Recurriendo sólo al concepto de distancia y los números reales, se construye la recta y el plano, y las principales relaciones entre ellos. Luego se generaliza la no coplanaridad, para construir hiperplanos generados por un conjunto discreto de puntos.

En el cuerpo de los números reales un resultado clásico de Riemann (1854) afirma que si tenemos una serie condicionalmente convergente entonces al cambiar el orden de los sumandos es posible hacerla converger a cualquier número deseado, o hacerla diverger. En el caso de series de números complejos condicionalmente convergentes podemos reordenar las partes reales (o imaginarias) y obtener cualquier suma prefijada; pero esta misma reordenación también afecta a la parte imaginaria (o real), pudiendo esta diverger, por tanto hacer que toda la serie de términos complejos diverja y no habremos conseguido nada. Entonces podemos preguntarnos: ¿Cuál es el correspondiente teorema para series de números complejos? P. Lévy (1905) probó que “el conjunto de todas las reordenaciones de una serie de números complejos es el vacío o la traslación de un subespacio vectorial real”. Este resultado fue generalizado a un espacio vectorial real n-dimensional por E. Steinitz (1913) que es uno de los capítulos que pretendemos estudiar en este trabajo de tesis de una manera accesible e interesante. De la misma manera nos podemos preguntar: ¿Cuál es la situación para espacios de Banach infinito dimensionales, se cumplirá el resultado de Steinitz? La respuesta a esta pregunta es negativa gracias a un contraejemplo propuesto por Marcinkiewicz en el espacio L2r0, 1s. Ahora lo natural es estudiar a que tipos de espacios se puede extender el resultado de Steinitz, es decir, dar condiciones a ciertos espacios de dimensión infinita para que el teorema de Steinitz se mantenga. Por ejemplo, W. Banaszczyk en [13] y [14], prob´o que un espacio de Fr´echet es Nuclear si y sólo si se cumple el teorema de Lévy-Steinitz. / Tesis

El presente cuaderno de trabajo tiene una teoría básica de Aritmética y Algebra pero, sobre todo, el espacio necesario de Ejercicios y problemas para que el alumno desarrolle en clase.

El presente cuaderno de trabajo tiene una teoría básica de Aritmética y Algebra pero, sobre todo, el espacio necesario de Ejercicios y problemas para que el alumno desarrolle en clase.

Investiga la construcción y propiedades de las sucesiones dobles en el campo de los números reales R o sobre el campo de los números complejos C. Se considera en la presente investigación la teoría de sucesiones dobles, las relaciones existentes entre la unicidad del límite doble, los límites iterados y el intercambio del orden para la sucesión doble. Se investigó el Criterio de Cauchy para sucesiones dobles, las subsucesiones y los límites dobles monótonas y acotadas. Las sucesiones dobles se aplican a los lmites inversos y continuos enrejados. / Tesis

En el cuerpo de los números reales un resultado clásico de Riemann (1854) afirma que si tenemos una serie condicionalmente convergente entonces al cambiar el orden de los sumandos es posible hacerla converger a cualquier número deseado, o hacerla diverger. En el caso de series de números complejos condicionalmente convergentes podemos reordenar las partes reales (o imaginarias) y obtener cualquier suma prefijada; pero esta misma reordenación también afecta a la parte imaginaria (o real), pudiendo esta diverger, por tanto hacer que toda la serie de términos complejos diverja y no habremos conseguido nada. Entonces podemos preguntarnos: ¿Cuál es el correspondiente teorema para series de números complejos? P. Lévy (1905) probó que “el conjunto de todas las reordenaciones de una serie de números complejos es el vacío o la traslación de un subespacio vectorial real”. Este resultado fue generalizado a un espacio vectorial real n-dimensional por E. Steinitz (1913) que es uno de los capítulos que pretendemos estudiar en este trabajo de tesis de una manera accesible e interesante. De la misma manera nos podemos preguntar: ¿Cuál es la situación para espacios de Banach infinito dimensionales, se cumplirá el resultado de Steinitz? La respuesta a esta pregunta es negativa gracias a un contraejemplo propuesto por Marcinkiewicz en el espacio L2r0, 1s. Ahora lo natural es estudiar a que tipos de espacios se puede extender el resultado de Steinitz, es decir, dar condiciones a ciertos espacios de dimensión infinita para que el teorema de Steinitz se mantenga. Por ejemplo, W. Banaszczyk en [13] y [14], prob´o que un espacio de Fr´echet es Nuclear si y sólo si se cumple el teorema de Lévy-Steinitz. / Tesis

Esta tesis doctoral, realizada bajo la dirección de Juan Matías Sepulcre Martínez, supone para este doctorando culminar un periodo extenso de investigación iniciada hace ya bastantes años en el seno del antiguo Departamento de Análisis Matemático y continuada en el tiempo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante. Fruto de este trabajo de investigación conjunta, son varios los artículos ya publicados (en los que el doctorando figura como coautor) que están contextualizados en el tópico de la tesis. Sin embargo, esta memoria incluye también material original reciente, surgido en el periodo de matrícula en el doctorado, que ha dado lugar a varios preprints que se han enviado o se enviarán próximamente para su posible publicación en revistas de reconocido prestigio. La memoria de la tesis se divide en seis capítulos y comienza con una introducción en la que se exponen las principales herramientas de trabajo y la notación básica utilizada a lo largo de todo el texto. Los conceptos de propiedad de Q−estructura, matrices de Q−estructura, sistema y límite inverso o compactificación de Bohr serán los protagonistas principales de esta parte introductoria. Los capítulos 2, 3 y 4 tienen una estructura similar. A partir de la propiedad de Q−estructura (en términos de relación de equivalencia) y la noción de matrices de Q−estructura de vectores o redes compuestas de una respectiva cantidad finita, infinita numerable y continua de números reales, construiremos espacios vectoriales relacionados con las clases de equivalencia generadas por tal relación de equivalencia. A partir de ello se formarán los subgrupos abelianos compactos en el toro que nos conducirán a compactificaciones de Bohr para los distintos casos expuestos en esta memoria (que son únicas en las clases de equivalencia conteniendo los vectores prefijados). Aunque la mayoría de los resultados tratados se extienden desde el caso finito al caso infinito numerable y continuo, las herramientas utilizadas en las demostraciones de cada uno de estos capítulos serán distintas por el hecho de trabajar con cardinales y contextos distintos. En concreto, el objetivo principal del capítulo 2 es la construcción de subconjuntos concretos del toro N-dimensional, con N∈N (dado por el producto cartesiano de N copias del toro 1−dimensional), que están conectados de una forma específica con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para vectores de números reales. De hecho, demostraremos que estos subconjuntos constituyen grupos abelianos compactos que desembocan en compactificaciones de Bohr de ciertas líneas y espacios vectoriales asociados con los vectores prefijados de números reales, e incluso en compactificaciones de Bohr de los espacios euclídeos R^k para un cierto k∈N. Con la ayuda de la noción de sistema y límite inverso, en el capítulo 3 acabaremos construyendo subconjuntos concretos del toro infinito-numerable-dimensional (dado por el producto cartesiano infinito numerable de copias del toro 1−dimensional) que están conectados con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para vectores (con una cantidad infinita numerable de componentes) de números reales. Demostraremos que estos subconjuntos nos ayudan a establecer conexiones y caracterizar la propiedad de Q−estructura. Finalmente, analizaremos la compacidad de tales conjuntos, lo que nos conducirá a establecer compactificaciones de Bohr de ciertas líneas y espacios vectoriales asociados con los vectores prefijados de números reales e incluso son compactificaciones de Bohr de los espacios euclídeos R^k para un cierto k∈N∪{∞}. En el capítulo 4 construiremos subconjuntos concretos del toro infinito-continuo-dimensional (dado por el producto cartesiano de un continuo de copias del toro 1−dimensional) que están conectados con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para redes compuestas de un continuo de números reales. Mostraremos la relación concreta entre tales subconjuntos y caracterizaremos la propiedad de Q−estructura en términos de ellos. Posteriormente extenderemos al caso continuo los resultados sobre las compactificaciones de Bohr de los dos capítulos anteriores, y proporcionaremos una demostración del potente resultado consistente en afirmar que estos subconjuntos constituyen compactificaciones universales de Bohr del conjunto de los números reales, lo que constituye una propiedad más exigente que la de la compactificación de Bohr. En el capítulo 5 expondremos otras relaciones de equivalencias definidas sobre los espacios R^N, T^N y C^N, con N∈N∪{∞}, que nos conducirán a otras compactificaciones de Bohr. Además, mostraremos que estas nuevas compactificaciones de Bohr dan lugar a ciertas teselaciones del toro infinito y de sus conjuntos isomorfos. Probaremos algunas caracterizaciones de estas equivalencias en términos de las llamadas órbitas de puntos en tales espacios. Otras caracterizaciones de estas nuevas equivalencias nos darán pie en el capítulo 6 a establecer vínculos con la teoría de las funciones casi periódicas y las sumas exponenciales. En particular, veremos la diferencia existente entre Bohr-equivalencia (basadas en la definición que manejó Harald Bohr en el contexto de las series generales de Dirichlet) y nuestra propuesta de SV-equivalencia para las funciones incluidas en los espacios de funciones casi periódicas definidas en los números reales o en bandas verticales del plano complejo. Este estudio conlleva un desarrollo importante para la comprensión de los pilares principales de la teoría de las funciones casi periódicas. La inclusión de ejemplos y de etiquetas en la mayoría de las definiciones y resultados es otra característica en la redacción de esta memoria que pretende hacer más amena la lectura.