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En el ICM (Intemational Congress of Mathematicians) de 1900, Hilbert presenta 23 problemas que establecieron el curso de gran parte de las investigaciones matemáticas del siglo XX. El 21° problema es la existencia de ecuaciones diferenciales lineales, con un grupo de monodromía y singularidades prescritas. Este artículo trata este problema sobre superficies de Riemann no compactas.

Las superficies (2 - variedad conexa) homeomorfas a un abierto de la esfera S2, son llamadas superficies topológicamente planas. En esta tesis, caracterizamos a estas superficies y estudiamos la conexión entre estas características. Es claro que el plano y la esfera son planas. Notemos que una característica que presentan estas dos superficies, es que ambas satisfacen el famoso Teorema de la Curva de Jordan, i.e., el complemento de cualquier curva cerrada simple en el plano o la esfera, tiene exactamente dos componentes conexas. Otra cualidad que se exhibe en estas dos superficies, es que toda 1-forma diferencial de clase C1 cerrada con soporte compacto necesariamente es exacta. Finalmente, describimos la relación que mantienen estas características, además, obtenemos un resultado de rigidez. A saber, una superficie de Riemann homeomorfa a un abierto de S2 es biholomorfa a una abierto de la esfera de Riemann. / Tesis

J. Alcántara-Bode demuestra en [3] que la Hipótesis de Riemann es verdad si y sólo si el operador integral en L2 (0,1), (Aρf)(o)=So1p(0/x) f(x) dx es inyectivo, dondeρ es la función parte fraccionaria. El operador Aρ es Hilbert-Schmidt, no nuclear y se conoce su determinante de Fredholm. En el presente trabajo de tesis, varias herramientas del análisis funcional son usadas para obtener información adicional no trivial de los operadores Aρ y Aρ (α), donde (Aρ(α)f)(o)= ş10 ρ(αθ/x) f(x)d(x). Usando el teorema de descomposición de Ringrose de Aρ y Aρ(α), brindamos información espectral de sus partes normales y Volterras, así como una estimativa de sus números singulares. Basados en el teorema de Müntz, se demuestran fórmulas que involucran a los operadores Aρ(α) y Aρ(β), aplicamos el lema de Douglas para establecer que h E Ran (Aρ(α)) y Ker (A˚ρ (α))= {0}, para todo 0 < α<1 y h (x)= x. Situado en el contexto de trazas singulares, demostramos que si Aρ pertenece a algún ideal geométricamente estable I de L2 (0,1), entonces τ(Aρ)= 0 para toda τtraza singular no trivial en I. Esto fue posible gracias a los resultados de N. Kalton, A. Albeverio, D. Guido, T. Isola y el hecho que los operadores 1/αAρ(α)- 1/βAρ(β)son Volterra. Finalmente, formulas inductivas son presentadas para calcular las trazas de las potencias de Aρ y Aρ(α), así como la construcción de una familia de isometrías parciales con propiedades muy particulares. / J. Alcántara-Bode shows in [3] that the Riemann hypothesis is true if and only if the integral operator on L2 (0,1), (Aρf)(o)=So1p(0/x) f(x) dx is injective, where ρis the fractional part function. The operator Aρ is non-nuclear Hilbert-Schmidt and its Fredholm determinant is known. In the present thesis work, several tools of functional analysis are used to obtain non-trivial additional information of the operators Aρ y Aρ(α), where (Aρ(α)f)(o)= ş10 ρ(αθ/x) f(x)d(x). Using the Ringrose decomposition of Aρ y Aρ(α), we give spectral information of their normal and Volterra parts, as well as an estimate of their singular numbers. Based on the Muntz’s theorem, we show formulas between the operators Aρ(α) and Aρ(β), we apply the Douglas lemma to show that h E Ran (Aρ(α)) and Ker (A˚ρ (α))= {0}, for all 0 < α<1. In the context of singular traces, we show that if Aρ belongs to a geometrically stable ideal I de L2 (0,1), then τ(Aρ)= 0 for every singular trace τ on I. This was possible thanks to the results of N. Kalton, A. Albeverio, D. Guido, T. Isola and the fact that the operators 1/αAρ(α)- 1/βAρ(β)are Volterra. Finally, inductive formulas are presented to calculate the traces of the powers of Aρand Aρ(α), we also construct a family of partial isometries with special properties.

Using the orbicell decomposition of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of Riemann surfaces studied before by the author, a chain complex based on semistable ribbon graphs is constructed which is an extension of the Konsevich’s graph homology. / En este trabajo mediante la descomposicion orbicelular de la compacticacion de Deligne-Mumford del espacio de moduli de supercies de Riemann (estudiada antes por el autor) construimos un complejo basado en grafos de cinta semiestables, lo cual constituye una extension de la homologa de grafos de Kontsevich.