Le problème de Steklov est un problème spectral dont l'origine se situe en mécanique des fluides (oscillations de faibles amplitudes). En géométrie spectrale, on s'intéresse aux liens entre les fréquences de vibrations propres d'un espace et la géométrie de celui-ci. L'objet de ce mémoire consiste à donner une preuve succincte et accessible du théorème spectral pour le problème de Steklov qui stipule, entre autres, que le spectre de ce problème est discret. En effet, ce théorème est très important puisqu'il est le point de départ de toute étude du problème de Steklov en géométrie spectrale. Néanmoins, la preuve n'est pas facilement accessible dans la littérature et demande un travail bibliographique considérable.

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux problèmes de préservation locale. Après un chapitre introductif, on présente les définitions et les principaux résultats sur la théorie spectrale locale. Nous présentons aussi les théorèmes fondamentaux de préservation locale. Dans le chapitre suivant, nous nous intéressons à caractériser les applications surjectives qui conservent le spectre périphérique locale du produit et du produit triple de deux operateurs. Aussi nous établissons la continuité automatiques des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé. De plus, nous présentons une application de ce résultat. Dans le dernier chapitre, soit X un espace de Banach de dimension infini et [symbol] algébre des opérateurs bornés définis sur X, nous caractérisons les applications surjectives qui verifient [symbol] si est seulement si [symbol], pour tout [symbol] et [symbol], où [symbol] est le rayon spectral intérieur local. Enfin, nous déterminons toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé. / In this PhDthesis inOperator theory, we are interested in preserver problems of local spectra. After an introductory chapter, we present the definitions and the main results on local spectral theory. We also present the fundamental theorems of preserver problems of local spectra. In the next chapter, we address two long standing problems in the context of local spectral radius preservers. First, we completely describe the form of maps preserving the peripheral local spectrum of product or triple product of operators. Second, we establish the automatic continuity of linear maps increasing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector. In the last chapter, let [symbol] be the algebra of all bounded linear operators on an infinite dimensional complex Banach space X, and let [symbol] denote the inner local spectral radius of an operator [symbol] at any vector [symbol]. We characterize surjective maps onB(X) satisfying [symbol] if and only if [symbol], for all [symbol] and [symbol]. We also determine the form of all bicontinuous bijective maps on [symbol] preserving the inner local spectral radius of the difference and sumof operators at a nonzero fixed vector.