Wir untersuchen eine SU(3) Yang-Mills-Theorie mit einer Kopplung an ein bosonisches Spinorfeld. Diese als Bermion-Modell bekannte Theorie entspricht formal QCD mit minus zwei Quark-Flavors. Gegenüber der vollen QCD erfordert sie wesentlich weniger Computerzeit und ist deshalb als relativ kostengünstiges Testmodell geeignet. Im Mittelpunkt unseres Interesses steht die Step-Scaling-Funktion, die die Skalenabhängigkeit der laufenden Kopplung im Schrödinger-Funktional-Renormierungsschema beschreibt. Mit Hilfe einer nicht-perturbativen Finite-Size-Technik kann sie benutzt werden, um den Lambda-Parameter, der die Kopplung bei hohen Energien charakterisiert, aus experimentellen Daten bei niedrigen Energien zu bestimmen. Wir studieren im Detail die Gitterartefakte und die Kontinuumsextrapolation der aus Gittersimulationen bestimmten Step-Scaling-Funktion, wenn O(a)-Verbesserung nach Symanzik verwendet wird. Unsere Resultate stellen wir dem Fall von unverbesserten Bermionen und dynamischen Fermionen gegenüber, und vergleichen im Kontinuumslimes mit renormierter Störungstheorie. Weiterhin betrachten wir im Bermion-Modell die Step-Scaling-Funktion mit massiven Quarks. Nach dem Appelquist-Carazzone-Theorem erwartet man, daß Beiträge von Materiefeldern mit ansteigender Masse verschwinden, so daß die Step-Scaling-Funktion gegen den Fall reiner Eichtheorie konvergieren sollte. Wenn man nicht-perturbativ verschiedene effektive Theorien mit verschiedener Anzahl von aktiven Quarks über Massenschwellen hinweg verbinden will, sollten Gitterartefakte klein sein. Um die Durchführbarkeit einer solchen Methode zu testen, untersuchen wir die Step-Scaling-Funktion und ihre Gitterartefakte für verschiedene Massen. Für die Monte-Carlo-Simulation von verbesserten Bermionen entwickeln wir einen geeigneten Algorithmus und vergleichen seine Effizienz mit unbesserten Bermionen und mit voller QCD. Als vorbereitende Studie vergleichen wir die Effizienz verschiedener Algorithmen in reiner Eichtheorie. / As a computationally less costly test case for full QCD, we investigate an SU(3) Yang-Mills theory coupled to a bosonic spinor field. This theory corresponds to QCD with minus two quark flavors and is known as the bermion model. Our central object of interest is the step scaling function which describes the scale evolution of the running coupling in the Schrödinger functional scheme. With the help of a non-perturbative recursive finite size technique, it can be used to determine the Lambda parameter, which characterizes the coupling at high energy, from experimental input at low energies. We study in detail the lattice artefacts and the continuum extrapolation of the step scaling function from lattice simulations when O(a) improvement according to the Symanzik programme is used. Our results are compared to the unimproved bermion and dynamical fermion cases, and to renormalized perturbation theory in the continuum limit. For the bermion model, we also examine the step scaling function with massive quarks. According to the Appelquist-Carazzone theorem the contributions from matter fields are expected to vanish for large masses, such that the step scaling function converges to the pure gauge theory case. If one wants to connect non-perturbatively different effective theories with different numbers of active quarks over flavor thresholds, lattice artefacts should be reasonably small. In order to test the feasibility of such a method, we investigate the step scaling function and its lattice artefacts for several values of the mass. For the Monte Carlo simulation of improved bermions, we develop a suitable algorithm and compare its performance with unimproved bermions and full QCD. As a preparative study, we compare the efficiency of algorithms in pure gauge theory.

In dieser Arbeit studieren wir durch numerische Simulationen die Theorie der starken Wechselwirkung Quantenchromodynamik auf einem Raumzeit-Gitter (Gitter-QCD) mit vier dynamischen Quark-Flavors. In den Anfaengen der Gitter QCD wurden die Effekte der Quark-Polarisation aufgrund von technischer Begrenzung der Rechenkapazitaet vernachlaessigt und die sogennante "quenched Approximation" angewendet. Der Grund fuer die "quenched" Approximation war, dass der numerische Aufwand um die Fermion-Determinante auszuwerten die damaligen technischen Moeglichkeiten ueberstieg. In der Tat ist dies immer noch eine grosse Herausforderung fuer die numerische Simulation der QCD aber durch neue technische und algorithmische Entwicklungen kann man heutzutage die Quark-Polarisationseffekte mit mindestens zwei Quark-Flavors beruecksichtigen. Seit einigen Jahren werden solche Simulationen in verschiedenen Kollaborationen durchgefuehrt. In unserem Projekt wird die Gitter-QCD mit vier degenerierten O(a) verbesserten Wilson Quarks im Schroedinger Funktional Schema untersucht mit dem Ziel, die Energieabhaengigkeit der starken Kopplung zu berechnen. Zu diesem Zweck bestimmen wir erst den O(a) Verbesserungskoeffizienten csw mit vier Flavors und benutzen dieses Ergebnis um die Step-Scaling Funktion der QCD zu bestimmen, die das Laufen der Kopplung ueber einen grossen Skalenbereich beschreibt. Unter Benutzung eines Finite-Size Verfahrens berechnen wir den Lambda Parameter in Einheiten von einer Skala Lmax, die eine eindeutig definierte Laenge im hadronischen Bereich darstellt. Die QCD-Kopplung alpha_SF im sogenannten Schroedinger Funktional Schema wird dann ueber einen weiten Bereich der Energie bestimmt und ein Vergleich mit 2-loop und 3-loop Stoerungstheorie sowie mit dem nicht-perturbativen Ergebnis fuer den Fall von zwei Flavors durchgefuehrt. / In this thesis we study the theory of strong interaction Quantum Chromodynamics on a space-time lattice (lattice QCD) with four flavors of dynamical fermions by numerical simulations. In the early days of lattice QCD, only pure gauge field simulations were accessible to the computational facilities and the effects of quark polarization were neglected. The so-called fermion determinant in the path integral was set to one (quenched approximation). The reason for this approximation was mainly the limitation of computational power because the inclusion of the fermion determinant required an enormous numerical effort. However, for full QCD simulations the virtual quark loops had to be taken into account and the development of new machines and new algorithmic techniques made the so-called dynamical simulations with at least two flavors possible. In recent years, different collaborations studied lattice QCD with dynamical fermions. In our project we study lattice QCD with four degenerated flavors of O(a) improved Wilson quarks in the Schroedinger functional scheme and calculate the energy dependence of the strong coupling constant. For this purpose, we determine the O(a) improvement coefficient csw with four flavors and use this result to calculate the step scaling function of QCD with four flavors which describes the scale evolution of the running coupling. Using a recursive finite-size technique, the Lambda parameter is determined in units of a technical scale Lmax which is an unambiguously defined length in the hadronic regime. The coupling alpha_SF of QCD in the so-called Schroedinger functional scheme is calculated over a wide range of energies non-perturbatively and compared with 2-loop and 3-loop perturbation theory as well as with the non-perturbative result for only two flavors.