A Teoria de Códigos lida com um problema crítico do processo de comunicação: o controle eficiente do ruído em um canal de comunicação. Este trabalho tem por objetivo descrever algumas relações entre as necessidades da Teoria de Códigos e sua a modelagem matemática, utilizando-se, para isso, conceitos de álgebra e geometria sobre corpos finitos. Apresentaremos motivações para diferentes códigos, dando Ênfase a aspectos geométricoprojetivos do código Hamming e conceitos geométrico-algébricos subjacentes aos de Reed-Solomon e Goppa. / The Coding Theory deals with a critical communication problem: the eficient noise control. This work aims to describe some relationships between the needs of the Coding Theory and its Mathematical Models throught concepts of algebra and geometry over finite fields. We present some motivation for different codes, searching for projective geometric aspects of Hamming codes and algebraic geometric aspects of Reed-Solomon and Goppa codes.

A Teoria de Códigos lida com um problema crítico do processo de comunicação: o controle eficiente do ruído em um canal de comunicação. Este trabalho tem por objetivo descrever algumas relações entre as necessidades da Teoria de Códigos e sua a modelagem matemática, utilizando-se, para isso, conceitos de álgebra e geometria sobre corpos finitos. Apresentaremos motivações para diferentes códigos, dando Ênfase a aspectos geométricoprojetivos do código Hamming e conceitos geométrico-algébricos subjacentes aos de Reed-Solomon e Goppa. / The Coding Theory deals with a critical communication problem: the eficient noise control. This work aims to describe some relationships between the needs of the Coding Theory and its Mathematical Models throught concepts of algebra and geometry over finite fields. We present some motivation for different codes, searching for projective geometric aspects of Hamming codes and algebraic geometric aspects of Reed-Solomon and Goppa codes.

A Teoria de Códigos lida com um problema crítico do processo de comunicação: o controle eficiente do ruído em um canal de comunicação. Este trabalho tem por objetivo descrever algumas relações entre as necessidades da Teoria de Códigos e sua a modelagem matemática, utilizando-se, para isso, conceitos de álgebra e geometria sobre corpos finitos. Apresentaremos motivações para diferentes códigos, dando Ênfase a aspectos geométricoprojetivos do código Hamming e conceitos geométrico-algébricos subjacentes aos de Reed-Solomon e Goppa. / The Coding Theory deals with a critical communication problem: the eficient noise control. This work aims to describe some relationships between the needs of the Coding Theory and its Mathematical Models throught concepts of algebra and geometry over finite fields. We present some motivation for different codes, searching for projective geometric aspects of Hamming codes and algebraic geometric aspects of Reed-Solomon and Goppa codes.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2010

Orientador: Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada , 2014.

Orientador: Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2014. / Códigos sobre anéis vem sendo estudados desde a década de 70 e hoje sabe-se que alguns códigos não-lineares sobre corpos são imagens de códigos lineares sobre anéis Zpm. Neste trabalho, lidamos com códigos sobre Anéis de Galois, que são uma generalização tanto para corpos finitos quanto para anéis Zpm. Em uma primeira parte dedicada a anéis, definimos anéis de Galois como um caso particular de anéis locais, mostramos a equivalência entre essa definição e a construção clássica desses anéis como extensões de Zpm e apresentamos propriedades importantes. Em seguida, na parte referente à Teoria de Códigos, descrevemos as bases necessárias desse assunto e apresentamos um método permitindo a obtenção de um algoritmo de decodificação para um código sobre um anel de Galois a partir de algoritmos de decodificação para códigos lineares sobre o corpo de resíduos desse anel. / Codes over rings are a research subject since the 70¿s and today is well known that some non-linear codes over fields are images of linear codes over Zpm rings. In this work we deal with codes over Galois rings, which generalize both finite fields and Zpm rings. In a first part concerning ring theory, we define Galois rings as a particular case of local rings, show the equivalence of this definition to the classical construction of such rings as extensions of Zpm and present important properties of these structures. Next, concerning Coding Theory, we describe the basic facts of this subject and present a method that alows us to obtain decoding alogrithms for a linear code over a Galois ring from decoding algorithms for linear codes over the residue field of that ring.

Submitted by Jean Medeiros (jeanletras@uepb.edu.br) on 2016-10-04T12:51:12Z No. of bitstreams: 1 PDF - Josemberg dos Santos Silva.pdf: 1121305 bytes, checksum: 92540058586a498be93dd4935979151b (MD5) / Approved for entry into archive by Secta BC (secta.csu.bc@uepb.edu.br) on 2016-10-17T13:32:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 PDF - Josemberg dos Santos Silva.pdf: 1121305 bytes, checksum: 92540058586a498be93dd4935979151b (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-17T13:32:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PDF - Josemberg dos Santos Silva.pdf: 1121305 bytes, checksum: 92540058586a498be93dd4935979151b (MD5) Previous issue date: 2016-08-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Within the context of designing a digital communication scheme, it is necessary to establish procedures to safeguard the confidentiality of data sent by electronic messages. In this sense, Coding Theory plays a central role. Since its development over the years, it has enabled the advancement of new electronic communication techniques with greater security. In particular, Cryptography that employs elements of Coding Theory has been increasingly employed and used every time a digital message is transmitted, in such a way that only the sender and the legitimate recipient may know its contents. It is within this process that we contemplate some concepts of Elementary Number Theory, which are the basis for the mathematical foundation necessary for the development of elements of Cryptography. Consequently, in this paper, we present some necessary results of the Number Theory to present some cryptographic methods. / Dentro do contexto de projetar esquema de comunicação digital, é necessário estabelecer um procedimento que permita o sigilo dos dados enviados por meio de mensagens eletrônicas. Nesta direção, a Teoria dos Códigos desempenha um papel central, pois seu desenvolvimento ao longo dos anos possibilitou o avanço de novas técnicas de comunicação eletrônica com maior segurança. Em particular, a Criptografia, que emprega elementos da Teoria dos Códigos, tem sido empregada cada vez mais e usada todas as vezes que se deseja transmitir uma mensagem digital, na qual apenas o remetente é o legítimo destinatário possam conhecer seu conteúdo. E neste processo que consideramos alguns conceitos da Teoria Elementar dos Números, que são base para a fundamentação matemática necessária para o desenvolvimento de elementos da Criptografia. A partir disso, apresentamos neste trabalho alguns resultados necessários da Teoria dos Números de modo a apresentar alguns métodos criptográficos.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SILVANA DA SILVA RODRIGUES.pdf: 983315 bytes, checksum: 17ccfa7762b3ec7758b0c81b7ca259bf (MD5) Previous issue date: 2011-01-28 / The main purpose of this dissertation was to construct lower and upper bounds for the cardinality of the error correcting codes for constant-weight, contained in the vector space Fn 3 , where F3 is a field with three elements, knowing parameters such as length and minimum distance code. We present the main results of linear algebra necessary to develop the theory of codes and then the fundamental concepts of more practical class of codes, the linear error correcting codes. We state the Totobola problem and the Football problem, relating them to the theory of codes and present some bounds for the "covering radius problem"for r = 1 , some values of n. In the last chapter, we conclude the work with some examples that illustrate bounds of coverings for Fn 3 , with r = 2 and 3, and the generalization of the problem, where we present the binary covering radius problem, the case of multiple coverages and the extension of the idea, citing bounds for the cardinality of the codes contained in the vector space over a finite field with any arbitrary number of elements. / O principal objetivo desta dissertação foi construir limitantes inferiores e superiores para o número de elementos de um código corretor de erros de peso constante, contido no espaço vetorial Fn 3 , onde F3 é um corpo contendo três elementos, a partir de parâmetros como comprimento e distância mínima do código. Apresentamos os principais resultados da álgebra linear necessários ao desenvolvimento da teoria de códigos e em seguida, os conceitos fundamentais da classe de códigos mais conhecida na prática: os códigos lineares. Definimos os problemas do totobola e da piscina de futebol e a relação de ambos, com a teoria de códigos e com o problema do raio de cobertura. Construímos limitantes para o problema do raio de cobertura para r = 1, a partir da variação de n, e no último capítulo o trabalho é finalizado com a apresentação de exemplos que ilustram limitantes de cobertura para Fn 3 , com r = 2 e 3 e a generalização do assunto, onde apresentamos o problema binário do raio de cobertura, o caso das múltiplas coberturas e a extensão da idéia, citando limitantes para o número de elementos de códigos contidos em espaços vetoriais sobre um corpo finito contendo uma quantidade qualquer de elementos.