Orientador: Prof. Dr. Valério Ramos Batista. / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2009. / A tese de mestrado versa sobre o artigo A family of triply periodic Costa surfaces, que apresenta uma demonstração completa de unicidade e convergência para uma família contínua a um parâmetro de Superfícies Mínimas Triplamente Periódicas. No artigo, a demonstração é norteada por simulações numéricas em MatLab, que motivam as provas teóricas. Entretanto, o presente trabalho não contemplará esta parte numérica, por dar prioridade aos argumentos Geométricos do artigo. De fato, a Geometria é uma importante ferramenta para outras áreas, mesmo da própria Matemática, não apenas por facilitar demonstrações, mas também por torná-las acessíveis. Dentre as sub-áreas da Matemática, obviamente a mais visual é a Geometria, que mesmo equipada com técnicas como Variáveis Complexas, Diferenciabilidade, Homologia, etc., não perde sua concretividade: curvas, superfícies, rotação, etc. O trabalho [RamosBatista2] é inovador, pois apresenta as primeiras superfícies mínimas triplamente periódicas cuja construção explícita não pode ser realizada pelo Método de Conjugação de Plateau. Além da unicidade e convergência mencionadas acima, traz uma descrição explícita dos membros-limite. É raro encontrar um estudo tão completo como neste artigo. A família de superfícies é obtida pelo método de construção reversa introduzido por Karcher em 1989. Tal método consiste dos seguintes passos: 1) esboço da superfície; 2) compacticação; 3) hipóteses de simetria; 4) equação algébrica; 5) obtenção dos dados de Weierstraÿ; 6) vericação de involuções e hipóteses de simetria; 7) análise de períodos; e 8) mergulho. As ferramentas teóricas deste método são apresentadas no Capítulo 2 da presente Tese de Mestrado. / This present work deals with the article A family of triply periodic Costa surfaces, which brings a complete demonstration for including uniqueness and convergence of a continuous one-parameter family of Triply Periodic Minimal Surfaces. In the paper, the theoretical proofs are motivated by numerical evidences obtained through the software MatLab. However, this present work will not include the numerics, because we give preference to the geometric arguments of the paper. Indeed, Geometry is an important tool for other research areas, even inside Mathematics itself, not just for easing demonstrations a lot, but also because it makes them accessible. Among the sub-areas in Mathematics, obviously the most visually appealing is the Geometry. Even equipped with techniques like Complex Variables, Dierentiability and Homology, it never loses its concreteness: curves, surfaces, rotations, etc. The paper [RamosBatista2] is innovative because presents the rst triply periodic minimal surfaces of which the explicit construction cannot be accomplished by Plateau's Conjugate Method. Besides uniqueness and convergence mentioned above, it brings an explicit description of the limit-members. Such a complete study is rare to nd. The family of surfaces is obtained via the reverse construction method introduced by Karcher in 1989. This method consists of the following steps: 1) drafting the soughtafter surface; 2) compactication; 3) symmetry hypotheses; 4) algebraic equation; 5) Weierstraÿ data; 6) checking involutions from symmetry hypotheses; 7) period analysis; 8) embeddedness. The main theoretical tools for this method are presented in Chapter 2 of this Master Thesis.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 5775.pdf: 3630663 bytes, checksum: 88c8bb34e865095deb48e758bbf86a4b (MD5) Previous issue date: 2014-02-25 / Financiadora de Estudos e Projetos / Starting from works by Scherk (1835) and by Enneper-Weierstraß (1863), new minimal surfaces with Scherk ends were found only in 1988 by Karcher (see [16, 17]). In the singly periodic case, Karcher s examples of positive genera had been unique until Traizet obtained new ones in 1996 (see [41]). However, Traizet s construction is implicit and excludes towers, namely the desingularisation of more than two concurrent planes. Then, new explicit towers were found only in 2006 by Martin and Ramos Batista (see [24]), all of them with genus one. For genus two, the first such towers were constructed in 2010 (see [40]). Back to 2009, implicit towers of arbitrary genera were found in [11]. In our present work we obtain explicit minimal Scherk saddle towers, for any given genus 2k, k ≥ 3, that we denote ST2k. We also present the MATLAB and Evolver programming that make it possible to generate the surfaces ST2k. MATLAB is an abbreviation forMatrix Laboratory, a program developed and distributed by MathWorks. Evolver is a free iterative program developed by Kenneth A. Brakke, a professor at Susquehanna University (see [3, 34]). / Partindo dos trabalhos de Scherk (1835) e Enneper-Weierstraß (1863), novas superfícies mínimas com fins Scherk foram encontradas em 1988 por Karcher (vide [16, 17]). No caso simplesmente periódico, os exemplos de gênero positivo de Karcher haviam sido únicos até que Traizet obteve novos em 1996 (vide [41]). No entanto, a construção de Traizet é implícita e exclui torres, ou seja a desingularização de mais do que dois planos concorrentes. Então novas torres explícitas foram encontradas somente em 2006 por Martin e Ramos Batista (vide [24]), todos eles com gênero um. Para gênero dois, as primeiras torres foram construidas em 2010 (vide [40]). De volta a 2009, torres implícitas de gênero arbitrário foram encontradas em [11]. No presente trabalho obtemos torres de sela Scherk mínimas explícitas, para qualquer gênero 2k, k ≥ 3, que denotamos ST2k. Apresentamos também a programação MATLAB e em Evolver que fazem possível gerar as superfícies ST2k. MATLAB é uma abreviação de MATrix LABoratory, programa desenvolvido e distribuído pela MathWorks. Evolver é um programa iterativo gratuito desenvolvido por Kenneth A. Brakke, professor da Susquehanna University (vide [3, 34]).

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3238.pdf: 1181256 bytes, checksum: eca19c8ec7e2ed4661569fb38346ccb7 (MD5) Previous issue date: 2010-04-24 / Financiadora de Estudos e Projetos / In 1989, H.Karcher elaborated a method for the construction of minimal surfaces, denominated reverse construction method given in [10]. In that work it was rewritten the theory of elliptic functions using an approach more geometrical than analytical. This allows to better control the behavior and the image values of those functions, making it easier his application in minimal surfaces. In this master s thesis, we will present basic tools of the theory of symmetric elliptic functions, describing explicitly the symmetric ℘-Weierstraß and the function γ, that will be applied in the reverse construction method for an example of minimal surface. / Em 1989, H.Karcher elaborou um método para a construção de superfícies mínimas, denominada método de construção reversa dado em [10]. Nesse trabalho foi reescrita a teoria de funções elíticas utilizando uma abordagem mais geométrica do que analítica. Desse modo, ele conseguiu controlar o comportamento e os valores imagens dessas funções, facilitando sua aplicação em superfícies mínimas. Neste trabalho de mestrado, apresentamos ferramentas básicas da teoria de funções elíticas simétricas, descrevendo explicitamente a ℘-Weierstraß simétrica e a função γ, que serão aplicadas no método de construção reversa para um exemplo de superfície mínima.