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Modélisation et Optimisation d'un Générateur Synchrone à Double Excitation de Forte Puissance

Ammar, Aymen 28 June 2013 (has links) (PDF)
Alliant flexibilité de contrôle et bon rendement, les Machines Synchrone à Double Excitation (MSDE) sont de plus en plus investiguées pour diverses applications de petites et moyennes puissances et rarement pour des applications de fortes puissances. Cette thèse a pour objectif l'étude d'un Générateur Synchrone à Double Excitation (GSDE) de forte puissance. Un modèle de comportement a été établi. Des méthodes analytiques et semi-analytiques ont été utilisées pour la modélisation multi-physique de la machine. Ce modèle a été validé, dans un premier temps, par comparaison aux résultats d'un modèle éléments finis.Comparé à un Générateur Synchrone à Pôles Saillants (GSPS), le GSDE offre des solutions plus intéressantes énergétiquement et économiquement, que ce soit en fonctionnement à vitesse constante ou à vitesse variable. Dans le cadre d'un fonctionnement en générateur éolien, l'augmentation du nombre d'encoche par pôle et par phase et l'augmentation de la fréquence d'alimentation contribuent à l'amélioration des performances de la GSDE. Cependant il faudrait tenir compte des impacts sur l'électronique de puissance et le multiplicateur mécanique. En plus, la distribution de Weibull et le bon choix de la plage utile de variation de la vitesse du vent, jouent un rôle important sur le dimensionnement optimal du générateur éolien.Un prototype de GSDE d'une puissance d'1MVA a été dimensionné, optimisé et fabriqué. Tout d'abord, le prototype a servi à la validation du modèle multi-physique. En plus la réalisation des essais sur deux étapes (avant et après le collage des aimants permanents) a montré l'apport énergétique du GSDE par rapport au GSPS
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Méthodologie de conception des machines synchrones à aimants permanents. Application au véhicule électrique avec chargeur rapide embarqué

Dogan, Hussein 11 July 2013 (has links) (PDF)
Les travaux de cette thèse portent sur la méthodologie de conception des Machines Synchrones à Aimants Permanents (MSAP) avec pour application le véhicule électrique. Dans une première partie, nous avons abordé du contexte de l'étude et de la problématique du dimensionnement. A l'occasion, nous avons montré qu'il est nécessaire d'adopter une méthodologie de design appropriée en fonction de l'avancement de chaque projet dans le cadre du processus de conception. Nous avons alors proposé différents niveaux de modélisation afin de repérer la machine optimale face au cahier des charges pour ensuite la caractériser plus finement et l'optimiser. La seconde partie du rapport traite donc de la modélisation et de l'optimisation de la MSAP. En premier lieu, un modèle analytique permet d'évaluer les performances globales des centaines de machines très rapidement. Ce premier calcul permet de sélectionner les meilleures machines à l'application pour ensuite les optimiser. Puis, le second niveau de modélisation se base sur les réseaux de réluctances. Ce niveau plus fin permet d'une part de retrouver les performances affinées des MSAP et également de procéder à l'optimisation. Enfin, la dernière partie du rapport est consacrée à l'optimisation de la MSAP en vue d'améliorer grandement les performances et de satisfaire au mieux au cahier des charges.
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Control strategy for a mono-inverter multi-PMSM system - Stability and efficiency / Stratégie de contrôle d'un système multi-PMSM mono-onduleur - Stabilité et efficacité

Liu, Tianyi 15 December 2017 (has links)
Durant ces dernières décennies, le moteur synchrone à aimants permanents (MSAP) est devenu un actionneur essentiel pour les applications militaires, industrielles et civilesgrâce à ses avantages de haute densité de puissance, de rendement élevé, de grande fiabilité avec une structure simple, un faible volume et un poids réduit. Parfois, plusieurs MSAP sont utilisés pour effectuer des tâches coopératives. Par exemple le boggie d'une locomotive ou encore les surfacesde vol d'un avion. Ces MSAP fonctionnent généralement à la même vitesse. Pour réduire le volume et le poids, une idée de mutualisation des dispositifs de conversion statique, appelée système Multi-MSAP Mono-Convertisseur (MIMSAPMC), est proposée. Bien que de nombreux chercheurs aient déjà proposé différentes solutions de contrôle pour le système MIMSAPMC, la plupart d'entre eux ne garantissent pas la stabilité et l'efficacité énergétique du système. Ceci estdevenu le plus grand obstacle à l'utilisation pratique du MIMSAPMC. A cet effet et en commençant par un système MIMSAPMC avec 2 moteurs nous avons testé expérimentalement quelques stratégies de commande pour en vérifier la faisabilité et les performances. Sur la base des données mesurées, nous avons constaté que le problème de sur-contraintes existe dans certaines stratégies de contrôle. Ensuite, la synthèse d’une commande basée sur un modèle en régime permanent d'un système MIMSAPMC est réalisée. En étudiant le problème d'existence du régime permanent, nous formulons une procédure de conception de la structure de la loi de commande. En combinant la stabilité en boucle ouverte et la solution en régime permanent, nous définissons alors la région de contrôlabilité et de stabilité. La méthode des multiplieurs de Lagrange est ensuite utilisée pour formuler l'expression de l'état d'équilibre optimal en fonction ducouple et de la vitesse. L'expérience a montré que l'efficacité avec cette nouvelle loi de commande s’est considérablement améliorée. Dans le même temps, nous avons exploré l'influence de la variation des paramètres pour la stabilité du système et pour l'optimisation de l'efficacité. Ainsi, nous montrons que la variation paramétrique influence la zone de stabilité. Mais son influence peut être éliminée en utilisant la stratégie Maitre-Esclave. Par ailleurs, en ce qui concerne l'optimisation de l'efficacité énergétique, les résultats de simulation ont montré que la non-concordance des paramètres, en particulier le flux de l’aimant, peut entraîner une perte d'efficacité élevée. Dans la dernière étape, ce contrôleur est également adapté à un système MIMSAPMC avec un nombre de moteurs supérieurs à 2. Les résultats de la simulation démontrent alors l'efficacité de la proposition. / During these decades, Permanent Magnet Synchronous Motor (PMSM) has become a vital part of military, industry and civil applications due to the advantages of high power density, high efficiency, high reliability and simple structure, small volume and light weight. Sometimes, multiple PMSMs are used to carry out cooperative functions. For example, the bogie of a locomotive, the flight control surface of an airplane. These PMSMs usually operates at the same speed. To reduce the volume and weight, an idea of sharing the static power conversion devices, which is called Mono-Inverter Multi-PMSM system (MIMPMSM), is raised. Although many researchers have given different controller solutions for the MIMPMSM system, most of them are not clear in the aspects of system stability and efficiency issues. This has become the biggest obstacle to the practical use of MIMPMSM. Oriented with these problems, starting with a MIMPMSM system with 2 motors, in the first step, we have tested some control strategies by an experiment to verify the feasibility and performance of them. In final, based on the experiment data, we have figured that the overconstraint problem exists in some control strategies. Then, an analysis and controller design based on steady-state model of a Mono-Inverter Dual-PMSM (MIDPMSM) system is carried out.By studying the solution existence problem of the steady-state model, we give out the design guideline to the controller structure. Combining the open-loop stability and steady-state solution, the region of controllability and stability is obtained. Lagrange Multiplier is used develop theexpression of efficiency-optimal steady-staterelated to torque and speed. The experiment has shown that the efficiency of the new controller has improved significantly. Meanwhile, we have explored the influence of parameter variation in system stability and efficiency-optimization. The variation will influence the stability region. But its influence can be eliminated by using Master- Slave strategy. On the other hand, in the aspect of efficiency optimization, the simulation results have shown that parameter mismatch, especially the permeant flux, can cause high efficiency loss. In the last step, this controller is also adapted to a MIMPMSM system with more than two motors. The simulation results demonstrate the effectiveness.
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Modélisation et Optimisation d'un Générateur Synchrone à Double Excitation de Forte Puissance / Modeling and Optimization of a large Hybrid Excitation Synchronous Generator

Ammar, Aymen 28 June 2013 (has links)
Alliant flexibilité de contrôle et bon rendement, les Machines Synchrone à Double Excitation (MSDE) sont de plus en plus investiguées pour diverses applications de petites et moyennes puissances et rarement pour des applications de fortes puissances. Cette thèse a pour objectif l’étude d’un Générateur Synchrone à Double Excitation (GSDE) de forte puissance. Un modèle de comportement a été établi. Des méthodes analytiques et semi-analytiques ont été utilisées pour la modélisation multi-physique de la machine. Ce modèle a été validé, dans un premier temps, par comparaison aux résultats d’un modèle éléments finis.Comparé à un Générateur Synchrone à Pôles Saillants (GSPS), le GSDE offre des solutions plus intéressantes énergétiquement et économiquement, que ce soit en fonctionnement à vitesse constante ou à vitesse variable. Dans le cadre d’un fonctionnement en générateur éolien, l’augmentation du nombre d’encoche par pôle et par phase et l’augmentation de la fréquence d’alimentation contribuent à l’amélioration des performances de la GSDE. Cependant il faudrait tenir compte des impacts sur l’électronique de puissance et le multiplicateur mécanique. En plus, la distribution de Weibull et le bon choix de la plage utile de variation de la vitesse du vent, jouent un rôle important sur le dimensionnement optimal du générateur éolien.Un prototype de GSDE d’une puissance d’1MVA a été dimensionné, optimisé et fabriqué. Tout d’abord, le prototype a servi à la validation du modèle multi-physique. En plus la réalisation des essais sur deux étapes (avant et après le collage des aimants permanents) a montré l’apport énergétique du GSDE par rapport au GSPS / The use of Hybrid Excitation Synchronous Machine (HESM) can widely be extended to any size of power applications in regards to its high efficiency and simplicity of flux control. The aim of this thesis consists to analyze different design constraints and develop optimization processes of a Hybrid Excitation Synchronous Generator (HESG).Analytical and lumped models were used with reasonable level of accuracy and minimum computation time. The model has been validated by comparing the result to those achieved by FEM.The study shows the technical and economical advantages of the use of HESG compare to the conventional Salient Pole Synchronous Generator (SPSG). The comparison between the two generator topologies was considered for constant and variable speed applications such as wind energy. The influence of several parameters such as frequency and the number of slot per pole and per phase was investigated. For the case of wind energy application the study shows the importance of Weibull distribution and the speed range when looking for the optimized generator.In order to validate the multi-physics model, a 1MVA HESG was considered and a prototype produced. To highlight the advantages and performances of HESG generator a test program was carried out into steps. A first set of tests have been made before bounding the permanent magnets and the second set of tests have been made after bounding the permanent magnets
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Modèles analytiques électromagnétiques bi et tri dimensionnels en vue de l'optimisation des actionneurs disques : étude théorique et expérimentale des pertes magnétiques dans les matériaux granulaires / Electromagnetic analytical models in the purpose of optimization of axial flux actuators : theoretical and experimental study of magnetic losses in granular materials

La Barrière, Olivier de 12 November 2010 (has links)
Les actionneurs disques sont potentiellement une solution intéressante pour des applications de transport exigeantes, comme le véhicule hybride. Mais la conception de ces actionneurs pour de telles applications se heurte à des difficultés. Une solution réside dans l’utilisation des algorithmes d’optimisations systématique. Encore faut-il disposer, pour utiliser de tels algorithmes, de modèles souples, à la fois précis et rapides. Cette thèse se focalise sur le développement de modèles analytiques fondés sur la résolution formelle des équations de Maxwell, qui permet un bon compromis entre temps de calcul et précision, à condition d’accepter certaines hypothèses simplificatrices, comme la linéarité des matériaux magnétiques. La première partie concerne les modèles électromagnétiques bi-dimensionnels, en développant la structure disque au niveau de son rayon moyen. Pour ces modèles, une attention particulière a été portée sur la modélisation des saillances aussi bien statoriques que rotoriques. Il est montré que l’approximation du coefficient de Carter permet effectivement de déterminer le couple moyen de la machine avec précision. Néanmoins, si on veut déterminer les inductions dans le fer pour calculer les pertes magnétiques, un modèle de l’encochage statorique est nécessaire. Dans un second temps, des modèles tri-dimensionnels analytiques ont été développés, afin de calculer le flux à vide de l’actionneur en prenant en compte les effets des bords et l’effet de courbure. Il est montré que la prise en compte des effets de bords est de première importance dans la modélisation des actionneurs. Par contre, une étude sur l’effet de courbure de la machine disque montre que le développement de l’actionneur au rayon moyen, pourvu que l’on utilise un modèle 3D, n’induit qu’une erreur minime. Un second point concerne l’étude des pertes magnétiques dans les matériaux composites isotropes formés de particules de fer pur isolées les unes des autres, liées puis compressées. En effet, ces matériaux sont très prometteurs en conception de machines électriques, autorisant des parcours de flux tri-dimensionnels, et une isotropie thermique, malgré leur perméabilité magnétique relativement faible. Deux matériaux de la société suédoise Hoganas (l’un dédié aux applications de machines électriques, l’autre à l’électronique de puissance, avec des grains de taille plus faible) ont été caractérisés en termes de pertes magnétiques dans une large gamme de fréquences. Un modèle de pertes classiques a été formulé, en se basant sur des observations microscopiques des échantillons de matériaux. Grâce à l’estimation de ces pertes, une procédure de séparation des pertes magnétiques a pu être mise au point. La déduction du terme de pertes excédentaires a révélé certains mécanismes de magnétisation propres à ces matériaux granulaires, dont des grains ont un comportement magnétique à priori indépendant les uns des autres. Contrairement aux matériaux laminés qui possèdent un nombre d’objets magnétiques actifs relativement bas sur la section de la tôle en champ excédentaire nul, les courants de Foucault permettant une homogénéisation du comportement magnétique lorsque la fréquence augmente, les matériaux granulaires semblent exhiber un comportement tout autre, en présentant au moins un objet magnétique actif par grain en champ excédentaire nul. De telles constatations changent la dépendance des pertes excédentaires en fonction de la fréquence (les pertes excédentaires sont alors proportionnelles à la fréquence f, alors que nous rappelons qu’elles sont proportionnelles à f^0.5 dans la plupart des matériaux laminés). Enfin un début d’optimisation a pu être mené, en se limitant aux modèles électromagnétiques bi-dimensionnels et aux matériaux laminés classiques. Diverses études de sensibilité ont été entreprises. Ce travail se termine par une analyse de l’influence d’une contrainte de puissance apparente sur la géométrie de la machine électrique. / The axial flux actuators are potentially an attractive solution for demanding automotive applications such as hybrid vehicles. However, the design of these actuators for such applications encounters some difficulties: the specifications in terms of torque and speed are complex, conflicting criteria to minimize, such as mass and losses. One solution is to use systematic optimization algorithms. To use these algorithms, flexible models are needed, both accurate and fast. This thesis focuses on developing analytical models based on the formal resolution of Maxwell's equations, which allows a good compromise between computation time and accuracy, if some simplifying assumptions such as linearity of magnetic materials are accepted. The first part concerns the electromagnetic two-dimensional models, developing the axial flux structure at its mean radius. For these models, particular attention was paid to modeling of the salience as well as the rotor stator. It is especially shown that the approximation of the Carter coefficient can effectively determine the average torque of the machine with precision. However, if we want to determine the inductions into the iron parts so as to calculate the magnetic losses, a model of stator slotting is required. In a second step, three-dimensional analytical models were developed to calculate the no-load flux in the actuator, taking into account the edges effects and the curvature effect. It is shown that taking into account the edges effects is important in the modeling of the actuators. A study on the curvature effect of the machine shows that the development of the actuator to the mean radius, provided 3D models are used, is not so wrong. A second point concerns the study of magnetic losses in isotropic composite materials, composed of particles of pure iron insulated from each other, put in a binder, and then compressed. Indeed, these materials are very promising in electric machine design, allowing three-dimensional magnetic flux paths and a thermal isotropy, despite their relatively low magnetic permeability. Two materials of the Swedish company Hoganas (one dedicated to electric machines, the other to power electronics, with grains of smaller size) were characterized in terms of magnetic losses in a wide frequency range . A classical loss model was formulated, based on microscopic observations of samples of materials. With this estimate of the classical losses component, the procedure of loss separation can be carried out. The calculation of the excess loss component revealed some specific magnetization mechanisms in these granular materials, in which grains are independent of each other. Unlike laminated materials that have a number of active magnetic objects relatively low on their section at zero field, (eddy currents allow homogenization of the magnetic behavior when the frequency increases), the granular materials appear to exhibit a totally different behavior, with at least one active magnetic object at zero excess field. This changes the dependence of excess losses as a function of frequency (the excess losses are then proportional to the frequency f, while we remember that they are proportional to f ^ 0.5 in most laminated materials). Finally a pre-optimization has been carried out, with just two-dimensional electromagnetic models, and conventional laminated materials. Various studies, as the control law, or the residual induction of the magnets, have been done. This work finishes with an analysis of the influence of a power constraint on the geometry of the electrical machine.
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Verluste in synchronen Reluktanzmaschinen am Spannungszwischenkreis-Umrichter

Winkler, Stefan, Werner, Ralf 28 February 2020 (has links)
In diesem Beitrag wird gezeigt, welche Auswirkung die Rotorform einer Reluktanzmaschine und die Ansteuerung mittels Umrichter auf den Verlusthaushalt der Maschine hat. Darüber hinaus werden die Möglichkeiten zur Verluststeuerung, welche sich durch den Betrieb von Reluktanzmaschinen ergeben, vorgestellt. / This paper shows the effect of the rotor shape of a reluctance machine and the converter control on the losses of the machine. In addition, it will be shown which possibilities for loss control will result from the operation of reluctance machines.
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Approches neuromimétiques pour l'identification et la commande des systèmes électriques : application au filtrage actif et aux actionneurs synchrones

Nguyen, Ngac Ky 02 December 2010 (has links) (PDF)
Cette thèse propose des approches neuromimétiques d'identification et de commande avec des applications directes au Filtre Actif Parallèle (FAP) et au Moteur Synchrone à Aiment Permanent (MSAP). Une structure neuronale complète a été développée pour réaliser toutes les fonctionnalités d'un FAP pour compenser des harmoniques de courant. La phase instantanée et les composantes symétriques d'un système triphasé de tensions ou de courants ont été estimées avec une boucle à verrouillage de phase neuronale. L'identification des harmoniques de courant a été réalisée avec des réseaux de neurones de type Adaline opérant dans les différents repères. Plusieurs schémas de commande ont été développés pour réinjecter les courants de compensation à l'aide d'un onduleur. Ils sont basés sur des techniques neuromimétiques, sur la logique floue, ou sur leur association. Une approche neuronale a été développée pour commander une MSAP à distribution quelconque avec des contraintes prédéterminées réduisant les ondulations du couple. Elle consiste en des schémas de commande directe en couple ou en vitesse pour obtenir les courants statoriques optimaux qui donnent exactement le couple électromagnétique (ou la vitesse) désiré et qui réduisent au maximum les pertes par effet Joule. Ces commandes intègrent deux blocs neuronaux, l'un dédié au calcul des courants optimaux et l'autre pour assurer leur génération à travers un onduleur de tension. Toutes les approches neuromimétiques ont été validées par des tests de simulation et des essais expérimentaux. Des comparaisons avec les méthodes de commande classique démontrent des caractéristiques supérieures en termes de performance et de robustesse.
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Reconnaissance de comportements de navires dans une zone portuaire sensible par approches probabiliste et événementielle : application au Grand Port Maritime de Marseille

Zouaoui-Elloumi, Salma 23 July 2012 (has links) (PDF)
Cette thèse s'est déroulée dans le cadre du projet SECMAR qui visait à sécuriser le Grand Port Maritime de Marseille. Notre objectif était d'aider les personnels du port à identifier les comportements menaçant des navires afin de pouvoir agir efficacement en cas de danger réel. A ce titre, nous avons développé un système d'analyse et de reconnaissance de comportements de navires formé de deux sous-modules complémentaires. Le premier est construit à partir de l'approche probabiliste Modèle de Markov Cachée et traite principalement des comportements nominaux des gros bateaux qui se caractérisent par un déplacement régulier et récurrent dans le port. Le second est construit à partir du langage réactif synchrone Esterel et prend en compte les comportements agressifs et transgressifs de tous types de navires, notamment ceux des petits bateaux qui circulent librement et aléatoirement dans le port. Le système global d'aide à la décision a permis une bonne reconnaissance en temps-réel des différents comportements de navires au cours de leurs évolutions dans le port. Au regard des résultats prometteurs que nous avons obtenu à travers ce module, il est envisageable de le généraliser à d'autres ports mondiaux ainsi qu'à d'autres domaines d'application, notamment le domaine aéroportuaire.
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Développement d'outils de conception de Machines polyphasées à aimants utilisant l'Approche multimachine.

Scuiller, Franck 13 December 2006 (has links) (PDF)
Cette thèse a pour objet le développement d'outils de conception de machines polyphasées à pôles lisses alimentées par onduleur de tension à modulation de largeur d'impulsion. Basée sur la décomposition multimachine de la machine polyphasée en une somme de machines fictives magnétiquement découplées et mécaniquement couplées, l'approche adoptée consiste à étudier le problème de l'adaptation convertisseur-machine en reportant les objectifs sur les machines fictives. Une représentation matricielle du bobinage polyphasé, le développement d'un modèle de calcul analytique du champ et l'introduction de la Transformée de Fourier Discrète permettent d'associer aux machines fictives un bobinage et une couche d'aimants. Les objectifs et contraintes liés à la réduction des courants arasites et à l'amélioration de la qualité du couple peuvent alors être formulés directement sur des grandeurs fictives, ce qui permet de déduire des démarches de conception optimale.
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Contribution to the Control of the Hybrid Excitation Synchronous Machine for Embedded Applications / Contribution à la commande d’une machine synchrone à double excitation pour des applications embarquées

Mbayed, Rita 12 December 2012 (has links)
Le travail présenté dans cette thèse est une contribution à la commande de la Machine Synchrone à Double Excitation (MSDE) pour des applications embarquées. La MSDE allie les avantages de la machine synchrone à aimants permanents et la machine synchrone à rotor bobiné. Le flux d'excitation dans cette machine est généré par deux sources : les aimants permanents et un enroulement qui est placé au stator afin d'éviter les contacts glissants. Cette dernière source permet de régler le flux dans l'entrefer. Le modèle de la machine est basé sur un modèle de Park et prend en considération les pertes fer et la saturation des circuits magnétiques. Les paramètres du prototype existant au laboratoire ont été identifiés. La commande de la MSDE est effectuée en deux modes : générateur et moteur. En génératrice, l'application visée est la génération électrique en avionique. Deux réseaux de distribution sont traités : Réseau à haute tension et à fréquence variable et réseau haute tension DC. Dans ce dernier cas, la MSDE est associée à un pont redresseur à diodes. Dans les deux cas, la commande est élaborée dans le but de maintenir l'amplitude de la tension constante via le control du courant d'excitation uniquement. Le control est scalaire. L'approche est validée par simulation avec Matlab/Simulink et par expérimentation. Pour le mode moteur, l'application visée est la propulsion dans un véhicule électrique. Une commande optimale des courants est étudiée en vue de minimiser les pertes. Les pertes joules sont considérées premièrement. Ensuite, les pertes fer sont ajoutées. Finalement, le problème de minimisation est étendu pour inclure les pertes dues à l'onduleur et au hacheur. L'optimisation par la méthode des multiplicateurs de Lagrange (Kuhn-Tucker conditions) est utilisée pour trouver des expressions analytiques des courants statoriques et inducteur optimaux. Des simulations avec Matlab/Simulink prouvent que la solution obtenue est celle qui assure les pertes minimales tout au long du nouveau cycle de conduite européen. / This thesis is a contribution to the control of the Hybrid Excitation Synchronous Machine (HESM) in embedded applications. The HESM combines the advantages of the Permanent Magnets (PM) machine and the wound rotor machine. The excitation flux in this machine is produced by two different sources: the PMs and a DC field winding that is placed at the stator to preserve a brushless structure. The latter source is used to control the flux in the air gap. The machine model is based on a Park model and takes into account the iron losses and the magnetic circuit saturation effect. The electric parameters of the laboratory prototype are identified. The machine is controlled in generator mode and motor mode. In power generation system, the study treats in particular the aircraft power supply in more electric aircrafts. Two distribution networks are studied: High voltage variable frequency network and high voltage DC network. In the latter case, the HESM is coupled to a diode bridge rectifier. In both cases, the control aims to maintain the output voltage magnitude equal to its reference via action on the field current only. The control is scalar. Simulation with Matlab/Simulink and experiments validate the approach. For the motor mode, the attention is paid to the electric propulsion in an electric vehicle. An optimal current control with minimal losses is elaborated. The copper losses are considered in a first place. Iron losses are added next. Finally, the optimization problem is extended and it includes the losses due to the inverter and the chopper. Analytical expressions of the reference armature and field currents are computed using extended Lagrange multiplier method (Kuhn-Tucker conditions). Simulation with Matlab/Simulink software proves that the analytical solution yields indeed to the current combination that guarantees the minimal losses over the New European Driving Cycle.

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