Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Um bilhar consiste basicamente de uma partÃcula confinada em uma regiÃo do espaÃo. Trataremos apenas de bilhares em duas dimensÃes na ausÃncia de campos externos e desprezaremos qualquer tipo de forÃas dissipativas, de modo que as colisÃes da partÃcula com as fronteiras do bilhar sÃo elÃsticas. AlÃm disso, as fronteiras sÃo fixas, ou seja, respeitam uma equaÃÃo do tipo $R = R(r, heta)$, onde r e $ heta$ sÃo as coordenadas polares planas. O bilhar à um modelo interessante por vÃrios motivos. Primeiro, à um sistema muito simples (tem poucos graus de liberdade) e de fÃcil visualizaÃÃo. No entanto, possui uma dinÃmica nÃo-trivial com grande riqueza de comportamentos (podendo apresentar comportamento regular, caÃtico ou atà mesmo misto, caso em que coexistem no espaÃo de fase de um Ãnico bilhar regiÃes caÃticas e regulares). Segundo, o tratamento numÃrico desses sistemas nÃo requer integraÃÃo numÃrica de equaÃÃes diferenciais e, portanto, nÃo consume muito tempo de execuÃÃo. AlÃm disso, os bilhares permitem que realizemos investigaÃÃes de carÃter fundamental, por exemplo, podemos estudar como sistemas regulares reagem ao serem levemente perturbados. Especificamente, iremos aplicar uma rugosidade na fronteira do bilhar circular e elÃptico e observar como o espaÃo de fase irà mudar ao sofrer tal perturbaÃÃo. / In this work we are going to study a physical system known as billiard. A billiard is defined to be basically a confined particle in a closed region of the space. We are going to deal with only two-dimensionals billiards in the absence of extern fields and to neglect any kind of dissipative forces, in a way that the colisions of the particle with the boundary are elastics. Beyond that, the boundary are fixed, it means they respect an equation of kind $R(r, heta)$, where $r$ and $ heta$ are the polar coordinates on a plan. A billiard is a very interesting model by several reasons. First, it is a simple system (it has a few degree of freedom) and it is of easy visualization. However, it has a non-trivial dynamics with a big richness of behaviors (from a billiard it could appear regular behavior, chaotic behavior, or even a mixed behavior, where coexist in the phase space of one billiard chaotics and regular regions). Second, the numerical approach of these systems does not require numerical integration of diferential equations and, therefore, does not take too much time of execution. Furthermore, the billiards allow us to perform investigations of fundamental nature, for example, we can study how regular systems react by being slightly disturbed. Especificaly, we perform a rugosity perturbation on the billiard surface and observe how the phase space is going to change.

A pesquisa apresenta uma adaptação do modelo matemático de lógica nebulosa. A adaptação é uma alternativa capaz de representar o comportamento de uma variável subjetiva ao longo de um intervalo de tempo, assim como tratar variáveis estáticas (como o modelo computacional existente). Pesquisas realizadas apontam para uma lacuna no tratamento de variáveis dinâmicas (dependência no tempo) e a proposta permite que o contexto em que as variáveis estão inseridas tenha um papel no entendimento e tomada de decisão de problemas com estas características. Modelos computacionais existentes tratam a questão temporal como sequenciador de eventos ou custo, sem considerar a influência de fenômenos passados na condição corrente, ao contrário do modelo proposto que permite uma contribuição dos acontecimentos anteriores no entendimento e tratamento do estado atual. Apenas para citar alguns exemplos, o uso da solução proposta pode ser aplicado na determinação de nível de conforto em transporte público ou auxiliar na aferição de grau de risco de investimentos no mercado de ações. Em ambos os casos, comparações realizadas entre o modelo de lógica nebulosa existente e a adaptação sugerida apontam uma diferença no resultado final que pode ser entendida como uma maior qualidade na informação de suporte à tomada de decisão. / The research presents an adaptation of the mathematical model of fuzzy logic. The adaptation is an alternative capable of representing the behavior of a subjective variable over an interval of time, as well as treating any static variables (as existing computer models). Research conducted points to a gap in the treatment of dynamic variables (variables which depend on time). The context, in which the variable is embedded, plays a role in the understanding and decision making process of problems of this nature. Existing computer models treat the temporal issue as sequencing of events or cost, without considering the influence of passed occurrences in its current condition, unlike the proposed model that allows a contribution of earlier developments in the understanding and treatment of the current state. The proposed solution is applicable to determine the comfort level at public transportation or to support the risk definition at the stock market, just to list a couple of examples. On both scenarios, the existing fuzzy logic was compared to the proposed solution and it was observed differences on the outcomes that represent an increase on the overall quality of the information which supports the decision making process.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O estudo de propriedades caÃticas de alguns sistemas complexos vem se desenvolvendo amplamente a partir do avanÃo tecnolÃgico proporcionado pelos computadores. Dentre esses sistemas, podemos ressaltar os bilhares, que devido à sua simplicidade e enorme aplicabilidade vem se destacando dentre os demais modelos. Neste trabalho, estudamos as propriedades de alguns bilhares sujeitos à aÃÃo de um campo externo. Aqui, o campo externo à representado por meio de um campo de velocidade que à obtido a partir do escoamento de um fluido. Este fluido exerce uma forÃa de arrasto sobre a partı́cula que encontra-se confinada pela fronteira que define o bilhar. Ao contrÃrio dos outros trabalhos realizados com bilhares, propomos uma abordagem totalmente numÃrica levandoem consideraÃÃo vÃrios fatores que poderiam influenciar na dinÃmica da partı́cula, como por exemplo, a forÃa elÃstica que a partı́cula sofre ao colidir com a fronteira, o regime de escoamento do fluido e o efeito do arraste na trajetÃria da partı́cula, causado por uma forÃa que à proporcinal a uma potÃncia da velocidade na forma F ∝ v γ . A partir desta abordagem, foi possı́vel observar um decaimento na energia da partı́cula, que se deu de forma linear (γ = 1.0), polinomial do segundo grau (γ = 1.5) e exponencial (γ = 2.0). AlÃm disso, quando analisamos o espaÃo de fase dos sistemas (bilhares), o efeito do parÃmetro dissipativo contribuiu para o surgimento de um mar de caos em alguns casos, e ainda, para o surgimento de um atrator, cujo efeito à oriundo tambÃm da aÃÃo do campo externo. / The study of the chaotic properties of some complex systems has been largely developed from the technological advancement provided by computers. Among these systems, we can highlight the billiards, which, due to their simplicity and enormous applicability, they have stood out among the other models. In this work, we study the properties of some billiards, when subject to the action of an external field. Here the external field is represented by a velocity field, wich is obtained from the flow of a fluid. Such fluid exerts a drag force on the particle bounded by the boundary defining the billiard. In contrast to the other works done with billiards, we propose a totally numerical approach, taking into account several factors that could exercise influence on the particle dynamics, such as the elastic force that the particle suffers when it collides with the boundary, the outflow regime of the fluid, and the drag effect on the trajectory of the particle, caused by a force that is proportional to a potential of the velocity in the form F ∝ v γ . From this aproach we could observe a decay on the energy of the particle, which occurred in a linear form (γ= 1.0), polynomial of the second degree (γ = 1.5) and exponential (γ = 2.0). Moreover, as we analyzed the phase space of the systems (billiards), the effect of the dissipation parameter contributed to the emerging of a sea of chaos in some cases, and also to the appearance of an attractor, whose effect also originates from the action of the external field.

A pesquisa apresenta uma adaptação do modelo matemático de lógica nebulosa. A adaptação é uma alternativa capaz de representar o comportamento de uma variável subjetiva ao longo de um intervalo de tempo, assim como tratar variáveis estáticas (como o modelo computacional existente). Pesquisas realizadas apontam para uma lacuna no tratamento de variáveis dinâmicas (dependência no tempo) e a proposta permite que o contexto em que as variáveis estão inseridas tenha um papel no entendimento e tomada de decisão de problemas com estas características. Modelos computacionais existentes tratam a questão temporal como sequenciador de eventos ou custo, sem considerar a influência de fenômenos passados na condição corrente, ao contrário do modelo proposto que permite uma contribuição dos acontecimentos anteriores no entendimento e tratamento do estado atual. Apenas para citar alguns exemplos, o uso da solução proposta pode ser aplicado na determinação de nível de conforto em transporte público ou auxiliar na aferição de grau de risco de investimentos no mercado de ações. Em ambos os casos, comparações realizadas entre o modelo de lógica nebulosa existente e a adaptação sugerida apontam uma diferença no resultado final que pode ser entendida como uma maior qualidade na informação de suporte à tomada de decisão. / The research presents an adaptation of the mathematical model of fuzzy logic. The adaptation is an alternative capable of representing the behavior of a subjective variable over an interval of time, as well as treating any static variables (as existing computer models). Research conducted points to a gap in the treatment of dynamic variables (variables which depend on time). The context, in which the variable is embedded, plays a role in the understanding and decision making process of problems of this nature. Existing computer models treat the temporal issue as sequencing of events or cost, without considering the influence of passed occurrences in its current condition, unlike the proposed model that allows a contribution of earlier developments in the understanding and treatment of the current state. The proposed solution is applicable to determine the comfort level at public transportation or to support the risk definition at the stock market, just to list a couple of examples. On both scenarios, the existing fuzzy logic was compared to the proposed solution and it was observed differences on the outcomes that represent an increase on the overall quality of the information which supports the decision making process.

This thesis addresses the problem of identifying nonlinear dynamic systems from a machine learning perspective. In this context, very little is assumed to be known about the system under investigation, and the only source of information comes from input/output measurements on the system. It corresponds to the black-box modeling approach. Numerous strategies and models have been proposed over the last decades in the machine learning field and applied to modeling tasks in a straightforward way. Despite of this variety, the methods can be roughly categorized into global and local modeling approaches. Global modeling consists in fitting a single regression model to the available data, using the whole set of input and output observations. On the other side of the spectrum stands the local modeling approach, in which the input space is segmented into several small partitions and a specialized regression model is fit to each partition. The first contribution of the thesis is a novel supervised global learning model, the Minimal Learning Machine (MLM). Learning in MLM consists in building a linear mapping between input and output distance matrices and then estimating the nonlinear response from the geometrical configuration of the output points. Given its general formulation, the Minimal Learning Machine is inherently capable of operating on nonlinear regression problems as well as on multidimensional response spaces. Naturally, its characteristics make the MLM able to tackle the system modeling problem. The second significant contribution of the thesis represents a different modeling paradigm, called Regional Modeling (RM), and it is motivated by the parsimonious principle. Regional models stand between the global and local modeling approaches. The proposal consists of a two-level clustering approach in which we first partition the input space using the Self-Organizing Map (SOM), and then perform clustering over the prototypes of the trained SOM. After that, regression models are built over the clusters of SOM prototypes, or regions in the input space. Even though the proposals of the thesis can be thought as quite general regression or supervised learning models, the performance assessment is carried out in the context of system identification. Comprehensive performance evaluation of the proposed models on synthetic and real-world datasets is carried out and the results compared to those achieved by standard global and local models. The experiments illustrate that the proposed methods achieve accuracies that are comparable to, and even better than, more traditional machine learning methods thus offering a valid alternative to such approaches. / This thesis addresses the problem of identifying nonlinear dynamic systems from a machine learning perspective. In this context, very little is assumed to be known about the system under investigation, and the only source of information comes from input/output measurements on the system. It corresponds to the black-box modeling approach. Numerous strategies and models have been proposed over the last decades in the machine learning field and applied to modeling tasks in a straightforward way. Despite of this variety, the methods can be roughly categorized into global and local modeling approaches. Global modeling consists in fitting a single regression model to the available data, using the whole set of input and output observations. On the other side of the spectrum stands the local modeling approach, in which the input space is segmented into several small partitions and a specialized regression model is fit to each partition. The first contribution of the thesis is a novel supervised global learning model, the Minimal Learning Machine (MLM). Learning in MLM consists in building a linear mapping between input and output distance matrices and then estimating the nonlinear response from the geometrical configuration of the output points. Given its general formulation, the Minimal Learning Machine is inherently capable of operating on nonlinear regression problems as well as on multidimensional response spaces. Naturally, its characteristics make the MLM able to tackle the system modeling problem. The second significant contribution of the thesis represents a different modeling paradigm, called Regional Modeling (RM), and it is motivated by the parsimonious principle. Regional models stand between the global and local modeling approaches. The proposal consists of a two-level clustering approach in which we first partition the input space using the Self-Organizing Map (SOM), and then perform clustering over the prototypes of the trained SOM. After that, regression models are built over the clusters of SOM prototypes, or regions in the input space. Even though the proposals of the thesis can be thought as quite general regression or supervised learning models, the performance assessment is carried out in the context of system identification. Comprehensive performance evaluation of the proposed models on synthetic and real-world datasets is carried out and the results compared to those achieved by standard global and local models. The experiments illustrate that the proposed methods achieve accuracies that are comparable to, and even better than, more traditional machine learning methods thus offering a valid alternative to such approaches.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho, revisitamos o modelo do acelerador de Fermi, tambÃm conhecido como modelo Fermi-Ulam. Este modelo consiste de uma partÃcula clÃssica de massa unitÃria que està confinada e colidindo elasticamente entre duas paredes rÃgidas, uma delas sendo fixa e a outra dependente do tempo. A descriÃÃo da dinÃmica à feita todas as vezes que a partÃcula colide com a parede mÃvel, de modo que o conhecimento dos valores da velocidade da partÃcula e do tempo no instante da colisÃo descrevem toda a dinÃmica. Duas versÃes para este modelo sÃo estudadas: a versÃo completa e a versÃo simplificada. Na versÃo simplificada, as duas paredes do modelo sÃo assumidas como sendo fixas. O modelo Fermi-Ulam à um modelo conservativo, pois preserva medida do espaÃo de fases. Nossos resultados analÃticos e numÃricos para este modelo conservativo sÃo apresentados e discutidos. Algumas propriedades dinÃmicas para uma partÃcula sofrendo a aÃÃo de uma forÃa de arrasto sÃo obtidas para um modelo Fermi-Ulam dissipativo. A dissipaÃÃo à introduzida via uma forÃa de arrasto viscoso, como um gÃs, que à assumida como sendo proporcional `a velocidade elevada a um expoente γ, F = −ηV^{ γ}. As dinÃmicas dos modelos sÃo descritas por mapeamentos bidimensionais nÃo-lineares obtidos via solucÃes da segunda lei de Newton. NÃs provamos, analiticamente, que o decaimento para altas energias à dado por uma fraÃÃo continuada que recupera as seguintes expressÃes: (i) linear para γ = 1; (ii) exponencial para γ = 2 e (iii) um polinÃmio de segundo grau para γ = 1.5. Os resultados numÃricos mostram um comportamento polinomial para o decaimento da velocidade. Nossos resultados sÃo discutidos para as versÃes completa e simplificada dos modelos. Os espaÃos de fases e as bacias de atraÃÃo para alguns valores de γ sÃo obtidos. Complementando nossos estudos sobre esta versÃo dissipativa do modelo Fermi-Ulam, um modelo misto tambÃm à proposto. Neste modelo, a partÃcula viaja atravÃs de dois meios distintos. Sua dinÃmica à iniciada em um meio sem dissipaÃÃo, digamos, um vÃcuo e em algum ponto ela entra em uma regiÃo dissipativa. A dissipaÃÃo tambÃm à introduzida por uma forÃa de arrasto viscoso, tal que F = −ηV^{γ}. Em particular, para o estudo do modelo misto utilizamos γ = 1 e γ = 2. O sistema à caracterizado pela relaÃÃo de dois meios de comprimento λ. NÃs mostramos que existe uma transiÃÃo suave do regime de velocidade conforme λ à variado. ConstruÃmos os espaÃos de fases para as versÃes completa e simplificada dos modelos. Para os casos limites, λ=0 ou λ=1, o sistema comporta-se como um Ãnico meio.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / A metÃfora sempre ocupou um lugar de destaque nos estudos do significado e, com o avanÃo das pesquisas em LinguÃstica Cognitiva, essa figura apresenta-se mais evidente quando posta em relaÃÃo com a metonÃmia, que ganha pouco destaque nas pesquisas acadÃmicas. Nesse contexto, a presente pesquisa tem como objetivos: (i) estabelecer a primazia da metonÃmia sobre a metÃfora por meio da anÃlise dinÃmica do discurso dos participantes de grupos focais, ao discutirem a violÃncia urbana na cidade de Fortaleza; (ii) verificar se as relaÃÃes metonÃmicas dÃo-se tanto em nÃvel contextual como de enunciado; e (iii) demonstrar que as metonÃmias sÃo responsÃveis pela emergÃncia de grande parte dos veÃculos metafÃricos, tÃo importantes para a construÃÃo do sentido. Para tanto, fez-se necessÃrio discutir as principais abordagens dos fenÃmenos à luz da teoria dos Sistemas DinÃmicos Complexos, ancorados em Larsen-Freeman (1997); Larsen-Freeman e Cameron (2008), na teoria fractal, com fundamentos em Paiva (2010) e Mandelbrot (1982), assim como Capra (2006). Esse referencial teÃrico serviu de base para verificarmos a hipÃtese de que grande parte das metÃforas serà oriunda de metonÃmia e de que as relaÃÃes que contribuem para a emergÃncia dessa figura deram-se tanto em nÃvel contextual como de enunciado, surgindo de forma fragmentada no discurso real dos participantes dos grupos focais. AlÃm disso, a pesquisa propÃe-se tambÃm a descrever o processo de conceitualizaÃÃo da violÃncia urbana com base nos critÃrios do paradigma da complexidade, mostrando sua importÃncia para as atuais pesquisas. Para dar consistÃncia à nossa discussÃo, embasamo-nos em autores como Goosens (1990, 1995), Barcelona (1997) e Radden (2003) que tambÃm discutem a complexa relaÃÃo entre metÃfora e metonÃmia. Nosso estudo està pautado em uma pesquisa qualitativa e teÃrica, que nos permite refletir acerca da primazia da metonÃmia em relaÃÃo à metÃfora, analisando a transcriÃÃo de trÃs grupos focais que discutiram a questÃo da violÃncia urbana na cidade de Fortaleza-CE. A anÃlise permitiu constatar, atà o momento que, em alguns casos, no processo de conceitualizaÃÃo da violÃncia urbana, a metÃfora tem procedÃncia na metonÃmia, visto que as relaÃÃes que estruturam a metonÃmia, como parte pelo todo, instituiÃÃo pelos responsÃveis, efeito pela causa, entre outros, permeiam tanto o enunciado como o contexto da discussÃo dos participantes dos grupos focais. Isso nos fez chegar à conclusÃo de que uma sÃrie de metÃforas provÃm de metonÃmias o que mostra que, apesar de a metÃfora e a metonÃmia interagirem entre si, em alguns casos, hà primazia desta sobre aquela. / The metaphor has always occupied an important place in meaning studies and with the advances on Cognitive Linguistics researches this figure presents itself more evident when put in relation with metonym, which has less importance on academic researches. In this context, this very work aims: (i) establish the primacy of metonym over metaphor by the dynamic discourse analysis of focal group participants when discussing urban violence in the city of Fortaleza; (ii) verify if the metonymic relations appear both in context and wording; and (iii) demonstrate that metonyms are responsible for the emerging of great part of metaphorical vehicles, so important to the construction of meaning. Thus, it was necessary to discuss the main approaches of these phenomena in light of Complex Dynamic Systems theory, anchored on Larsen-Freeman (1997); Larsen-Freeman e Cameron (2008), on fractal theory, based in Paiva (2010) e Mandelbrot (1982), as Capra (2006). This theoretical reference served as base to verify the hypothesis that great part of metaphors emerge from metonyms and that the relations contribute to the emerging of that both contextual and wording levels arise fragmented in the real discourse of focal group participants. Furthermore, the research proposes itself to also describe the process of conceptualization of urban violence based in the criteria of complexity paradigm, showing its importance to the current researches. To give consistency to that discussion we based ourselves in authors such as Goosens (1990, 1995), Barcelona (1997) and Radden (2003), who also discuss the complex relation between metaphor and metonym. Our study is ruled by a qualitative and theoretical research that allows us to reflect about the primacy of metonym over metaphor, analyzing the transcription of three focal groups that discussed the urban violence in the city of Fortaleza. The analysis allowed until this moment the ascertainment that in some cases, in the process of conceptualization, the metaphor arises from metonym, as relations that structure metonym, such as take a tree for a forest, institution for its responsible ones, effect by cause, permeate both wording and context of the discussion of the focal group participants. This made us come to the conclusion that a series of metaphors come from metonyms, what shows that although metaphor and metonym interact themselves, there is a primacy of the second over the first in some cases.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / Neste trabalho investigamos algumas aplicaÃÃes do formalismo de escala em mapeamentos discretos. Exploramos os decaimentos assintÃticos ao estado estacionÃrio com foco em trÃs tipos de bifurcaÃÃes em mapeamentos unidimensionais: bifurcaÃÃo transcrÃtica, bifurcaÃÃo supercrÃtica de forquilha e bifurcaÃÃo de duplicaÃÃo de perÃodo. Caracterizamos este comportamento atravÃs de uma funÃÃo homogÃnea generalizada com expoentes crÃticos bem definidos. PrÃximo ao ponto de bifurcaÃÃo o decaimento ao ponto fixo ocorre atravÃs de uma funÃÃo exponencial cujo o tempo de relaxaÃÃo à caracterizado por uma lei de potÃncia que independe da nÃo linearidade do mapa. Os resultados obtidos numericamente harmonizam com os resultados analÃticos. Aplicamos tambÃm o formalismo de escala em mapeamentos bidimensionais conservativos e dissipativos. No caso conservativo, nosso objetivo foi analisar o comportamento de Ãrbitas caÃticas prÃximas à transiÃÃo de fase de integrÃvel para nÃo integrÃvel. PrÃximo à esta transiÃÃo, descrevemos o sistema dinÃmico utilizando uma funÃÃo homogÃnea generalizada para a qual encontramos um lei de escala que descreve o comportamento da aÃÃo quadrÃtica mÃdia prÃximo à transiÃÃo. AtravÃs de uma discussÃo fenomenolÃgica, encontramos expoentes crÃticos que corroboram com a descriÃÃo analÃtica. No caso dissipativo, nosso principal objetivo foi investigar a influÃncia na dinÃmica ao ser introduzido um termo dissipativo, causando a supressÃo da difusÃo ilimitada da variÃvel aÃÃo quadrÃtica mÃdia. Seguimos uma descriÃÃo fenomenolÃgica acompanhada de uma descriÃÃo analÃtica e assim, determinamos os expoentes crÃticos usando uma funÃÃo homogÃnea generalizada. / In this work we are going to investigate the scale formalism in discret mappings. In 1D mappings, we explore the asymptotic decays to the steady state with focus in three types of bifurcation: transcriptical, pitchfork and period-doubling. We identify this behavior through a well defined generalized homogeneous function with critical exponents. Next to the bifurcation point, the decay to the fix point occurs by an exponential function, which is given by a power law that is independent of the non-linearity mapping. The numerical results obtained agree with the analytical results. We also apply the scale formalism in conservatives and dissipatives bidimensional mappings. In the conservative case, our goal was analyze the behavior of the chaotics orbits next to the phase transition from the integrable to the non-integrable. Next to that transition, we describe the dynamical system using a generalized homogeneous function for which we found a power law that describe the behavior of the criticality. Through a phenomenological discussion, we found critical exponents in agree with the analytical description. In the dissipative case, our main goal was to investigate the influence of a dissipative term in the dynamics, causing a phase transition - suppression of unlimited difusion of the action variable. Following a phenomenological approach with an analytical description, we were able to determine the critical exponents using a generalized homogeneous function.