Décrire la diffusion d'objets browniens corrélés est un problème non trivial en physique statistique. La présence de corrélations à longue portée induit en effet une diffusion "anormale", par définition non décrite par les lois usuelles de la physique statistique et devant être étudiée au cas par cas. Cette thèse est consacrée à l'un de ces exemples, la Single-File Diffusion, désignant la diffusion d'une chaîne ordonnée de particules ne pouvant pas se croiser. Nous présentons des études numériques de dynamique moléculaire ainsi que des études expérimentales nous permettant de mettre en évidence et de caractériser plusieurs régimes de diffusion longitudinale et transverse rencontrés lors de ce phénomène de transport. L'ensemble de nos résultats numériques et expérimentaux est expliqué par un modèle analytique basé sur la décomposition des fluctuations thermiques sur les modes propres de vibration d'un système. Ce modèle s'applique aux systèmes physiques réels car il est valable pour des interactions entre particules à longue portée et tient compte de la dissipation, de la taille du système et des propriétés du potentiel de confinement. L'analyse en modes propres nous permet également de caractériser l'évolution des fluctuations thermiques transverses lors de la transition zizag et de prévoir la structure du système après la transition. Enfin, l'étude de la transition zigzag nous renseigne plus généralement sur les effets d'un bruit thermique sur une bifurcation.

De nombreuses études récentes, expérimentales et in-silico, montrent que la diffusion latérale des molécules dans des membranes biologiques présentent des anomalies, dans le sens que les déplacements carré moyen moléculaires évoluent de façon sublinéaire au lieu de linéaire avec le temps. Mathématiquement, ce type de diffusion peut être modélisé par des équations de diffusion généralisées, dans lesquelles une dérivée fractionnaire du temps s'ajoute à l'équation de diffusion normale correspondante. Le but de cette thèse est d'obtenir un aperçu plus physique des processus de diffusion dans des membranes biologiques. A cet effet, des simulations de dynamique moléculaire d'une bicouche lipidique POPC sont analysées en utilisant les concepts de la physique statistique des liquides. La queue aux temps longs de la fonction d'autocorrélation de vitesses des centres de masse, qui reflète le régime de diffusion des molécules en question, est mise en relation avec leur dynamique aux basses fréquences et avec la structure dynamique autour de chaque molécule. La dernière est caractérisée par la fonction de corrélation de paires dynamique de van Hove pour leurs centres de masse. Il est en particulier montré que la première couche de voisins d'une molécule lipidique qui diffuse ne se désintègre que très lentement avec t !, où 0 < ! < 1. Ce résultat est en accord avec l'observation faite par d'autres auteurs, que les molécules dans une bicouche lipidique ont la tendance de se déplacer d'une manière concertée. Afin d'évaluer l'impact du champ de force sur la nature des processus de diffusion observés, la bicouche lipidique POPC a été simulée avec le champ de force tout atome OPLS et avec le champ de force à gros grains MARTINI. Dans le second, quatre atomes lourds forment un seul grain. Dans les deux cas, on observe une sous-diffusion latérale, avec des exposants similaires, mais la diffusion des lipides obtenue avec le champ de force à gros grains est d'environ trois fois plus rapide et elle apparaît aussi plus rapide que dans des expériences correspondantes. Ce résultat est confirmé par la dynamique des molécules POPC à basse fréquence et par la structure dynamique de leur environnement local. / Various recent experimental and simulation studies show that the lateral diffusion of molecules in biological membranes exhibits anomalies, in the sense that the molecular mean square displacements increase sub-linearily instead of linearly with time. Mathematically, such diffusion processes can be modeled by generalized diffusion equations which involve an additional fractional time derivative compared to the corresponding normal counterpart. The aim of this thesis is to gain some more physical insight into the lateral diffusion processes in biological membranes. For this purpose, molecular dynamics simulations of a lipid POPC bilayer are analyzed by employing concepts from the statistical physics of liquids. The long-time tail of the center-of-mass velocity autocorrelation function, which reflects the diffusional regime of the molecules under consideration, is related to their low-frequency dynamics and to the dynamical structure around each molecule. The latter is studied in terms of the time dependent van Hove pair correlation function for their centers-of-mass. It is in particular demonstrated that the first shell of neighbors of a diffusing lipid molecule decays very slowly with t^(-beta), with 0 < beta < 1. This finding is in agreement with the observation that lipid molecules tend to form collective flow patterns, which has been recently reported by other authors. In order to evaluate the impact of the molecular dynamics force field on the nature of the observed diffusion process, the POPC bilayer was simulated with the OPLS all atom force field and with the coarse-grained MARTINI force field. In the latter, four heavy atoms are combined into one bead. In both cases lateral sub-diffusion with similar exponents is observed, but the diffusional motion obtained with the coarse grained force field is about three times faster and appears also to be faster than in experiments. This result is reflected in the low-fequency dynamics of the POPC molecules and in the dynamical structure of their local environment.

Cette thèse est consacrée à l'analyse asymptotique d'équations aux dérivées partielles issues de modèles de déplacement sous-diffusif en biologie cellulaire. Notre motivation biologique est fondée sur les nombreuses observation récentes de protéinescytoplasmiques dont le déplacement aléatoire dévié de la diffusion Fickienne normale. Dans la première partie, nous étudions la décroissance auto-similaire de la solution d'une équation de renouvellement à queue lourde vers un état stationnaire. Les idéesmises en jeu sont inspirées de méthodes d'entropie relative. Nos principaux apports sont la preuve d'un taux de décroissance en norme L1 vers la loi de l'arc-sinus et l'introduction d'une fonction pivot spécifique dans une méthode d'entropie relative.La seconde partie porte sur la limite hyperbolique d'une équation de renouvellement structurée en âge et à sauts en espace. Nous y prouvons un résultat de « stabilité » : les solutions des problèmes rééchelonnés à ε > 0 convergent lorsque ε --> 0 vers la solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi limite des problèmes à ε > 0. Les outilsmis en jeu proviennent de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi.Ce travail présente trois idées intéressantes. La première est celle de prouver le résultat de convergence sur la condition de bord du problème plutôt que d'utiliser des fonctions test perturbées. La deuxième consiste en l'introduction de termes correcteurslogarithmiques en temps dans des estimations a priori ne découlant pas directementdu principe du maximum. Cela est dû à la non-existence d'un équilibre du problèmehomogène en espace. La troisième est une estimation précise de la décroissance de l'influence de la condition initiale sur le terme de renouvellement. Elle correspond à une estimation fine d'une version non-locale de la dérivée temporelle de la solution. Au cours de cette thèse, des simulations numériques de type Monte Carlo, schémas volumes finis, Lax-Friedrichs et Weighted Essentially Non Oscillating ont été réalisées. / This thesis is devoted to the asymptotic analysis of partial differential equations modelling subdiffusive random motion in cell biology. The biological motivation for this work is the numerous recent observations of cytoplasmic proteins whose random motion deviates from normal Fickian diffusion. In the first part, we study the self-similar decay towards a steady state of the solution of a heavy-tailed renewal equation. The ideas therein are inspired from relative entropy methods. Our main contributions are the proof of an L1 decay rate towards the arc-sine distribution and the introduction of a specific pivot function in a relative entropy method.The second part treats the hyperbolic limit of an age-structured space-jump renewal equation. We prove a "stability" result: the solutions of the rescaled problems at ε > 0 converge as ε --> 0 towards the viscosity solution of the limiting Hamilton-Jacobi equation of the ε > 0 problems. The main mathematical tools used come from the theory of Hamilton-Jacobi equations. This work presents three interesting ideas. The first is that of proving the convergence result on the boundary condition of the studied problem rather than using perturbed test functions. The second consists in the introduction of time-logarithmic correction termsin a priori estimates that do not follow directly from the maximum principle. That is due to the non-existence of a suitable equilibrium for the space-homogenous problem. The third is a precise estimate of the decay of the inuence of the initial condition on the renewal term. This is tantamount to a refined estimate of a non-local version of the time derivative of the solution. Throughout this thesis, we have performed numerical simulations of different types: Monte Carlo, finite volume schemes, Lax-Friedrichs schemes and Weighted Essentially Non Oscillating schemes.