An old conjecture still unproved says that on Z every number is a sum of four cubes. We show here that this is so on Q.

A characterization of the natural numbers which are sum of two cubes of rationals is given. It is obtained into the realm of quadratic fields.

El objetivo principal de este trabajo es concluir la prueba del teorema de Hasse- Minkowsky (de manera específica, los casos n = 4 y n ≥ 5) iniciada en mi tesis de pregrado [2]. Adicionalmente, regresaremos a resultados cuya prueba quedó pendiente en aquella tesis. Es más, como gran parte de las definiciones y resultados que necesitamos se encuentran ahí, haremos múltiples referencias a [2] a lo largo de este trabajo. En el primer capítulo nos ocuparemos del teorema de Chevalley, pero principalmente buscamos cómo relacionar este resultado con el lema de Hensel. Ello nos permitirá obtener un mecanismo para encontrar condiciones bajo las cuales una forma cuadrática representa a cero. La ventaja de semejante desarrollo reside en que solo se necesita trabajar con ecuaciones sobre cuerpos finitos (en este caso Z/pZ), en donde encontrar soluciones resulta menos laborioso que en Qp. En el segundo capítulo definimos el símbolo de Legendre, una herramienta necesaria para la prueba de la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert (resultado que quedó pendiente en la tesis de pregrado). Como aplicación del concepto y propiedades del símbolo de Legendre probaremos la ley de reciprocidad cuadrática, la cual es útil por mérito propio. En el tercer capítulo probaremos la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert, el primer resultado de relevancia en esta tesis. Lo que en realidad haremos será establecer una fórmula que nos permita hallar el símbolo de Hilbert de cualquier par de números p-´adicos; a partir de ´esta, la bimultiplicidad del símbolo resulta obvia. Cerramos el capítulo con la prueba de una proposición que verá utilidad cuando se ataque el teorema de Hasse-Minkowsky. En el cuarto capítulo exhibiremos algunas propiedades topológicas del cuerpo Qp. La más notable es el teorema de aproximación débil, que será utilizado para tratar el teorema central. En el quinto capítulo trabajaremos con símbolos de Hilbert aplicados al cuerpo global Q. Además, se probará un segundo resultado de relevancia, la fórmula producto de Hilbert. Luego se desarrollarán ejemplos ilustrativos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones con símbolos de Hilbert, lo que dará lugar a un resultado auxiliar que será empleado en la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky. El sexto capítulo es básicamente una extensión del capítulo5 de [2]. Nos limitamos a presentar algunos resultados adicionales y a probar una proposición que quedó pendiente en [2]. En el sétimo capítulo concluimos la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky para los casos n = 4 y n ≥ 5. El octavo y último capítulo es aplicativo. Utilizaremos el teorema de Hasse- Minkowsky para clasificar formas cuadráticas sobre los racionales. / Tesis

El tema de la presente tesis es el estudio de la ecuación x n − 1 = 0 en los números p-ádicos. Para ello la primera tarea es factorizar f(x) = x n − 1 a como de lugar en producto de irreducibles. Llegado a esa instancia, la idea es conseguir una extensión que nos permita descomponer completamente el polinomio f(x) y mostrar el comportamiento algebraico de las raíces. En los p-ádicos, ello se logra una vez introducidos los conceptos de índice de ramificación y grado de clases residuales. Empezamos esta tesis con un repaso de las extensiones ciclotómicas sobre Q en el Capítulo 1. Estas resultan de adjuntar una raíz primitiva de la unidad a ´ Q, generando así una extensión que resulta ser de Galois. Además, dado que los enteros p-ádicos también poseen una buena reducción módulo el primo p de preferencia, es preciso recordar algunas propiedades de los cuerpos finitos. Este repaso nos permitirá realizar un correcto manejo del grado de clases residuales y índice de ramificación, conceptos estrechamente relacionadas con el grado de la extensión. A partir de allí, en el Capítulo 3 concentramos nuestra atención en los números p-ádicos. Nos valdremos de algunos resultados expuestos en la tesis de maestría de Jos´e Condori [2], sobre todo en lo referente a las propiedades elementales de los números p-ádicos. Como caso especial estudiaremos las raíces p-ádicas de la unidad en Qp y también mostraremos las extensiones cuadráticas que se pueden construir. Es bien sabido que hallar una extensión cuadrática equivale a resolver la ecuación x 2 − a = 0 con a ∈ Qp. En el Capítulo 4 completamos el estudio de las propiedades algebraicas de las 1 raíces p-ádicas de la unidad y las separamos en dos subgrupos µ(p)(K) y µ(p∞)(K), los mismos que son las raíces de orden coprimo con p y raíces de orden una potencia de un primo. Por muy simple que parezca, esta agrupación de las raíces nos permitirá una clasificación de ciertas extensiones p-ádicas. Finalmente, es grato resaltar al Doctor Alfredo Poirier por su paciencia en la asesoría brindada para la elaboración de esta tesis. / Tesis

El punto de partida de esta investigación ha sido la dificultad que muestran los estudiantes en la comprensión de los números enteros, tema que se sugiere que sea desarrollado en primer año de secundaria, según el Diseño Curricular Nacional. Si bien es cierto que existen muchos factores por los cuales este objeto matemático no es bien aprendido por los alumnos, consideramos que la organización del conocimiento matemático referido a los números enteros en el capítulo de un texto será un recurso valioso que podrá facilitar la enseñanza de este objeto matemático así como también puede obstaculizarla. El presente documento está estructurado de la siguiente manera: En el capítulo 1 presentamos el problema de investigación, los antecedentes, la justificación, los objetivos y la hipótesis de investigación. En el capítulo 2 presentamos los principales obstáculos epistemológicos presentes en el desarrollo histórico de los números enteros, así como las principales dificultades identificadas por distintos investigadores en el análisis de las respuestas de los alumnos en su trabajo con números enteros. En el capítulo 3 presentamos la estructura algebraica de los números enteros con la finalidad de mostrar un análisis riguroso referido a los números enteros, desde la justificación de sus principales propiedades como su presentación como conjunto cociente; haciendo énfasis en las diferencias con respecto al conjunto de los números naturales. En el capítulo 4 analizamos la organización matemática de los libros de texto de sexto grado de primaria y de primer año de secundaria de una editorial de mucha influencia en el contexto nacional. Para realizar este análisis, previamente, se han definido una serie de criterios basados en la forma en que es presentada la teoría dentro del capítulo, la justificación que se da a las propiedades, a los distintos significados que se dan al signo negativo, al tipo de problemas que presentan y a la relación que se muestra respecto al álgebra. Todo esto está relacionado con los obstáculos didácticos. En el capítulo 5 se explica cómo se ha diseñado un instrumento a ser aplicado a un grupo de alumnos que han estudiado el capítulo de los números enteros utilizando el libro de primer año de secundaria de la editorial Coveñas. Se presentan los resultados encontrados luego de la aplicación del instrumento y, apoyados en las investigaciones previas, se explican las posibles causas en las que puedan basarse los errores detectados. En el capítulo 6 presento las conclusiones formuladas a partir del análisis de los libros y de las respuestas de los estudiantes. Por último, se dan recomendaciones para la organización matemática del libro. / Tesis

Este trabajo presenta una investigación sobre los libros de textos de matemática de uso oficial en las Instituciones Educativas Públicas del Perú, distribuidos por el Ministerio de Educación. En ella se analizan las tareas matemáticas con perspectiva en Razonamiento y Demostración cuando se desarrollan temas relacionados a los números racionales. Esta investigación se realizó sobre la base teórica de investigaciones realizadas y orientadas por los retos metodológicos para el análisis de libros de texto en Razonamiento y Demostración planteados por Gabriel Stylianides. La problemática que motiva la investigación se sitúa en el escenario escolar de la Educación Básica Regular del Perú. Abordar el tratamiento escolar del número racional plantea pensar, entre otros aspectos, en la forma que son presentados en los libros de texto, puesto que estos recursos son de vital importancia en la interacción docente – estudiante durante los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los resultados obtenidos muestran evidencias importantes para afirmar que los autores de los libros de texto no abordan procesos involucrados en Razonamiento y Demostración en el desarrollo de los números racionales, sin embargo en las tareas propuestas hallamos aquellas que sí pueden ser desarrolladas desde la perspectiva de nuestro marco teórico. / This paper presents a research about mathematics textbooks of official use in the public educational institutions in Perú, they are distributed by the Ministry of Education. In it the mathematics tasks are discussed with Reasoning and Proving perspective when issues of the rational numbers are developed. This research was conducted on the theoretical basis of researches conducted and focused by the methodological challenges for textbooks analysis on Reasoning and Proving approached by Gabriel Stylianides. The problem that motivates the research is in the school situation of Regular Basic Education of Perú. The school treatment address of the rational number, it raises think among other things, in the way that they are presented in the textbooks, since these resources are of vital importance in the interaction teacher - student during the teaching and learning processes. The results show significant evidence to say that the authors of the textbooks do not address processes underlying in Reasoning and Proving in the development of rational numbers, however in the proposed tasks found that those do can be developed since of the perspective of our theoretical framework. / Tesis

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El objetivo principal de este trabajo es concluir la prueba del teorema de Hasse- Minkowsky (de manera específica, los casos n = 4 y n ≥ 5) iniciada en mi tesis de pregrado [2]. Adicionalmente, regresaremos a resultados cuya prueba quedó pendiente en aquella tesis. Es más, como gran parte de las definiciones y resultados que necesitamos se encuentran ahí, haremos múltiples referencias a [2] a lo largo de este trabajo. En el primer capítulo nos ocuparemos del teorema de Chevalley, pero principalmente buscamos cómo relacionar este resultado con el lema de Hensel. Ello nos permitirá obtener un mecanismo para encontrar condiciones bajo las cuales una forma cuadrática representa a cero. La ventaja de semejante desarrollo reside en que solo se necesita trabajar con ecuaciones sobre cuerpos finitos (en este caso Z/pZ), en donde encontrar soluciones resulta menos laborioso que en Qp. En el segundo capítulo definimos el símbolo de Legendre, una herramienta necesaria para la prueba de la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert (resultado que quedó pendiente en la tesis de pregrado). Como aplicación del concepto y propiedades del símbolo de Legendre probaremos la ley de reciprocidad cuadrática, la cual es útil por mérito propio. En el tercer capítulo probaremos la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert, el primer resultado de relevancia en esta tesis. Lo que en realidad haremos será establecer una fórmula que nos permita hallar el símbolo de Hilbert de cualquier par de números p-´adicos; a partir de ´esta, la bimultiplicidad del símbolo resulta obvia. Cerramos el capítulo con la prueba de una proposición que verá utilidad cuando se ataque el teorema de Hasse-Minkowsky. En el cuarto capítulo exhibiremos algunas propiedades topológicas del cuerpo Qp. La más notable es el teorema de aproximación débil, que será utilizado para tratar el teorema central. En el quinto capítulo trabajaremos con símbolos de Hilbert aplicados al cuerpo global Q. Además, se probará un segundo resultado de relevancia, la fórmula producto de Hilbert. Luego se desarrollarán ejemplos ilustrativos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones con símbolos de Hilbert, lo que dará lugar a un resultado auxiliar que será empleado en la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky. El sexto capítulo es básicamente una extensión del capítulo5 de [2]. Nos limitamos a presentar algunos resultados adicionales y a probar una proposición que quedó pendiente en [2]. En el sétimo capítulo concluimos la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky para los casos n = 4 y n ≥ 5. El octavo y último capítulo es aplicativo. Utilizaremos el teorema de Hasse- Minkowsky para clasificar formas cuadráticas sobre los racionales. / Tesis

El tema de la presente tesis es el estudio de la ecuación x n − 1 = 0 en los números p-ádicos. Para ello la primera tarea es factorizar f(x) = x n − 1 a como de lugar en producto de irreducibles. Llegado a esa instancia, la idea es conseguir una extensión que nos permita descomponer completamente el polinomio f(x) y mostrar el comportamiento algebraico de las raíces. En los p-ádicos, ello se logra una vez introducidos los conceptos de índice de ramificación y grado de clases residuales. Empezamos esta tesis con un repaso de las extensiones ciclotómicas sobre Q en el Capítulo 1. Estas resultan de adjuntar una raíz primitiva de la unidad a ´ Q, generando así una extensión que resulta ser de Galois. Además, dado que los enteros p-ádicos también poseen una buena reducción módulo el primo p de preferencia, es preciso recordar algunas propiedades de los cuerpos finitos. Este repaso nos permitirá realizar un correcto manejo del grado de clases residuales y índice de ramificación, conceptos estrechamente relacionadas con el grado de la extensión. A partir de allí, en el Capítulo 3 concentramos nuestra atención en los números p-ádicos. Nos valdremos de algunos resultados expuestos en la tesis de maestría de Jos´e Condori [2], sobre todo en lo referente a las propiedades elementales de los números p-ádicos. Como caso especial estudiaremos las raíces p-ádicas de la unidad en Qp y también mostraremos las extensiones cuadráticas que se pueden construir. Es bien sabido que hallar una extensión cuadrática equivale a resolver la ecuación x 2 − a = 0 con a ∈ Qp. En el Capítulo 4 completamos el estudio de las propiedades algebraicas de las 1 raíces p-ádicas de la unidad y las separamos en dos subgrupos µ(p)(K) y µ(p∞)(K), los mismos que son las raíces de orden coprimo con p y raíces de orden una potencia de un primo. Por muy simple que parezca, esta agrupación de las raíces nos permitirá una clasificación de ciertas extensiones p-ádicas. Finalmente, es grato resaltar al Doctor Alfredo Poirier por su paciencia en la asesoría brindada para la elaboración de esta tesis. / Tesis

Este trabajo presenta una investigación sobre los libros de textos de matemática de uso oficial en las Instituciones Educativas Públicas del Perú, distribuidos por el Ministerio de Educación. En ella se analizan las tareas matemáticas con perspectiva en Razonamiento y Demostración cuando se desarrollan temas relacionados a los números racionales. Esta investigación se realizó sobre la base teórica de investigaciones realizadas y orientadas por los retos metodológicos para el análisis de libros de texto en Razonamiento y Demostración planteados por Gabriel Stylianides. La problemática que motiva la investigación se sitúa en el escenario escolar de la Educación Básica Regular del Perú. Abordar el tratamiento escolar del número racional plantea pensar, entre otros aspectos, en la forma que son presentados en los libros de texto, puesto que estos recursos son de vital importancia en la interacción docente – estudiante durante los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los resultados obtenidos muestran evidencias importantes para afirmar que los autores de los libros de texto no abordan procesos involucrados en Razonamiento y Demostración en el desarrollo de los números racionales, sin embargo en las tareas propuestas hallamos aquellas que sí pueden ser desarrolladas desde la perspectiva de nuestro marco teórico. / This paper presents a research about mathematics textbooks of official use in the public educational institutions in Perú, they are distributed by the Ministry of Education. In it the mathematics tasks are discussed with Reasoning and Proving perspective when issues of the rational numbers are developed. This research was conducted on the theoretical basis of researches conducted and focused by the methodological challenges for textbooks analysis on Reasoning and Proving approached by Gabriel Stylianides. The problem that motivates the research is in the school situation of Regular Basic Education of Perú. The school treatment address of the rational number, it raises think among other things, in the way that they are presented in the textbooks, since these resources are of vital importance in the interaction teacher - student during the teaching and learning processes. The results show significant evidence to say that the authors of the textbooks do not address processes underlying in Reasoning and Proving in the development of rational numbers, however in the proposed tasks found that those do can be developed since of the perspective of our theoretical framework.