L'objectif de cette thèse était de développer une méthode de synthèse de commande par retour d'état puis par observateurs offrant des conditions de synthèse non contraignantes dans le cas de systèmes non linéaires à temps discret. Dans cette méthode, est mise en exergue l'importance du choix de la description des systèmes sur l'étendue des résultats pouvant être obtenus lorsque la méthode d'étude de la stabilité est fixée. Ainsi l'utilisation des normes vectorielles comme fonction d'agrégation et du critère pratique de Borne et Gentina pour l'étude de la stabilité, associée à la description des systèmes par des matrices caractéristiques de forme en flèche de Benrejeb, a conduit à l'élaboration de nouvelles conditions suffisantes de stabilisation de systèmes dynamiques discrets non linéaires, formulées en théorèmes et corollaires. Ces résultats obtenus, sont ensuite exploités, avec succès, pour la formulation de nouvelles conditions suffisantes de vérification des propriétés de synchronisation pour les systèmes hyperchaotiques à temps discrets. Ensuite, le cas de synthèse d'observateur est validé dans deux types de transmission chaotique

Cette thèse est une étude analytique d'équations de Painlevé discrètes(q-discrete Painlevé equations), utilisant le système linéaire associé, dont les équations de Painlevé sont une déformation iso-monodromique. Les équations de Painlevé ont été mises en évidence au début du XXieme siècle, dans une recherche systématique d'équations différentielles ayant des solutions n'ayant pas de singularités dépendant des conditions initiales autres que des pôles. La motivation était de généraliser les fonctions spéciales, tout en contraignant suffisamment le problème. L' idée a été empruntée aux travaux de Sophie Kowalesvki, une contribution fondamentale dans le domaine des systèmes intégrables. Les équations de Painlevé apparaissent aujourd'hui dans un certain nombre de problèmes de physique théorique, dont, pour ne citer que les plus fameux les fonctions de corrélation du modèle d'Ising, et les modèles de mécanique statistique liés aux théories conformes. Un développement apporté par ces résultats venus de la physique théorique est l'émergence de versions discrètes de ces équations. Il est donc particulièrement intéressant de produire de nouvelles solutions de ces équations, puisque la description complète des solutions n'est pas encore disponible. Nous avons surtout étudié les solutions particulières d'un analogue discret de la seconde équation de Painlevé, en utilisant le système linéaire associé construit avec des matrices 2x2. Il est bien connu que, comme leur limites continues, les analogues discrets des équations de Painlevé, admettent, pour des valeurs particulières des paramètres, des solutions particulières rationnelles ou données par des fonctions q-hypergéométriques. Les solutions particulières connues ont des structures de déterminants tout à fait remarquables, et qui peuvent être vues de deux manières différentes. La première fait appel fait appel au ''formalisme bilinéaire'' et est de nature algébrique. La seconde utilise le fait que les équations de Painlevé apparaissent comme la condition de compatibilité d'un système linéaire associé. En examinant ce système linéaire, on peut extraire une information utile sur les équations non-linéaires. En fait ceci permet de mettre en évidence la structure de déterminant des solutions particulières des équations de Painlevé. Pour les équations discrètes, la forme en déterminant des solutions particulières a été déduite par l'approche algébrique. On a montré qu'elles ont une structure similaire à leurs analogues différentiels,modulo quelques différences qui restent à expliquer. Nous avons adopté l'approche analytique et développé la méthode correspondante pour les équations discrètes. Nous avons utilisé le problème linéaire associé à l'équation q-PII, donné en terme de matrices 2x2. Notre résultat majeur est la construction explicite de la forme déterminantale des solutions particulières rationelles et q-hypergéometriques de l'équation q-PII. Ce qui est particulièrement remarquable dans notre méthode est qu'elle utilise l'analyse linéaire q-discrete ''élémentaire'', et est donc très accessible.

Les techniques de biologie moléculaire dites haut-débit permettent de mesurer un grand nombre de variables simultanément. Elles sont aujourd'hui couramment utilisées et produisent des masses importantes de données. Leur exploitation est compliquée par le bruit généralement observé dans les mesures, et ce d'autant plus que ces dernières sont en général trop onéreuses pour être suffisamment reproduites. La question abordée dans cette thèse porte sur l'intégration et l'exploitation des données haut-débit : chaque source de données mesurant un aspect du fonctionnement cellulaire, comment les combiner dans un modèle et en tirer des conclusions pertinentes sur le plan biologique ? Nous introduisons un critère de consistance entre un modèle graphique des régulations cellulaires et des données de déplacement d'équilibre. Nous montrons ensuite comment utiliser ce critère comme guide pour formuler des prédictions ou proposer des corrections en cas d'incompatibilité. Ces différentes tâches impliquent la résolution de contraintes à variables sur domaines finis, pour lesquelles nous proposons deux approches complémentaires. La première est basée sur la notion de diagramme de décision, qui est une structure de données utilisée pour la vérification des circuits ; la deuxième fait appel à des techniques récentes de programmation logique. L'utilisation de ces techniques est illustrée avec des données réelles sur la bactérie "E. coli" et sur la levure. Les réseaux étudiés comportent jusqu'à plusieurs milliers de gènes et de régulations. Nous montrons enfin, sur ces données, comment notre critère de consistance nous permet d'arriver à des prédictions robustes, ainsi que des corrections pertinentes du modèle étudié.

L'objectif de cette thèse de doctorat est (i) d'étudier et de développer des méthodes d’analyse et de commande de systèmes de contrôle en réseau linéaires et non linéaires et (ii) de montrer le potentiel de ces approches dans des applications complexes pertinentes. À cet égard, la théorie des systèmes à plusieurs agents, la théorie des graphes algébriques et le consensus sont des outils méthodologiques les plus intéressants. Une attention particulière est accordée à la caractérisation des relations entre, d'une part, la topologie du graphe de communication qui sous-tend l'évolution du système à plusieurs agents considéré et, d'autre part, les propriétés spectrales de la matrice Laplacienne associée au graphe lui-même. Le contrôle d'un groupe d'agents autonomes est étudié sous différents angles. Le principal objectif de contrôle est de s’assurer que les agents travaillent ensemble de manière coopérative, où la coopération représente la relation étroite entre tous les agents de l'équipe, le partage de l'information jouant un rôle important. En particulier, beaucoup de problèmes de consensus/accord/ synchronisation /rendez-vous sont étudiés afin de guider un groupe d’agents vers un état commun. Le consensus est étudié dans un contexte à temps discret parce que la dynamique du système est en général continue alors que les mesures et les entrées de contrôle sont des données échantillonnées. En outre, la théorie des jeux est utilisée pour faire face aux problèmes de coordination distribués à plusieurs agents, avec une application aux réseaux connus sous le nom de Software Defined Networks. À cet égard, on peut montrer que, sous des protocoles correctement conçus, les joueurs convergent vers un équilibre unique de Wardrop. On concentre l’attention sur le contrôle distribué, car cette approche présente des avantages évidents par rapport à la centralisation, comme l'évolutivité et la robustesse. Pourtant, le contrôle distribué a également ses propres inconvénients : avant tout, un inconvénient est que chaque agent ne peut pas prédire efficacement le comportement global du groupe en se basant uniquement sur des informations locales. Une certaine attention est également accordée à la nécessité de sécuriser les réseaux électriques contre le danger des attaques cyber-physiques grâce au développement de technologies d'intelligence distribuée. À cet égard, sur la base de topologies de réseaux d'énergie réalistes, nous présentons brièvement la conception d'un schéma de protection contre les attaques dynamiques à un point et à points multiples en boucle fermée. Nous formulons et résolvons un problème d'optimisation non convexe soumis à une contrainte de stabilité de Lyapunov pour la représentation à plusieurs agents autonome d'un réseau électrique obtenue après la linéarisation et l'application des lois d’attaque et de contrôle de fréquence. Finalement, nous présentons des résultats obtenus sur : le pilotage exact de la dynamique non linéaire finie à données échantillonnées avec des retards sur les entrées, au sujet de la stabilisation à données échantillonnées et de la poursuite de l'orbite quasi-halo autour du point de libration translunaire L₂, et au sujet des algorithmes heuristiques basés sur des méthodes d'apprentissage par renforcement à plusieurs agents capables d'effectuer un contrôle adaptatif optimal de qualité de service / qualité de l’expérience dans des scénarios sans modèle. / The objective of this PhD thesis is (i) to investigate and develop methods for the analysis and design of linear and nonlinear networked control systems and (ii) to show the potential of such approaches in relevant complex applications. In this respect, multi-agent systems theory, algebraic graph theory and consensus are the most interesting methodological tools, and specific attention is paid to the characterization of the relationships between, on the one hand, the topology of the communication graph that underlies the evolution of the considered multiagent system and, on the other hand, the spectral properties of the Laplacian matrix associated with the graph itself. The control of a group of autonomous agents is investigated from different perspectives. The main control objective is to make sure that the agents work together in a cooperative fashion, where cooperation accounts for the close relationship among all agents in the team, with information sharing playing an important role. In particular, various problems regarding consensus/agreement/synchronization/rendezvous are investigated with the specific aim of driving a group of agents to some common state. Consensus is investigated in a discrete-time setting due to the fact that the system dynamics is normally continuous while the measurements and control inputs might only be made in a sampled-data setting. Moreover, game theory is relied upon in order to cope with distributed multi-agent coordination problems, with application to Software Defined Networks. In this respect, it can be shown that, under properly designed protocols, the players converge to a unique Wardrop equilibrium. We focus on distributed control, since this approach shows obvious benefits over centralization, such as scalability and robustness. Yet, it also has its own drawbacks: among all, one drawback is that each agent cannot effectively predict the overall group behaviour based on only local information. Some attention is also devoted to the need for securing power grids against the danger of cyber-physical attacks through the development of distributed intelligence technologies accompanied by appropriate security enforcements. In this respect, based on realistic power network topologies, we briefly present the design of a protection scheme against closed-loop single-point and multi-point dynamic load altering attacks. This is done by formulating and solving a non-convex optimization problem subject to a Lyapunov stability constraint for the autonomous multiagent representation of a power system obtained after linearization and application of the attack and frequency control laws. Eventually, we show some other results achieved in terms of the exact steeering of finite sampled nonlinear dynamics with input delays, of sampled-data stabilization and quasi-halo orbit following around the L₂ translunar libration point, and of heuristic algorithms based on multi-agent reinforcement learning methods capable of performing optimal adaptive Quality of Service/Quality of Experience control in model-free scenarios.

La motivation industrielle et mécanique du problème sera présentée pour un problème continu: élasticité linéaire avec une contrainte unilatérale. Un système masse-ressort avec un contact unilatéral en découle par discrétisation. Le but de cette thèse est d'étudier ces systèmes à vibro-impact de N degrés de liberté avec un contact unilatéral. Le système résultant est linéaire en l'absence de contact; Il est régi par une loi d'impact autrement. L'auteur identifie les modes non linéaires qui présentent une phase de contact collant pour un modèle à deux degrés de liberté en présence d'un obstacle rigide. L'application de premier retour de Poincaré est un outil fondamental pour étudier la dynamique près de solutions périodiques. Étant donné que la section de Poincaré est un sous-ensemble de l'interface de contact dans l'espace des phases, elle peut être tangente aux orbites pour les contacts rasants et conduire à une singularité en « racine carrée » déjà connue en Mécanique. Cette singularité est revisitée dans un cadre mathématique rigoureux. Elle implique la discontinuité du temps de premier retour. Enfin, l’instabilité des modes linéaire rasants est abordée. / The mechanical motivation is presented for a PDE with a constraint. The purpose of this thesis is to study N degree-of-freedom vibro-impact systems with an unilateral contact. The resulting system is linear in the absence of contact; it is governed by an impact law otherwise. The author identifies some nonlinear modes that display a sticking phase. The First Return Map is a fundamental tool to explore periodic solutions. Since the Poincaré section is a subset of the contact interface in the phase-space, it can be tangent to orbits which yields the well-known square-root singularity. This singularity is here revisited in a rigorous mathematical framework. Moreover, the study of this singularity implies a more important singularity: the discontinuity of the first return time. Finally, the square-root dynamics near the linear grazing modes which may lead to the instability of these linear grazing modes is studied.

L’objectif principal de cette thèse est l’étude de propriétés dynamiques et de méthodes de conception et synthèse des algorithmes de contrôle-commande des systèmes dans le cas où les fonctions de mesures, actionnements et contrôles sont distribuées sur des organes de calcul pouvant être partagés avec d’autres applications et connectés sur un réseau de communication numérique. En conséquence, les boucles de contrôle sont en compétition avec d’autres applications pour accéder aux ressources de calcul et de communication de capacité limitée et gérées par des politiques spécifiques. Ceci provoque l’apparition de délais et de perte d’informations transmises entre les différents nœuds qui peuvent dégrader les performances des systèmes et conduire à leur instabilité.Dans une première partie de la thèse, nous avons étudié l’analyse des performances de certains systèmes ainsi que la conception de contrôleurs robustes en fonction de la qualité de service fournie par le réseau. Cette étude a permis de spécifier les règles de conception de contrôleurs.Dans la deuxième partie, nous avons présenté une approche de conception conjointe intégrant les résultats obtenus dans les deux domaines: la synthèse et la conception des algorithmes de contrôle et l’ordonnancement de tâches temps réel qui partagent des ressources limitées. La technique proposée repose sur le changement de la période d’activation de l’algorithme de contrôle, et en conséquence le modèle du système devient un modèle échantillonné à taux variable. Les résultats proposés, en considérant l’algèbre de Lie des matrices d’évolution, permettent de calculer des contrôleurs adaptifs aux périodes qui stabilisent tous le système / The main contributions of this thesis are related to the analysis, synthesis and design of control systems sharing communication and computational resources. The research focuses on control systems where the feedback loops are closed over communication networks which transmit the information provided to its nodes by sensors, actuators and controllers. The shared resource in this scenario is the network. Some of the results are valid when the resource is a processor locally placed respect to several controller executing their algorithms on it. In any of the preceding scenarios, the control loops must contend for the shared resource. The limited capacity of the resource can cause delays and packet losses when information is transmitted. These effects can degrade the control system performance and even destabilize it.The first part of this thesis contributes to the performance analysis of specific classes of systems and to the design of robust controllers for network characteristics modeled by Quality of Service parameters. A series of methods to assist the control systems engineer are provided.In the second part, a contribution to the CoDesign approach is made via the integration of control system synthesis and design techniques with rules allowing to define the communication policy to manage real-time tasks sharing a limited resource. Putting in correspondence a scheduling of instances of the controller tasks with their sampling periods, the proposed policy results in discrete-time varying systems. The stabilization problem of these systems is solved with methods based on the solvability of Lie-algebras. Specifically, the proposed methodology provides adaptive controllers

L’objectif de cette thèse était de développer une méthode de synthèse de commande par retour d’état puis par observateurs offrant des conditions de synthèse non contraignantes dans le cas de systèmes non linéaires à temps discret. Dans cette méthode, est mise en exergue l’importance du choix de la description des systèmes sur l’étendue des résultats pouvant être obtenus lorsque la méthode d’étude de la stabilité est fixée. Ainsi l’utilisation des normes vectorielles comme fonction d’agrégation et du critère pratique de Borne et Gentina pour l’étude de la stabilité, associée à la description des systèmes par des matrices caractéristiques de forme en flèche de Benrejeb, a conduit à l’élaboration de nouvelles conditions suffisantes de stabilisation de systèmes dynamiques discrets non linéaires, formulées en théorèmes et corollaires. Ces résultats obtenus, sont ensuite exploités, avec succès, pour la formulation de nouvelles conditions suffisantes de vérification des propriétés de synchronisation pour les systèmes hyperchaotiques à temps discrets. Ensuite, le cas de synthèse d’observateur est validé dans deux types de transmission chaotique / The objective of this thesis was to develop a method for synthesizing control state feedback and observers by offering soft synthesis conditions in the case of nonlinear discrete-time systems. In this method, is highlighting the importance of choosing the systems description of the scope of what can be achieved when the stability study method is fixed. The use of of vector norms as an aggregation function and the practical Borne-Gentina criterion for stability study, associated to arrow form matrix of Benrejeb for system discription, lead to the development of new sufficient conditions for stabilization of nonlinear discrete dynamical systems, formulated as theorems and corollaries. These results are then used, with success, for the formulation of new sufficient conditions for checking properties of hyperchaotiques synchronization for discrete-time systems. Then, the synthesis of observer is validated in two types of chaotic transmission