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El objetivo principal de la presente tesis es presentar la teoría de las familias normales y mostrar su importancia en la teoría de grupos discontinuos y discretos. Primero haremos un estudio de las propiedades de las transformaciones de Moebius y luego su clasificación por conjugación. Para así introducirnos en la teoría de familias normales para funciones holomorfas y meromorfas. A partir de ello probaremos algunos resultados de normalidad para transformaciones de Moebius en especial el teorema fundamental de normalidad para transformaciones de Moebius. Finalmente veremos que un grupo Γ de transformaciones de Moebius es discontinuo en un punto α si y solo si Γ es discreto y forma una familia normal en α. / Tesis

En el presente trabajo, consideremos campos vectoriales holomorfos de dimensión compleja 3 deÖnidos en una vecindad de un punto p, donde p es una singularidad aislada, dicrÌtica o no. Es conocido que para campos holomorfos sobre un abierto de C2 que después de un número finito de blowing-up´s en los puntos singulares,la foliación asociada a dicho campo es transformada en una foliación que posee un número finito de singularidades, todas ellas irreducibles (Teorema de Seidenberg). En este trabajo se extiende el Teorema de Seidenberg para campos holomorfos sobre un abierto de C3, es decir, resolvemos el problema de desingularización sobre campos holomorfos 3-dimensiónales, restringiéndonos en el caso de que sea una singularidad absolutamente aislada. -- Palabras claves : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Complejas, Foliación Holomorfa Singular, Reducción de Singularidades, Desingularización, Blow-up, Sistemas Din·micos, Din·mica Compleja, Singularidad Absolutamnete Aislada. / -- In this paper, we consider holomorphic vector Öelds of complex dimension 3 deÖned in a neighborhood of a point p, where p is an isolated singularity, dicrÌtica or not. It is known that for holomorphic Öelds over an open set of C 2 that after a Önite number of blowing-upís in the singular points, the foliation associated to this Öeld is transformed into a foliation that has a Önite number of singularities, all irreducible (Seidenberg Theorem). This paper extends the Seidenberg theorem for holomorphic Öelds over an open set of C 3 , i.e., we solve the problem of desingularizaciÛn over 3- dimensional holomorphic Öelds, restricting in the case that it is an absolutely isolated singularity. -- Keywords: Ordinary Di§erential Equations Complex, Holomorphic Singular Foliation, Reduction of Singularities, DesingularizaciÛn, Blow-up, Dynamical Systems, Complex Dynamics, Absolutamnete Isolated Singularity / Tesis

El objetivo principal de la presente tesis es presentar una aplicación de los teoremas de Montel sobre familia normales en los sistemas dinámicos, para así poder caracterizar los conjuntos de Julia, denotados por JR, definidos a través de una aplicación R meromorfa sobre C. Primero haremos un estudio de las propiedades de las funciones meromorfas sobre el plano complejo C y el plano complejo extendido C, además estableceremos algunas métricas para poder estudiar la convergencia de las aplicaciones meromorfas. Lo anterior nos permite introducirnos a las familias normales para funciones holomorfas y para funciones meromorfas la cual posee muchas propiedades que son usadas en la caracterización del conjunto de Julia. Para facilitar algunos resultados es preciso usar la conjugada de funciones meromorfas sobre C a través de las transformaciones de Möbius definidas en el plano complejo extendido. También es necesario el estudio de los puntos periódicos de las funciones meromorfas sobre C obteniéndose una serie de propiedades que serán importantes en el estudio del conjunto Julia. Finalmente es vital el estudio del conjunto de puntos excepcionales la cual nos dan una serie de propiedades, para así poder dar una caracterización al conjunto de Julia. Dichas caracterizaciones son tales como, la invariancia del conjunto de Julia, JR, por la aplicación R y por su respectiva inversa; que el conjunto JR es igual a su conjunto de puntos de acumulación; que el conjunto JR coincide con C, siempre que JR posea algún punto interior; que JR coincide con la frontera de la cuenca atractora generada por un punto atractor α ; y el más importante que el conjunto de julia JR, coincide con el cierre de los puntos repulsores fijos de todos los órdenes . / Tesis

El objetivo principal de la presente tesis es presentar la teoría de las familias normales y mostrar su importancia en la teoría de grupos discontinuos y discretos. Primero haremos un estudio de las propiedades de las transformaciones de Moebius y luego su clasificación por conjugación. Para así introducirnos en la teoría de familias normales para funciones holomorfas y meromorfas. A partir de ello probaremos algunos resultados de normalidad para transformaciones de Moebius en especial el teorema fundamental de normalidad para transformaciones de Moebius. Finalmente veremos que un grupo Γ de transformaciones de Moebius es discontinuo en un punto α si y solo si Γ es discreto y forma una familia normal en α. / Tesis

En la presente tesis se estudia una forma de encontrar dominios de Fatou-Bieberbach, a partir de un automorfismo de Cn. Específicamente estos dominios serán las cuencas de atracción hacia un punto fijo del automorfismo. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Jean Pierre Rosay y Walter Rudin en [RR88]. En el primer capítulo se desarrolla los preliminares que necesitamos para la demostración de los teoremas de los capítulos posteriores: básicamente, el estudio de aplicaciones holomorfas y teoría espectral de operadores lineales. En el segundo capítulo se prueba una versión débil del teorema principal de este trabajo. Este teorema nos brinda varios ejemplos interesantes de dominios de Fatou-Bieberbach en C2. Finalmente, en el capítulo 3 se desarrolla el teorema principal de la tesis. Se prueba que si un automorfismo tiene un punto fijo y en ese punto fijo su radio espectral es menor que uno, entonces la cuenca de atracción del punto fijo vía el autotomorfismo es un dominio de Fatou-Bieberbach. / In this thesis we study a way to find Fatou-Bieberbach domains from an automorphism of Cn. Specifically, these domains will be the basins of attraction towards a fixed point of the automorphism. The work is based on the research developed by Jean Pierre Rosay and Walter Rudin in [RR88]. In the first chapter the preliminaries that we need for the proof of the theorems of the later chapters are developed: basically, the study of holomorphic applications and spectral theory of linear operators. In the second chapter a weak version of the main theorem of this work is proved. This theorem gives us several interesting examples of Fatou-Bieberbach domains in C2. Finally, in chapter 3 the main theorem of the thesis is developed. It is shown that if an automorphism has a fixed point and at that fixed point its spectral radius is less than one, then the basin of attraction of the fixed point via the automorphism is a Fatou-Bieberbach domain.

El objetivo principal de la presente tesis es presentar una aplicación de los teoremas de Montel sobre familia normales en los sistemas dinámicos, para así poder caracterizar los conjuntos de Julia, denotados por JR, definidos a través de una aplicación R meromorfa sobre C. Primero haremos un estudio de las propiedades de las funciones meromorfas sobre el plano complejo C y el plano complejo extendido C, además estableceremos algunas métricas para poder estudiar la convergencia de las aplicaciones meromorfas. Lo anterior nos permite introducirnos a las familias normales para funciones holomorfas y para funciones meromorfas la cual posee muchas propiedades que son usadas en la caracterización del conjunto de Julia. Para facilitar algunos resultados es preciso usar la conjugada de funciones meromorfas sobre C a través de las transformaciones de Möbius definidas en el plano complejo extendido. También es necesario el estudio de los puntos periódicos de las funciones meromorfas sobre C obteniéndose una serie de propiedades que serán importantes en el estudio del conjunto Julia. Finalmente es vital el estudio del conjunto de puntos excepcionales la cual nos dan una serie de propiedades, para así poder dar una caracterización al conjunto de Julia. Dichas caracterizaciones son tales como, la invariancia del conjunto de Julia, JR, por la aplicación R y por su respectiva inversa; que el conjunto JR es igual a su conjunto de puntos de acumulación; que el conjunto JR coincide con C, siempre que JR posea algún punto interior; que JR coincide con la frontera de la cuenca atractora generada por un punto atractor α ; y el más importante que el conjunto de julia JR, coincide con el cierre de los puntos repulsores fijos de todos los órdenes . / Tesis

Las superficies (2 - variedad conexa) homeomorfas a un abierto de la esfera S2, son llamadas superficies topológicamente planas. En esta tesis, caracterizamos a estas superficies y estudiamos la conexión entre estas características. Es claro que el plano y la esfera son planas. Notemos que una característica que presentan estas dos superficies, es que ambas satisfacen el famoso Teorema de la Curva de Jordan, i.e., el complemento de cualquier curva cerrada simple en el plano o la esfera, tiene exactamente dos componentes conexas. Otra cualidad que se exhibe en estas dos superficies, es que toda 1-forma diferencial de clase C1 cerrada con soporte compacto necesariamente es exacta. Finalmente, describimos la relación que mantienen estas características, además, obtenemos un resultado de rigidez. A saber, una superficie de Riemann homeomorfa a un abierto de S2 es biholomorfa a una abierto de la esfera de Riemann. / Tesis

[ES] El objetivo principal de esta tesis es el estudio de diferentes propiedades (principalmente ergódicas) de operadores de composición y de composición ponderados actuando en espacios de funciones holomorfas definidas en un espacio de Banach de dimensión infinita. Sea X un espacio de Banach y U un subconjunto abierto. Dada una aplicación φ : U → U, la acción f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ define un operador, llamado operador de composición (y a φ se le llama símbolo del operador). Consideramos este operador actuando en diferentes espacios de funciones. La filosofía general es intentar caracterizar en cada caso las propiedades de nuestro interés en función de condiciones en φ. También, dada ψ: U → C, el operador de multiplicación se define como Mψ( f ) = ψ · f y (con φ como antes), el operador de composición ponderado como Cψ,φ ( f ) = ψ·( f ◦φ) (en este caso ψ se conoce como el peso o multiplicador del operador). Nuevamente, la idea es describir propiedades de estos operadores en términos de condiciones sobre φ y/o ψ. Claramente Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , y tomando φ = idU (la identidad en U) o ψ ≡ 1 (la función constante 1) recuperamos Mψ y Cφ . Denotamos con B a la bola unidad abierta de X . El espacio de funciones holomorfas f : B → C se denota H(B). Escribimos Hb(B) para el espacio de funciones holomorfas en B de tipo acotado y H∞(B) para el espacio de funciones holomorfas y acotadas en B. Vamos a considerar operadores de composición y de composición ponderados definidos en cada uno de estos espacios (tomando entonces U = B en la definición). También consideramos operadores de composición definidos en el espacio vectorial de polinomios continuos y m-homogéneos (denotado P (m X )). En este caso tomamos U = X . La tesis consta de cinco capítulos. En el Capítulo 1 damos las definiciones y resultados básicos necesarios para que el texto sea autocontenido. En el Capítulo 2 tratamos con operadores de composición ergódicos en media y acotados en potencias definidos en P (m X ). En el Capítulo 3 estudiamos operadores de composición ergódicos en media y acotados en potencias definidos en H(B), Hb(B) y H∞(B); tratando también el caso particular en que B es la bola de un espacio de Hilbert. En el Capítulo 4 estudiamos la compacidad de operadores de composición ponderados definidos en H∞(B), así como la acotación, reflexividad, cuándo es Montel y la compacidad (débil) en Hb(B). Finalmente, en el Capítulo 5 obtenemos resultados sobre la acotación en potencias y ergodicidad en media de operadores de composición ponderados actuando en H(B), Hb(B) y H∞(B); así como sobre compacidad y ergodicidad en media del operador de multiplicación. / [CA] L’objectiu principal d’aquesta tesi és l’estudi de diferents propietats (principalment ergòdiques) d’operadors de composició i de composició ponderats actuant en espais de funcions holomorfes en un espai de Banach de dimensió infinita. Siga X un espai de Banach i U un subconjunt obert. Donada una aplicació φ : U → U, l’acció f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ defineix un operador, anomenat operador de compo- sició (i φ s’anomena símbol de l’operador). Considerem aquest operador actuant en diferents espais de funcions. La filosofia general és intentar caracteritzar en cada cas les propietats del nostre interés en funció de condicions en φ. També, donada ψ: U → C, l’operador de multiplicació es defineix com a Mψ( f ) = ψ · f i (amb φ com abans), l’operador de composició ponderat com a Cψ,φ ( f ) = ψ · ( f ◦ φ) (en aquest cas ψ es coneix com el pes o multiplicador de l’operador). Novament, la idea és descriure propietats d’aquests operadors en termes de condicions sobre φ i/o ψ. Clarament Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , i prenent φ = idU (la identitat en U) o ψ ≡ 1 (la funció constant 1) recuperem Mψ i Cφ . Denotem per B la bola unitat oberta d’X . L’espai de funcions holomorfes f : B → C es denota H(B). Escrivim Hb(B) per a l’espai de funcions holomorfes en B de tipus fitat i H∞(B) per a l’espai de funcions holomorfes i fitades en B. Anem a considerar ope- radors de composició i de composició ponderats definits en cadascun d’aquests espais (prenent llavors U = B en la definició). També considerem operadors de composició definits en l’espai vectorial de polinomis continus i m-homogenis (denotat P (m X )). En aquest cas prenem U = X . La tesi consta de cinc capítols. En el Capítol 1 donem les definicions i resultats bàsics necessaris perquè el text siga autocontingut. En el Capítol 2 tractem amb ope- radors de composició ergòdics en mitjana i fitats en potències definits en P (m X ). En el Capítol 3 estudiem operadors de composició ergòdics en mitjana i fitats en potències definits en H(B), Hb(B) i H∞(B); tractant també el cas particular en que B és la bola d’un espai de Hilbert. En el Capítol 4 estudiem la compacitat d’operadors de composi- ció ponderats definits en H∞(B), així com també la fitació, reflexivitat, quan és Montel i la compacitat (feble) en Hb(B). Finalment, en el Capítol 5 obtenim resultats sobre la fitació en potències i ergodicitat en mitjana d’operadors de composició ponderats actuant en H(B), Hb(B) i H∞(B); així com també sobre compacitat i ergodicitat en mitjana de l’operador de multiplicació. / [EN] The main aim in this thesis is to study different properties (mostly ergodic) of compo- sition and weighted composition operators acting on spaces of holomorphic functions defined on an infinite dimensional complex Banach space. Let X be a Banach space and U some open subset. Given a mapping φ : U → U the action f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ defines an operator, called composition operator (and φ is called the symbol of the operator). We consider this operator acting on different spaces of functions. The general philosophy is to try to characterise in each case the properties of our interest in terms of conditions on φ. Also, given ψ: U → C the multiplication operator is defined as Mψ( f ) = ψ· f and (with φ as above), the weighted composition operator as Cψ,φ ( f ) = ψ · ( f ◦ φ) (here ψ is called the weight or multiplier of the operator). Again, the idea is to describe properties of these operators in terms of conditions on ψ and/or φ. Clearly Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , and taking φ = idU (the identity on U) or ψ ≡ 1 (the constant function 1) we recover Mψ and Cφ . We denote the open unit ball of X by B. The space of all holomorphic functions f : B → C is denoted by H(B). We write Hb(B) for the space holomorphic functions of bounded type on B, and H∞(B) for the space of bounded holomorphic functions on B. We are going to consider composition and weighted composition operators defined on each one of these spaces (taking then U = B in the definition). We also consider composition operators defined on the vector space of all continuous m-homogeneous polynomials on X (which is denoted by P (m X )). In this case we take U = X . The thesis consists of 5 chapters. In Chapter 1 we introduce definitions and ba- sic results, needed to make the text self-contained. In Chapter 2 we deal with mean ergodic and power bounded composition operators defined on P (m X ). In Chapter 3 we study mean ergodic and power bounded composition operators defined on H(B), Hb(B) and H∞(B); considering also the particular case when B is the ball of a Hilbert space. In Chapter 4 we study compactness of weighted composition operators defined on H∞(B), as well as boundedness, reflexivity, being Montel and (weak) compactness on Hb(B). Finally, in Chapter 5 we obtain different results about power bounded- ness and mean ergodicity of weighted composition operators acting on H(B), Hb(B) and H∞(B), as well as about compactness and mean ergodicity of the multiplication operator. / Santacreu Ferra, D. (2022). Composition Operators on Classes of Holomorphic Functions on Banach Spaces [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/185235 / TESIS