Eigenwertprobleme haben eine große Bedeutung in Naturwissenschaft und Technik. Häufig müssen auftretende Parameter als zufällige Größen modelliert werden, um stochastische Einflüsse oder auftretende Meßfehler in der Problemstellung zu berücksichtigen. Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Eigenwerten zufälliger Matrizen. Eine erste grobe Näherung für die Erwartungswerte der Eigenwerte sind die Eigenwerte des gemittelten Problems. Die dabei auftretenden Differenzen können jedoch erheblich sein. Eine bessere Approximation wird mit den hier betrachteten Methoden der Störungsrechnung erreicht. Es werden Ergebnisse der Störungsrechnung für die Eigenwerte zufälliger Matrizen zusammengefaßt und Reihenentwicklungen einschließlich der homogenen Glieder zweiter Ordnung angegeben. An numerischen Beispielen werden die Ergebnisse veranschaulicht und mit Simulationen verglichen. Für praktische Anwendungen sind normalverteilte Störungen von besonderem Interesse. Jedoch ist die Konvergenz der Störungsreihen nur gesichert, wenn die Störungen als hinreichend klein vorausgesetzt werden. Da normalverteilte Zufallsgrößen mit positiver Wahrscheinlichkeit jede beliebig große Schranke überschreiten, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt und die Störungsrechnung in diesem Falle nicht ohne weiteres anwendbar. Wird die Entwicklung nach den Störungen dennoch verwendet, können Abschätzungen für den absoluten Fehler bei der Approximation des Erwartungswertes unter Berücksichtigung der Reihenglieder bis zu einer bestimmten Ordnung angegeben werden.

Untersucht werden instationäre Wärmeleitprobleme mit gemischen Randbedingungen 2. und 3. Art. Die Probleme weisen als stochastische Einflussgröße einen zufälligen Wärmeleitkoeffizienten auf. Aus einer Ortsdiskretisierung nach dem Vorbild der Methode der finiten Elemente (FEM) geht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit zufälliger Systemmatrix hervor. Unter der Annahme kleiner stochastischer Schwankungen lässt sich die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe als Entwicklung bezüglich eines Störungsparameters darstellen. Dies ermöglicht die genäherte Berechnung von Erwartungswert- und Korrelationsfunktion der approximativen Lösung des ursprünglichen Randanfangswertproblems. Konkrete Berechnungen werden für ein eindimesionales Wärmeleitproblem angegeben, wobei der Wärmeleitkoeffizient als zufällige Funktion sowie als Zufallsgröße modelliert wird.

Eigenwertprobleme haben eine große Bedeutung in Naturwissenschaft und Technik. Häufig müssen auftretende Parameter als zufällige Größen modelliert werden, um stochastische Einflüsse oder auftretende Meßfehler in der Problemstellung zu berücksichtigen. Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Eigenwerten zufälliger Matrizen. Eine erste grobe Näherung für die Erwartungswerte der Eigenwerte sind die Eigenwerte des gemittelten Problems. Die dabei auftretenden Differenzen können jedoch erheblich sein. Eine bessere Approximation wird mit den hier betrachteten Methoden der Störungsrechnung erreicht. Es werden Ergebnisse der Störungsrechnung für die Eigenwerte zufälliger Matrizen zusammengefaßt und Reihenentwicklungen einschließlich der homogenen Glieder zweiter Ordnung angegeben. An numerischen Beispielen werden die Ergebnisse veranschaulicht und mit Simulationen verglichen. Für praktische Anwendungen sind normalverteilte Störungen von besonderem Interesse. Jedoch ist die Konvergenz der Störungsreihen nur gesichert, wenn die Störungen als hinreichend klein vorausgesetzt werden. Da normalverteilte Zufallsgrößen mit positiver Wahrscheinlichkeit jede beliebig große Schranke überschreiten, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt und die Störungsrechnung in diesem Falle nicht ohne weiteres anwendbar. Wird die Entwicklung nach den Störungen dennoch verwendet, können Abschätzungen für den absoluten Fehler bei der Approximation des Erwartungswertes unter Berücksichtigung der Reihenglieder bis zu einer bestimmten Ordnung angegeben werden.

Untersucht werden instationäre Wärmeleitprobleme mit gemischen Randbedingungen 2. und 3. Art. Die Probleme weisen als stochastische Einflussgröße einen zufälligen Wärmeleitkoeffizienten auf. Aus einer Ortsdiskretisierung nach dem Vorbild der Methode der finiten Elemente (FEM) geht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit zufälliger Systemmatrix hervor. Unter der Annahme kleiner stochastischer Schwankungen lässt sich die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe als Entwicklung bezüglich eines Störungsparameters darstellen. Dies ermöglicht die genäherte Berechnung von Erwartungswert- und Korrelationsfunktion der approximativen Lösung des ursprünglichen Randanfangswertproblems. Konkrete Berechnungen werden für ein eindimesionales Wärmeleitproblem angegeben, wobei der Wärmeleitkoeffizient als zufällige Funktion sowie als Zufallsgröße modelliert wird.