Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme :<br /> L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , où H0,H1,...,Hm-1 sont des opérateurs définis sur l'espace de Hilbert H et z est un paramètre complexe. On s'intéresse au spectre de la famille L(z). Le problème L(z)u(x)=0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m≥2 (Un nombre complexe z est appelé valeur propre de L(z), s'il existe u dans H, u≠0$ tel que L(z)u=0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m=2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2, définie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme positif elliptique de degré M≥2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas $n=1$ et $n$ paire.<br />L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Helffer-Robert-Wang : « Pour toute dimension n, pour tout M≥2, le spectre de LP est non vide. »<br />Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : (1) n=1,3, pour tout polynôme P de degré M≥2. (2) n=5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. (3) n=7, pour tout polynôme P convexe. <br />Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x,y)=x2+y4, x dans Rn1, y dans Rn2, n1+n2=n, et n paire. <br />Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'élaboration de méthodes simplifiées d'analyse du comportement non-linéaire des ouvrages en béton armé à voiles porteurs sous action sismique. Une stratégie de modélisation simplifiée basée sur la notion de macro-éléments a été adoptée, afin de décrire le comportement non-linéaire du mur voile et d'estimer sa capacité résistante vis-à-vis des forces latérales. Les lois de comportement utilisées pour le béton et l'acier sont basées sur la théorie de l'endommagement et de la plasticité. La validation des capacités prédictives du modèle à partir des résultats expérimentaux a été aussi effectuée. De plus, une étude paramétrique a été réalisée pour étudier la sensibilité des résultats aux variations des paramètres liés au modèle, au matériau et/ou type de chargement. / Abstract

Les récentes paramétrisations utilisées dans les modèles spectraux de vagues offrent des résultats intéressants en termes de prévision et rejeux des états de mer. Cependant, de nombreux phénomènes physiques présents dans ces modèles sont encore mal compris et donc mal modélisés, notamment le terme de dissipation lié au déferlement des vagues.Le travail présenté dans cette thèse vise dans un premier temps à analyser et critiquer les paramétrisations existantes de la dissipation, au travers de la modélisation explicite des propriétés du déferlement sous-jacentes. Du constat de l’échec de ces paramétrisations à reproduire les observations in situ et satellite du déferlement, une nouvelle méthode d’observation et d’analyse des déferlements est proposée à l’aide de systèmes de stéréo vidéo. Cette méthode permet l’observation des déferlements sur des surfaces de mer reconstruites à haute résolution par stéréo triangulation. Ainsi, une méthode complète de reconstruction des surfaces de mer en présence de vagues déferlantes est proposée et validée. La détection des vagues déferlantes sur les images et leur reprojection sur les surfaces reconstruites est également discutée. Bien que peu d’acquisitions soient disponibles, les différents paramètres observables grâce à l’utilisation de la stéréo vidéo sont mis en avant. Ce travail montre l’intérêt des systèmes vidéo stéréo pour une meilleure observation et compréhension du déferlement des vagues, pour le développement des paramétrisations de la dissipation dans les modèles spectraux de vague. / The recent parameterizations used in spectral wave models provide today interesting results in terms of forecast and hindcast of the sea states. Nevertheless, many physical phenomena present in these models are still poorly understood and therefore poorly modeled, in particular the dissipation source term due to breaking. First, the work presented in this thesis is aimed at analyzing and criticizing the existing parameterizations of the dissipation through the explicit modeling of the underlying properties of breaking. The finding of the failure of these parameterizations to reproduce the in situ and satellite observations, a new method for the observation and the analysis of breaking is proposed using stereo video systems . This method allows the observation of breaking waves on the high-resolution stereo-reconstructed sea surfaces. Therefore, a complete method for reconstruction of the sea surfaces in the presence of breaking waves is proposed and validated.The detection of breaking waves on the images and their reprojection on reconstructed surface is also discussed. Although too few acquisitions are available to draw firm results, an overview of the various observable parameters through the use of stereo video is given.This work shows the importance of stereo video systems to a better observation and understanding of the breaking waves, required in order to improve dissipation source term in spectral wave models.