Submitted by Izabel Franco (izabel-franco@ufscar.br) on 2016-09-27T12:35:16Z No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-27T19:50:41Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-27T19:50:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-27T19:50:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseACM.pdf: 612181 bytes, checksum: 08e7f6fda44f199df98f9f32d119dc0f (MD5) Previous issue date: 2015-06-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we study conditions for the validity of the analogue of Mergelyan’s theorem for continuous solutions of a type of locally integrable vector field. On a domain in the plane, we consider a vector field L that has a first integral on of the form Z(x, t) = x + i'(x, t), where '(x, t) is a smooth, realvalued function. Given a continuous solution u of Lu = 0 on , our first objective was to find conditions on and Z for the validity of the factorization u = U Z, where U 2 C0(Z ()) \ H(int{Z ()}). We will next study this factorization on the closure of . We assume that u 2 C0( ) and that the boundary of is real analytic, then we show in which cases the condition Z(p1) = Z(p2) implies that u(p1) = u(p2), for p1, p2 2 . The cases are divided according to the geometry of the boundary in the points p1 and p2. When is a compact set and u = U Z on , we obtain that u is uniformly approximated by polynomials of Z on . / Neste trabalho estudamos condições para a validade do análogo ao Teorema de Mergelyan para soluções contínuas de um tipo de campo vetorial localmente integrável. Em um domínio no plano, consideramos um campo vetorial L que possui uma integral primeira em da forma Z(x, t) = x + i'(x, t), onde '(x, t) é uma função suave a valores reais. Dada uma solução contínua u de Lu = 0 em, nosso primeiro objetivo foi encontrar condições em e em Z para a validade da fatoração u = U Z, onde U 2 C0(Z()) \ H(int{Z()}). Em seguida estudamos a fatoração no fecho de . Assumimos que u 2 C0() e que a fronteira de é analítica real, então mostramos em quais casos a condição Z(p1) = Z(p2) implica que u(p1) = u(p2), para p1, p2 2 . Os casos são divididos de acordo com a geometria da fronteira nos pontos p1 e p2. Quando é compacto e temos u = U Z em, obtemos que u é uniformemente aproximada por polinômios em Z sobre .

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 4422.pdf: 847446 bytes, checksum: c445c9730923b5ebe59f8eb9e0deb921 (MD5) Previous issue date: 2012-05-23 / Universidade Federal de Minas Gerais / Suppose that M is a smooth submanifold of CN and that L = ∪z∈CnLz is the Cauchy- Riemann structure associated to the N-dimensional complex space. For each p ∈ M we can consider the vector space Ap = CTpM ∩ Lp. If the reunion of those fibers originates a locally integrable structure, then we are going to say that M is a CR submanifold with CR structure A = ∪p∈MAp. It immediately follows that if h is a holomorphic application defined in a certain neighborhood U ⊃ M, then A(h|M) = 0. If we consider a distribution u ∈ D′(M) such that Au = 0, then one can asks: is there a holomorphic application h defined in certain open set U such that h|M = u? The question, as it is, can be paraphrased as: is there any analytic extension of the CR distribution u? The answer is negative and there are several examples one can create. Consider a quadric application q : Cm × Cm −→ Cd and the manifold given by M = {(w, t) ∈ Cm × Cd,ℑt = q(w,w)}. Boggess has proved in [Bog01] that all Lp CR distributions in M (with p ≥ 1) admit a holomorphic extension to the interior of the convex hull of M. In this work, we are going to address the same question, but we are going to deal with CR distributions that are in hp with p > 0. Since hp(M) = Lp(M) if p > 1, then our result can be understood as an extension of the original Boggess theorem. The main ingredient of your work is a version of the Baouendi-Treves Approximation Theorem. / Suponha M uma subvariedade suave de CN e L = ∪z∈CnLz a estrutura de Cauchy-Riemann associado ao espaço complexo N-dimensional. Para cada ponto p ∈ M podemos considerar o espaço vetorial Ap = CTpM ∩ Lp. Caso a reunião dessas fibras deem origem a uma estrutura localmente integrável diremos que M ´e uma subvariedade CR com estrutura A = ∪p∈MAp. Da construção feita, segue imediatamente que se h ´e uma aplicação holomorfa definida em uma vizinhança U ⊃ M então A(h|M) = 0. Ora, se considerarmos agora uma distribuição u ∈ D′(M) tal que Au = 0 surge uma pergunta natural: existe uma aplicação h holomorfa definida em um aberto U tal que h|M = u? A pergunta, posta como está, poderá ser repetida de maneira enxuta como: a distribuição CR u tem extensão holomorfa? De forma geral a resposta é negativa e os exemplos são variados. Considere uma aplicação q : Cm × Cm −→ Cd quádrica e a variedade M = {(w, t) ∈ Cm × Cd,ℑt = q(w,w)}. Ora, Boggess demonstrou em [Bog01] que toda distribuição CR em M, que também é uma função Lp com p ≥ 1, admite uma extensão holomorfa no interior da envoltória convexa de M. Neste trabalho, investigaremos a mesma questão, mas consideraremos distribuições CR em M que estejam em hp com p > 0. Como hp(M) = Lp(M) se p > 1 podemos entender que nosso texto ´e uma extensão do resultado apresentado por Boggess. O ingrediente fundamental para essa generalização é uma versão do Teorema de Aproximação de Baouendi-Treves.