additional informationin order to get a good approximation of f . We will describe how this additional condition can be used to derive sharp error estimates for continuously differentiable functions with Lipschitz continuous gradients. More precisely we show that the error estimates based on such operators are always controlled by the Lipschitz constants of the gradients, the convexity parameter of the strong convexity and the error associated with using the quadratic function. Assuming, in addition, that the function, we want to approximate, is also strongly convex, we establish sharp upper as well as lower refined bounds for the error estimates.Approximation of integrals of multivariate functions is a notoriously difficult tasks and satisfactory error analysis is far less well studied than in the univariate case. We propose a methodto approximate the integral of a given multivariate function by cubature formulas (numerical integration), which approximate from above (or from below) all functions having a certain type of convexity. We shall also see, as we did for for approximation of functions, that for such integration formulas, we can establish a characterization result in terms of sharp error estimates. Also, we investigated the problem of approximating a definite integral of a given function when a number of integrals of this function over certain hyperplane sections of d-dimensional hyper-rectangle are only available rather than its values at some points.The motivation for this problem is multifold. It arises in many applications, especially in experimental physics and engineering, where the standard discrete sample values fromfunctions are not available, but only their mean values are accessible. For instance, this data type appears naturally in computer tomography with its many applications inmedicine, radiology, geology, amongst others.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la quantification optimale et ses applications. Nous y abordons des aspects théoriques, algorithmiques et numériques. Elle comporte cinq chapitres. Dans la première partie, nous étudions liens entre la réduction de variance par stratification et la quantification optimale. Dans le cas ou la variable aléatoire considérée est un processus Gaussien, un schéma de simulation de complexité linéaire est développé pour la loi conditionnelle à une strate du processus en question. Le second chapitre est consacré à l'évaluation numérique de la base de Karhunen-Loève d'un processus Gaussien par la méthode de Nyström. Dans la troisième partie, nous proposons une nouvelle approche de la quantification de solutions d'EDS, dont nous étudions la convergence. Ces résultats conduisent à un nouveau schéma de cubature pour les solutions d'équations différentielles stochastiques, qui est développé dans le quatrième chapitre, et que nous éprouvons sur des problèmes de valorisation d'options. Dans le cinquième chapitre, nous présentons un nouvel algorithme de recherche rapide de plus proche voisin par arbre, basé sur la quantification de la loi empirique du nuage de points considéré.

This thesis is on an advanced method for pricing financial derivatives in a market model,which comprises two stochastic volatilities. Financial derivatives are instruments whosethat is related to any financial asset. Underlying assets in derivatives are mostly financialinstruments; such as security, currency or a commodity. Stochastic volatilities are used infinancial mathematics to assess financial derivative securities; such as contingent claims andoptions for valuation of the derivatives, at the expiration of the contract. This study examinedtheoretical frameworks that evolve around the pricing of financial deriv- atives in a marketmodel and it mainly examines two stochastic volatilities: cubature formula and splittingmethod by analysing how these volatilities affect the pricing of financial derivatives. The studydeveloped an approximation approach with a double stochastic volatilities model in termsof Stratonovich integrals to evaluate the contingent claim, examined the similarities betweenNinomiya–Ninomiya scheme and Ninomiya–Victoir scheme, and rewrite the system of doublestochastic volatility model in terms of the standard Brownian motion.

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