Este trabalho apresenta um estudo quantitativo e qualitativo de soluções positivas para o problema de Dirichlet para a equação de Hénon (P) { - \'DELTA\'u = \'Ix! POT. \' alpha\'\' \'IuI POT. p-2\' em B, u = sobre \\partial B, onde B é a bola unitária aberta de \'R POT. N\' centrada em zero e \'alpha\' > 0. É mostrado que para p \'> OU =\' \'2 AST\' \'IND. \'alpha\'\' = { \'SUP. 2(N + \'alpha)\' \' INF. N - 2\' ; N > 2, \"INFINITO\'; N = 1,2 \'2 AST\' = { \'SUP. 2N\' \'INF. N - 2\' ; N > 2, \'INFINITO\'; N = 1,2, o problema não tem solução não trivial. Em contrapartida, para 1 < p < \'2 AST\'.\' \'IND. \'alpha\'\' com p \'DIFERENTE DE\' 2, a existência de uma solução positiva radial é garantida. Além disso, é provado a unicidade de solução positiva no caso em que 1 < p < 2. Também são apresentados resultados sobre a existência de soluções ground state quando 2 < p < \'2 AST\'. Nesse intervalo, é mostrado que qualquer solução ground state exibe a simetria Schwarz folheada e, no caso em que \'alpha\' é suficientemente grande, é provado que qualquer solução ground state não é radialmente simétrica. Por fim, é apresentado um resultado sobre a existência de múltiplas soluções positivas / This work presents a quantitative and qualitative study of positive solutions for the Dirichlet problem for the Hénon equation (P) (P) { - \'DELTA\'u = \'Ix! POT. \' alpha\'\' \'IuI POT. p-2\' in B, u = 0 on \\partial B, where B is the unit open ball in \'R POT. N\' centered at zero and \'alpha\' \'> OR =\' 0. It is shown that for p \' > OR =\' \'2 AST\' \'IND. alpha\' = \'SUP. 2 (N + alpha)\' INF. N - 2, N > 2, \' INFINITY\'; N = 1, 2, \'2 AST\' = { \'SUP. .2N INF. N - 2 ; N > 2; 1; \' INFINITY\', N = 1, 2; the problem does not have nontrivial solution. In counterpart, for 1 < p < \' 2 AST\' \'IND. alpha\' with p \' DIFFERENT\' 2, the existence of radial positive solutions will be guaranteed. Moreover, the uniqueness of positive solution is guaranteed as long as 1 < p < 2. In addition, results on the existence of ground state solutions are presented in case 2 < p < \'2 AST\'. In this interval, it is proved that any ground state solution exhibits the Foliated Schwarz symmetry and, in case \'alpha\' is sufficiently large, it is shown that the no ground state solution is radially symmetric. This works ends with a result on the existence of multiple positive solutions

Este trabalho apresenta um estudo quantitativo e qualitativo de soluções positivas para o problema de Dirichlet para a equação de Hénon (P) { - \'DELTA\'u = \'Ix! POT. \' alpha\'\' \'IuI POT. p-2\' em B, u = sobre \\partial B, onde B é a bola unitária aberta de \'R POT. N\' centrada em zero e \'alpha\' > 0. É mostrado que para p \'> OU =\' \'2 AST\' \'IND. \'alpha\'\' = { \'SUP. 2(N + \'alpha)\' \' INF. N - 2\' ; N > 2, \"INFINITO\'; N = 1,2 \'2 AST\' = { \'SUP. 2N\' \'INF. N - 2\' ; N > 2, \'INFINITO\'; N = 1,2, o problema não tem solução não trivial. Em contrapartida, para 1 < p < \'2 AST\'.\' \'IND. \'alpha\'\' com p \'DIFERENTE DE\' 2, a existência de uma solução positiva radial é garantida. Além disso, é provado a unicidade de solução positiva no caso em que 1 < p < 2. Também são apresentados resultados sobre a existência de soluções ground state quando 2 < p < \'2 AST\'. Nesse intervalo, é mostrado que qualquer solução ground state exibe a simetria Schwarz folheada e, no caso em que \'alpha\' é suficientemente grande, é provado que qualquer solução ground state não é radialmente simétrica. Por fim, é apresentado um resultado sobre a existência de múltiplas soluções positivas / This work presents a quantitative and qualitative study of positive solutions for the Dirichlet problem for the Hénon equation (P) (P) { - \'DELTA\'u = \'Ix! POT. \' alpha\'\' \'IuI POT. p-2\' in B, u = 0 on \\partial B, where B is the unit open ball in \'R POT. N\' centered at zero and \'alpha\' \'> OR =\' 0. It is shown that for p \' > OR =\' \'2 AST\' \'IND. alpha\' = \'SUP. 2 (N + alpha)\' INF. N - 2, N > 2, \' INFINITY\'; N = 1, 2, \'2 AST\' = { \'SUP. .2N INF. N - 2 ; N > 2; 1; \' INFINITY\', N = 1, 2; the problem does not have nontrivial solution. In counterpart, for 1 < p < \' 2 AST\' \'IND. alpha\' with p \' DIFFERENT\' 2, the existence of radial positive solutions will be guaranteed. Moreover, the uniqueness of positive solution is guaranteed as long as 1 < p < 2. In addition, results on the existence of ground state solutions are presented in case 2 < p < \'2 AST\'. In this interval, it is proved that any ground state solution exhibits the Foliated Schwarz symmetry and, in case \'alpha\' is sufficiently large, it is shown that the no ground state solution is radially symmetric. This works ends with a result on the existence of multiple positive solutions