Orientador: Marcelo Martins dos Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-14T14:51:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Teixeira_EdsonJose_M.pdf: 638751 bytes, checksum: 1d26a9bbc1ee3ba6c4ee45e29c14c45e (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho consiste de uma exposição detalhada do resultado provado no artigo "Global weak solutions to 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity" de S. Jiang, Z. P. Xin e P. Zhang (Methods Appl. Anal. - 2005), sobre a existência e unicidade de solução fraca para o sistema de Navier-Stokes unidimensional de um fluido isentrópico compressível com viscosidade dependente da densidade e com fronteira livre em coordenadas lagrangianas, ?t +?2ux = 0 0 < x < 1, t > 0 ut + (P(?))x = (?µ (?)ux)x 0 < x < 1, t > 0 onde ?, u; P(?) e µ(?) são a densidade, velocidade, pressão e viscosidade do fluido, e exigiremos que este fluido satisfaça a condição de fronteira (-P(?) + (?µ(?)ux)= 0. Trataremos do caso particular onde consideramos P(?) = A ?? e µ( ?) = B?a; onde A, B > 0,? > 1 e 0 < a < 1 são constantes. Acrescentaremos uma condicão inicial (?0,u0). / Abstract: The present work makes a well-detailed exposition about the main results given in the paper "Global weak solutions to 1D compressible isentropic Navier-Stokes equations with densitydependent viscosity" by S. Jiang, Z. P. Xin and P. Zhang (Methods Appl. Anal. - 2005). The problem in this paper has a free boundary but in lagrangian coordinates the equations are the following, ?t +?2ux = 0 0 < x < 1, t > 0 ut + (P(?))x = (?µ (?)ux)x 0 < x < 1, t > 0 and the boundary becomes the fixed points x = 0 and x = 1; Here ?, u; P(?) and µ(?) are, respectively, the density, velocity, pressure and the viscosity of the fluid. The boundary condition, at x = 0 and x = 1, is given by (-P(?) + (?µ(?)ux)= 0. Although the pressure and viscosity may have more general forms, to be more specific, the authors consider only the special case P(?) = A ?? e µ( ?) = B?a, with A; B > 0,? > 1 and 0 <a< 1 being constants. An initial condition (?0,u0) is also given at time t = 0. / Mestrado / Analise, Equações Diferenciais Parciais / Mestre em Matemática

Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés du laplacien dans trois contextes bien distincts. Dans une première partie, celui-ci nous sera utile pour régulariser des solutions d'équations venues de la mécanique des fluides incompressibles. En application, on montrera un théorème dans la lignée des résultats de J. Serrin et de ses continuateurs. Dans une deuxième partie, le laplacien est vu comme le pendant stationnaire de l'opérateur des ondes sur un graphe, dont les modes et fréquences propres déterminent la propagation de perturbations sur le graphe. On y explore et démêle les liens entre la topologie du graphe, sa forme et sa première fréquence propre non nulle. Dans une dernière partie, le laplacien est pensé comme un opérateur linéaire à diagonaliser dans une base adaptée, objectif dont l'accomplissement est intimement lié à la transformée de Fourier. Deux difficultés majeures apparaissent ici : la non commutativité des groupes auxquels nous nous intéressons d'une part, l'apparition d'une limite singulière de la transformée de Fourier d'autre part. / This thesis is devoted to the study of the laplacian properties in three fully distinct contexts.In a first part, it will be used to smooth solutions of equations coming from incompressible fluid mechanics.As an application, we will show a result in the spirit of J. Serrin and his continuators' theorem.In a second part, the laplacien is seen as the stationary counterpart of the wave operator on a graph, whose eigenmodes and eigenfrequencies determine the propagation of perturbations on the graph.We explore and disentangle the ties between the graph's topology, its shape and its first nonzero eigenfrequency.In the last part, the laplacian is thought of as a linear operator which we wish to diagonalize in an appropriate basis, a goal which is intimately tied to the Fourier transform.Two major difficulties appear in our context : the noncommutativity of the groups of interest on the one hand, the appearance of a singular limit in the Fourier transform on the other hand.

Le but de cette thèse est d'étudier différents exemples des variétés de caractères régulières et sauvages des courbes complexes.La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple de variété de caractères de la sphère avec quatre trous et groupe exotique G₂ comme son groupe de structure. On démontre que pour un choix particulier de classes de conjugaison du groupe G₂ , la variété obtenue est de dimension complexe deux et isomorphe à la surface cubique de Fricke—Klein. Cette surface apparaît déjà dans le cas classique comme la variété de caractères de cette surface avec le groupe de structure SL₂ (C). De plus, on interprète les orbites de groupe de tresses de taille 7 dans cette surface comme les droites passant par les triplés de points dans le plan de Fano P² (F₂).Dans la deuxième partie, on établit plusieurs cas de la „conjecture d'écho”, correspondant aux équations différentielles de Painlevé I, II et IV. On montre que sur la sphère de Riemann avec un point singulier, pour des choix particuliers de la singularité il y a trois familles infinies de variétés de caractères sauvages de dimension complexe deux. Dans ces familles, le rang du groupe de structure n'est pas borné et augmente jusqu'à l'infini. Le résultat principal de cette partie démontre que tous les membres de ces trois familles de variétés sont isomorphes aux espaces de phase des équations de Painlevé associées. En calculant les quotients de la théorie géométrique des invariants, on fournit des isomorphismes explicites entre les anneaux de fonctions des variétés affines qui apparaissent et relie les paramètres des surfaces cubiques.Dans la dernière partie, avec des outils de la géométrie quasi-Hamiltonienne, on étudie une famille des espaces généralisant les hiérarchies de Painlevé I et II pour les groupes linéaires de rang supérieur. En particulier, pour toute variété Bk dans la hiérarchie il y a une application moment, prenant ses valeurs dans un groupe, qui s'avère être un polynôme continuant d'Euler. Ces polynômes admettent des factorisations en continuants plus courts et on montre que les factorisations d'un polynôme continuant de longueur k en termes de longueur un sont énumérées par le nombre de Catalan Ck. De plus, chaque factorisation fournit un plongement du produit de fusion de k copies de GLn (C) sur un ouvert dense de Bk et on démontre que ces plongements relient les structures quasi-Hamiltoniennes. Finalement, on utilise ce résultat pour dériver une formule explicite pour la 2-forme quasi-Hamiltonienne sur Bk, généralisant la formule connue dans le cas de B₂ . / The aim of this thesis is to study various examples of tame and wild character varieties of complex curves.In the first part, we study an example of a tame character variety of the four-holed sphere with simple poles and exotic group G₂ as the structure group. We show that for a particular choice of conjugacy classes in G₂, the resulting affine symplectic variety of complex dimension two is isomorphic to the Fricke-Klein cubic surface, known from the classical case of the character variety for the group SL₂(C). Furthermore, we interpret the braid group orbits of size 7 in this affine surface as lines passing through triples of points in the Fano plane P²(F₂).In the second part, we establish multiple cases of the so-called „echo conjecture”, corresponding to the cases of Painleve I, II and IV differential equations. We show that for the Riemann sphere with one singular point and suitably chosen behavior at the singularity, there are three infinite families of wild character varieties of complex dimension two. In these families, the rank of the structure group is not bounded and goes to infinity. The main result of this part shows that in each family all the members are affine cubic surfaces, isomorphic to the phase spaces of the aforementioned Painleve equations. By computing the geometric invariat theory quotients, we provide explicit isomorphisms between the rings of functions of the arising affine varieties and relate the coefficients of the affine surfaces.The last part is dedicated to the study of a family of spaces generalizing the Painleve I and II hierarchies for higher rank linear groups, which is done by the means of quasi-Hamiltonian geometry. In particular, for each variety Bk in the hierarchy there is a group-valued moment map and they turn out to be the Euler's continuant polynomials. These in turn admit factorisations into products of shorter continuants and we show that for a continuant of length k, the distinct factorisations into continuants of length one are counted by the Catalan number Ck. Moreover, each such factorisation provides an embedding of the fusion product of k copies of GLn(C) onto a dense open subset of B_k and the quasi-Hamiltonian structures do match up. Finally, using this result we derive the formula for the quasi-Hamiltonian two form on the space Bk, which generalises the formula known for the case of B₂.

Thermal convection with evolving surface in a rotating icy satellite Master's Thesis author: Miroslav Kuchta∗ supervisor: Doc. RNDr. Ondřej Čadek, CSc.† Keywords: Stokes-Fourier system, Free surface, Finite-differences Abstract This thesis is concerned with modeling the surface deformations and thermal convection in a rotating icy satellite. The system of gov- erning equations, that we derive from general balance laws, is solved numerically using the finite-difference method on a staggered grid. Free surface is understood as implicitly described interface between the satellite and an almost massless medium with viscosity orders of magnitude smaller than ice. We design a numerical method capable of tracking the deforming surface. The numerical method is applied to models with temperature-dependent viscosity. ∗ Mathematical Institute of Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University in Prague, Czech Republic. miroslav.kuchta@gmail.com † Department of Geophysics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University in Prague, Czech Republic. oc@karel.troja.mff.cuni.cz 1

[pt] O presente trabalho tem como objetivo a realização de um transmissor experimental para comunicações ópticas baseado na modulação por chaveamento de polarização da luz, conhecida como Polarization Shift Keying (PolSK). Realizamos análise teórica das vantagens e desvantagens da modulação PolSK frente aos requisitos de desempenho das comunicações ópticas atuais, entre os quais a eficiência espectral, o consumo de energia e roteamento totalmente óptico em redes transparentes. A principal abordagem da dissertação está relacionada ao ganho em eficiência espectral que pode ser alcançado com o uso de constelações de símbolos num espaço dimensional denominado espaço de Stokes. Dados obtidos de um transmissor experimental de baixa velocidade demonstram a geração de constelações de símbolos tridimensionais contendo oito símbolos numa geometria de hexaedro (cubo). Com base nos conceitos teóricos, o arranjo experimental que construímos pode ser reproduzido para funcionar em velocidades compatíveis com as taxas de transmissão das comunicações ópticas atuais. / [en] The present work aims the experimental realization of an optical transmitter based on the Polarization Shift Keying modulation - known as (PolSK). We analyze theoretically both, advantages and disadvantages of PolSK modulation, emergent performance requirements for current optical communications systems, including spectral efficiency, power consumption and routing in the context of transparent all-optical networks. The main approach of the dissertation is related to the spectral efficiency gain that can be achieved when we use constellations of symbols in a dimensional space called Stokes space. Data from a low speed experimental transmitter demonstrate the generation of three-dimensional constellations of symbols containing eight symbols on hexahedron (cube) geometry. Based on the theoretical concepts we built the experiment, the setup can be replicated to operate at speeds compatible with transmission rates of current optical communications systems.

L’objectif de cette thèse est de chercher, dans un écoulement turbulent réel, d'éventuelles traces des singularités que pourraient développer les solutions des équations d'Euler ou de Navier-Stokes incompressibles 3D. En effet, la question de leur régularité mathématique est toujours ouverte. Dans cette thèse, on postule l'existence de singularités dans les équations d'Euler ou de Navier-Stokes, et on cherche des traces de ces singularités dans des champs de vitesse 3D mesurés dans un écoulement turbulent tourbillonnaire modèle, l'écoulement de von Kármán. La répartition de ces possibles empreintes de singularités, la structure de l'écoulement en leur voisinage ainsi que leur évolution temporelle sont étudiées. Nous nous appuyons sur le travail des mathématiciens Duchon et Robert pour chercher des traces de singularités et cherchons des valeurs extrêmes du terme de Duchon-Robert calculé à toute petite échelle, c’est-à-dire dans la zone dissipative : c’est ce que l’on appelle « traces de singularités ». Nous calculons le terme de Duchon-Robert à partir de champs de vitesse obtenus expérimentalement au centre d’un écoulement de von Kármán turbulent. Les champs de vitesse sont mesurés par vélocimétrie par image de particules tomographique (TPIV), résolue en temps ou non. Dans un premier temps, nous analysons les statistiques du terme de Duchon-Robert échelle par échelle et les comparons à celles de la dissipation visqueuse et à celles du terme de transfert inter-échelles apparaissant dans les équations LES. Dans un deuxième temps, nous analysons la topologie du champ de vitesse autour des événements extrêmes du terme de Duchon-Robert d'abord à partir des invariants du gradient de la vitesse puis par observation directe des champs de vitesse. Dans un troisième temps, nous présentons les résultats préliminaires d’une étude eulérienne de l’évolution temporelle des événements extrêmes du terme de Duchon-Robert. / This thesis is devoted to the experimental search for prints of the singularities that might occur in the solutions of the 3D incompressible Euler or Navier-Stokes equations. Indeed, the existence of solutions to these partial differential equations has been proven but it is still unknown whether these solutions are regular, i.e. whether they blow up in finite time or not. In this thesis, we postulate the existence of such singularities and look for prints of them in 3D velocity fields acquired experimentally in a turbulent swirling flow. The distribution, 3D structure and time evolution of these prints are detailed. Our detection of prints of possible singularities is based on the work of the mathematicists Duchon and Robert. We look for extreme values of the Duchon-Robert term at small scales, i.e. in the dissipative range. That is what we call prints of singularities. We compute the Duchon-Robert term on velocity fields which are acquired experimentally at the center of a von Kármán turbulent swirling flow. The velocity field is measured by tomographic particle image velocimetry (TPIV), either time-resolved or not. In a first part we perform a scale-by-scale analysis of the statistics of the Duchon-Robert term and compare them to the statistics of the viscous dissipation and of the inter-scale energy transfer terms involved in the LES equations. In a second part, we analyze the topology of the velocity field around the extreme events of the Duchon-Robert term. We first use a method based on the invariants of the velocity gradient tensor (VGT) and then observe directly the velocity fields. A third part presents preliminary results of an Eulerian study of the time-evolution of the extreme events of the Duchon-Robert term.

Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG. / The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation.

In this thesis, we study the entropy stability of the compressible Navier-Stokes model along with a modification of the model. We use the discretization of the inviscid terms with the Ismail-Roe entropy conservative flux. Then, we study entropy stability of the augmentation of viscous, heat and mass diffusion finite difference approximations to the entropy conservative flux. Additionally, we look at different choices of the diffusion coefficient that arise from combining the viscous, heat and mass diffusion terms. Lastly, we present numerical results of the discretizations comparing the effects of the viscous terms on the oscillations near the shock and show that they preserve entropy stability.

We examine the Rayleigh–Bénard convection as modelled by the Boussinesq equation. Our aim is at deriving bounds for the heat enhancement factor in the vertical direction, the Nusselt number, which reproduce physical scalings. In the first part of the dissertation, we examine the the simpler model when the acceleration of the fluid is neglected (Pr=∞) and prove the non-optimality of the temperature background field method by showing a lower bound for the Nusselt number associated to it. In the second part we consider the full model (Pr<∞) and we prove a new upper bound which improve the existing ones (for large Pr numbers) and catches a transition at Pr~Ra^(1/3).

Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcum Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale : la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes L1 et Linfini pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre