Neste trabalho apresentamos resultados de existência e unicidade para gráficos de curvatura média constante em H² x R, com bordo prescrito em planos paralelos, obtidos através da resolução de problemas de Dirichlet para a equação da curvatura média. / In this work we investigate the existence and uniqueness of constant mean curvature graphs in H² x R, with boundary in parallel planes, by solving a Dirichlet problems for the mean curvature equation.

Neste trabalho apresentamos resultados de existência e unicidade para gráficos de curvatura média constante em H² x R, com bordo prescrito em planos paralelos, obtidos através da resolução de problemas de Dirichlet para a equação da curvatura média. / In this work we investigate the existence and uniqueness of constant mean curvature graphs in H² x R, with boundary in parallel planes, by solving a Dirichlet problems for the mean curvature equation.

Neste trabalho apresentamos resultados de existência e unicidade para gráficos de curvatura média constante em H² x R, com bordo prescrito em planos paralelos, obtidos através da resolução de problemas de Dirichlet para a equação da curvatura média. / In this work we investigate the existence and uniqueness of constant mean curvature graphs in H² x R, with boundary in parallel planes, by solving a Dirichlet problems for the mean curvature equation.

D. Hoffman, R. Osserman e R. Schoen mostraram que se a aplicação de Gauss de uma superfície orientada completa de curvatura média constante M imersa em R³ está contida em um hemisfério fechado de S² (equivalentemente, a função <n, V> não muda de sinal em M, onde n é um vetor unitário normal de M e v algum vetor não nulo de R³), então M é invariante por um subgrupo a um parâmetro de translações de R³ (aquele determinado por v). Neste trabalho obtemos uma extensão deste resultado para o caso em que o espaço ambiente é uma variedade riemanniana e M uma hipersuperfície em N requerendo que a função <n, V> não mude de sinal em M, onde V é um campo de Killing em N. Na parte final deste trabalho consideramos uma variedade riemanniana Killing paralelizável N para definir uma translação Y: M -> Rn de uma hipersuperfície M de N que é uma extensão natural da aplicação de Gauss de uma hipersuperfície de Rn. Considerando as mesmas hipóteses para a imagem de y obtemos uma extensão do resultado original de Hoffman-Osserman-Schoen. / D. Hoffman, R. Osserman and R. Schoen proved that if the Gauss map of a complete constant mean curvature oriented surface M immersed in R³ is contained in a closed hemisphere of S² (equivalently, the function <n, V> does not change sign on M where n is a unit normal vector of M and v some non zero vector of R³), then M is invariant by a one parameter subgroup of translations of R³ (the one determined by v). In this work we obtain an extension of this result to the case that the ambient space is a Riemannian manifold and M a hypersurface on N by requiring that the function <n, V> does not change sign on M, where V is a Killing field on N. In the last part of this work we consider a Killing paralelizable Riemannian manifold N to define a translation map y : M -> Rn of a hypersurface M of N which is a natural extension of the Gauss map of a hypersurface in Rn. Considering the same hypothesis on the image of y we obtain, an extension to this setting, of the original Hoffman-Osserman-Schoen result.

D. Hoffman, R. Osserman e R. Schoen mostraram que se a aplicação de Gauss de uma superfície orientada completa de curvatura média constante M imersa em R³ está contida em um hemisfério fechado de S² (equivalentemente, a função <n, V> não muda de sinal em M, onde n é um vetor unitário normal de M e v algum vetor não nulo de R³), então M é invariante por um subgrupo a um parâmetro de translações de R³ (aquele determinado por v). Neste trabalho obtemos uma extensão deste resultado para o caso em que o espaço ambiente é uma variedade riemanniana e M uma hipersuperfície em N requerendo que a função <n, V> não mude de sinal em M, onde V é um campo de Killing em N. Na parte final deste trabalho consideramos uma variedade riemanniana Killing paralelizável N para definir uma translação Y: M -> Rn de uma hipersuperfície M de N que é uma extensão natural da aplicação de Gauss de uma hipersuperfície de Rn. Considerando as mesmas hipóteses para a imagem de y obtemos uma extensão do resultado original de Hoffman-Osserman-Schoen. / D. Hoffman, R. Osserman and R. Schoen proved that if the Gauss map of a complete constant mean curvature oriented surface M immersed in R³ is contained in a closed hemisphere of S² (equivalently, the function <n, V> does not change sign on M where n is a unit normal vector of M and v some non zero vector of R³), then M is invariant by a one parameter subgroup of translations of R³ (the one determined by v). In this work we obtain an extension of this result to the case that the ambient space is a Riemannian manifold and M a hypersurface on N by requiring that the function <n, V> does not change sign on M, where V is a Killing field on N. In the last part of this work we consider a Killing paralelizable Riemannian manifold N to define a translation map y : M -> Rn of a hypersurface M of N which is a natural extension of the Gauss map of a hypersurface in Rn. Considering the same hypothesis on the image of y we obtain, an extension to this setting, of the original Hoffman-Osserman-Schoen result.

D. Hoffman, R. Osserman e R. Schoen mostraram que se a aplicação de Gauss de uma superfície orientada completa de curvatura média constante M imersa em R³ está contida em um hemisfério fechado de S² (equivalentemente, a função <n, V> não muda de sinal em M, onde n é um vetor unitário normal de M e v algum vetor não nulo de R³), então M é invariante por um subgrupo a um parâmetro de translações de R³ (aquele determinado por v). Neste trabalho obtemos uma extensão deste resultado para o caso em que o espaço ambiente é uma variedade riemanniana e M uma hipersuperfície em N requerendo que a função <n, V> não mude de sinal em M, onde V é um campo de Killing em N. Na parte final deste trabalho consideramos uma variedade riemanniana Killing paralelizável N para definir uma translação Y: M -> Rn de uma hipersuperfície M de N que é uma extensão natural da aplicação de Gauss de uma hipersuperfície de Rn. Considerando as mesmas hipóteses para a imagem de y obtemos uma extensão do resultado original de Hoffman-Osserman-Schoen. / D. Hoffman, R. Osserman and R. Schoen proved that if the Gauss map of a complete constant mean curvature oriented surface M immersed in R³ is contained in a closed hemisphere of S² (equivalently, the function <n, V> does not change sign on M where n is a unit normal vector of M and v some non zero vector of R³), then M is invariant by a one parameter subgroup of translations of R³ (the one determined by v). In this work we obtain an extension of this result to the case that the ambient space is a Riemannian manifold and M a hypersurface on N by requiring that the function <n, V> does not change sign on M, where V is a Killing field on N. In the last part of this work we consider a Killing paralelizable Riemannian manifold N to define a translation map y : M -> Rn of a hypersurface M of N which is a natural extension of the Gauss map of a hypersurface in Rn. Considering the same hypothesis on the image of y we obtain, an extension to this setting, of the original Hoffman-Osserman-Schoen result.

Neste trabalho, investigamos a existência e unicidade de gráficoscos parabólicos de curvatura média constante H em H³ cujo bordoé dado a priori, sobre hipóteses que relacionam H com a geometria do domínio e uma condição sobre o dado no bordo, que por analogia com um problema similar para gráficos em R³, a denominamos condição de declividade limitada. / In this work, we investigate the existence and uniqueness of parabolic graphs of constant mean curvature H in H³ whose boundary is given a priori, under hypothesis relating H with the geometry of the domain and a condition on the boundary data that, by anal- ogy with a similar problem for vertical graphs in R³, we denominated it by bounded slope condition.

Neste trabalho, investigamos a existência e unicidade de gráficoscos parabólicos de curvatura média constante H em H³ cujo bordoé dado a priori, sobre hipóteses que relacionam H com a geometria do domínio e uma condição sobre o dado no bordo, que por analogia com um problema similar para gráficos em R³, a denominamos condição de declividade limitada. / In this work, we investigate the existence and uniqueness of parabolic graphs of constant mean curvature H in H³ whose boundary is given a priori, under hypothesis relating H with the geometry of the domain and a condition on the boundary data that, by anal- ogy with a similar problem for vertical graphs in R³, we denominated it by bounded slope condition.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2018. / Submitted by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-08-14T20:38:22Z No. of bitstreams: 1 2018_NicholasAlvesAmaral.pdf: 5944064 bytes, checksum: b9a75488feac2e031eaf3c3d4d71561d (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-08-22T21:44:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2018_NicholasAlvesAmaral.pdf: 5944064 bytes, checksum: b9a75488feac2e031eaf3c3d4d71561d (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-22T21:44:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2018_NicholasAlvesAmaral.pdf: 5944064 bytes, checksum: b9a75488feac2e031eaf3c3d4d71561d (MD5) Previous issue date: 2018-08-14 / Neste trabalho, apresentamos resultados gerais relativos ao tópico de superfícies desenvolvíveis. Para tal, introduzimos de forma resumida, os conceitos relativos a curvas parametrizadas e superfícies parametrizadas regulares no espaço euclidiano, necessários para este estudo. Como aplicação, analisamos as parametrizações no plano, de curvas descritas sobre superfícies desenvolvíveis particulares. / This work presents general results about developable surfaces. In order to establish these results, we introduce the necessary concepts that surround the topics of parametrized curves and surfaces in 3-dimensional Euclidean space. We then apply the general results to analyse how curves described on particular developable surfaces unwrap on a plane.

Neste trabalho, investigamos a existência e unicidade de gráficoscos parabólicos de curvatura média constante H em H³ cujo bordoé dado a priori, sobre hipóteses que relacionam H com a geometria do domínio e uma condição sobre o dado no bordo, que por analogia com um problema similar para gráficos em R³, a denominamos condição de declividade limitada. / In this work, we investigate the existence and uniqueness of parabolic graphs of constant mean curvature H in H³ whose boundary is given a priori, under hypothesis relating H with the geometry of the domain and a condition on the boundary data that, by anal- ogy with a similar problem for vertical graphs in R³, we denominated it by bounded slope condition.