En el cuerpo de los números reales un resultado clásico de Riemann (1854) afirma que si tenemos una serie condicionalmente convergente entonces al cambiar el orden de los sumandos es posible hacerla converger a cualquier número deseado, o hacerla diverger. En el caso de series de números complejos condicionalmente convergentes podemos reordenar las partes reales (o imaginarias) y obtener cualquier suma prefijada; pero esta misma reordenación también afecta a la parte imaginaria (o real), pudiendo esta diverger, por tanto hacer que toda la serie de términos complejos diverja y no habremos conseguido nada. Entonces podemos preguntarnos: ¿Cuál es el correspondiente teorema para series de números complejos? P. Lévy (1905) probó que “el conjunto de todas las reordenaciones de una serie de números complejos es el vacío o la traslación de un subespacio vectorial real”. Este resultado fue generalizado a un espacio vectorial real n-dimensional por E. Steinitz (1913) que es uno de los capítulos que pretendemos estudiar en este trabajo de tesis de una manera accesible e interesante. De la misma manera nos podemos preguntar: ¿Cuál es la situación para espacios de Banach infinito dimensionales, se cumplirá el resultado de Steinitz? La respuesta a esta pregunta es negativa gracias a un contraejemplo propuesto por Marcinkiewicz en el espacio L2r0, 1s. Ahora lo natural es estudiar a que tipos de espacios se puede extender el resultado de Steinitz, es decir, dar condiciones a ciertos espacios de dimensión infinita para que el teorema de Steinitz se mantenga. Por ejemplo, W. Banaszczyk en [13] y [14], prob´o que un espacio de Fr´echet es Nuclear si y sólo si se cumple el teorema de Lévy-Steinitz. / Tesis

Orientador: Romulo Campos Lins (in memoriam) / Orientador: Marcos Vieira Teixeira / Banca: Francisco César Polcino Milies / Banca: Henrique Lazari / Banca: Amarildo Melchiades da Silva / Banca: Lígia Arantes Sad / Resumo: No presente trabalho apresentamos uma análise de alguns dos capítulos da obra Elements of Algebra (1840), de Leonhard Euler (1707 - 1783), que tratam de Séries infinitas. Nesta obra encontramos os métodos e os resultados mais importantes à respeito de álgebra alcançados por Euler até 1770. Nosso objetivo foi analisar e evidenciar os diferentes modos de produção de significados e conhecimentos para o objeto matemático séries infinitas na obra supra citada tomando como fundamentação teórica e metodológica o Modelo dos Campos Semânticos. Apresentamos a tradução dos capítulos selecionados, produzimos significados a eles utilizando nosso referencial teórico e os comparamos com a forma que produzimos significados e conhecimentos hoje utilizando a Teoria de Séries / Abstract: In this work we present an analysis of some of the chapters of Leonhard Euler's (1707- 1783) Elements of Algebra (1840), which deal with Infinite Series. In his work we find the most important methods and results regarding algebra achieved by Euler until 1770. Our goal was to analyze and evidence the different modes of production of meanings and knowledge for the mathematical object infinite series in the work cited above taking as theoretical and methodological foundation the Model of Semantic Fields. We present the translation of the selected chapters, we produce meanings for them using our theoretical benchmark and compare them with the way we produce meanings and knowledge today using the Theory of Series / Doutor

En el cuerpo de los números reales un resultado clásico de Riemann (1854) afirma que si tenemos una serie condicionalmente convergente entonces al cambiar el orden de los sumandos es posible hacerla converger a cualquier número deseado, o hacerla diverger. En el caso de series de números complejos condicionalmente convergentes podemos reordenar las partes reales (o imaginarias) y obtener cualquier suma prefijada; pero esta misma reordenación también afecta a la parte imaginaria (o real), pudiendo esta diverger, por tanto hacer que toda la serie de términos complejos diverja y no habremos conseguido nada. Entonces podemos preguntarnos: ¿Cuál es el correspondiente teorema para series de números complejos? P. Lévy (1905) probó que “el conjunto de todas las reordenaciones de una serie de números complejos es el vacío o la traslación de un subespacio vectorial real”. Este resultado fue generalizado a un espacio vectorial real n-dimensional por E. Steinitz (1913) que es uno de los capítulos que pretendemos estudiar en este trabajo de tesis de una manera accesible e interesante. De la misma manera nos podemos preguntar: ¿Cuál es la situación para espacios de Banach infinito dimensionales, se cumplirá el resultado de Steinitz? La respuesta a esta pregunta es negativa gracias a un contraejemplo propuesto por Marcinkiewicz en el espacio L2r0, 1s. Ahora lo natural es estudiar a que tipos de espacios se puede extender el resultado de Steinitz, es decir, dar condiciones a ciertos espacios de dimensión infinita para que el teorema de Steinitz se mantenga. Por ejemplo, W. Banaszczyk en [13] y [14], prob´o que un espacio de Fr´echet es Nuclear si y sólo si se cumple el teorema de Lévy-Steinitz. / Tesis