Encontrar subestruturas aditivas que revelam um certo grau de organização em certos conjuntos contidos nos números naturais é o foco do estudo da combinatória aditiva. Desta área, resultados como os famosos Teorema de Van der Waerden e o Teorema de Szemerédi se destacam, revelando através de métodos combinatoriais que certas propriedades referentes ao tamanho de subconjuntos de inteiros implicam a existência de progressões aritméticas de tamanho arbitrariamente grande. Em meados de 1970, Furstenberg causou certa comoção no meio matemático ao publicar provas para ambos os teoremas usando métodos e ferramentas da teoria ergódica. Apesar de tal abordagem ter apresentado uma nova e profunda ligação entre as áreas, houve certa crítica pelo fato de não gerar resultados originais e por suas limitações (por exemplo, seus resultados costumam ser de caráter assintótico, sem lidar com limitantes e cotas, amplamente conhecidos pelos métodos combinatórios). Tais críticas foram silenciadas quando Ben Green e Terence Tao, usando tais métodos de teoria ergódica, demonstraram a incrível e bela afirmação de que os primos possuem progressões aritméticas de tamanho arbitrariamente grande, dando uma resposta definitiva para um enunciado conjecturado há muito tempo. Certamente, este foi um grande passo na matemática do século XXI. Deste então, novas abordagens foram amplamente estudadas e analisadas, de modo a aumentar ainda mais nossa compreensão sobre estes impressionantes conceitos. / Finding additive substructures that reveal a certain degree of organization in certain sets contained in the set of the natural numbers is the focus of the study of additive combinatorics. From this area, results such as the famous Van der Waerdens Theorem and Szemerédis Theorem stand out, revealing through combinatorial methods that certain properties concerning the size of subsets of integers imply the existence of arbitrarily long arithmetic progressions. In the mid-1970s Furstenberg caused some commotion in the mathematical world by publishing proofs for both theorems using methods and tools of ergodic theory rather than combinatorial methods. Although this approach had presented a new and deep link between those areas, there was some criticism for the lack of original results and some limitations of this technique (for instance, its results usually have an asymptotic flavour without dealing with bounds widely known by combinatorial methods). Such criticisms were silenced when Ben Green and Terence Tao, using such methods of ergodic theory, demonstrated the incredible and beautiful theorem that the primes have arithmetic progressions of arbitrarily large size, giving a definitive answer to a statement conjectured a long time ago. Certainly, this was a major step for the mathematics of the 21st century. Hence, new approaches have been extensively studied and analyzed in order to further increase our understanding of these impressive concepts.

MARTINS, C. H. S. Desigualdade isoperimétrica: aspectos históricos e uma abordagem para o ensino médio. 2016. 30f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-03-06T15:32:24Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_chsmartins.pdf: 555526 bytes, checksum: 8868d747ffd7a013dc7e9a39950f6b99 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Ficha catalográfica e o Sumário não estão de acordo com os padrões adotados na UFC. on 2017-03-06T15:39:46Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-03-08T13:51:28Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_chsmartins.pdf: 14646883 bytes, checksum: ffc10a0c4a1110c572c44d1d66359c38 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-03-08T15:16:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_chsmartins.pdf: 14646883 bytes, checksum: ffc10a0c4a1110c572c44d1d66359c38 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-08T15:16:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_chsmartins.pdf: 14646883 bytes, checksum: ffc10a0c4a1110c572c44d1d66359c38 (MD5) Previous issue date: 2016-01-15 / This dissertation aims to know the historical process of the emergence of mathematics and isoperimetric inequalities, as well as to present approaches of isoperimetric problems that can be used in high school. On order to achieve the objective of this research, bibliographical research was adopted as methodology. Despite the long existence of the study of the isoperimetric problem over time this is still the focus of many mathematicians. Many generalizations of isoperimetric inequalities in the most varied mathematical contexts are much studied in different areas of mathematical investigation. Ot is pertinent to note that demonstrations can be made in various ways and the approach to these formulas is scarcely mentioned in the books. The organization of school knowledge allows us to introduce a new pedagogical practice of the teacher, in which the process of reflection and interpretation about different procedures allows us to establish a relation between theory and everyday life. With the proposals here reported it is desired to continue adding new elements capable of enriching and making more accessible the process of construction of mathematical knowledge in this area. Since all mathematical theoretical knowledge that has existed before by actual experience, our preoccupation with contextualizing isoperimetric inequalities in their initial event, as well as punctuating some questions of the development of mathematics, proving how much it has arisen, is and will be relevant to the development of man. / Essa dissertação tem como objetivo conhecer o processo histórico do surgimento da matemática e das desigualdades isoperimétricas, bem como apresentar abordagens de desigualdades isoperimétricas que podem ser utilizadas no ensino médio. Para concretização do objetivo dessa pesquisa adotou-se como metodologia a pesquisa bibliográfica. Apesar da longa existência do estudo do problema isoperimétrico ao longo dos tempos este ainda é alvo da atenção de muitos matemáticos. Muitas generalizações de desigualdades isoperimétricas nos mais variados contextos matemáticos são muito estudadas em diferentes áreas de investigação matemática. Sendo pertinente observar que as demonstrações podem ser feitas de várias maneiras e a abordagem dessas fórmulas é pouco citada nos livros. A organização dos conhecimentos escolares permitem introduzir um novo fazer pedagógico do professor, na qual o processo de reflexão e interpretação sobre diferentes procedimentos permitem estabelecer uma relação entre a teoria e o cotidiano. Com as propostas aqui relatadas deseja-se continuar agregando novos elementos capazes de enriquecer e tornar mais acessível o processo de construção do conhecimento matemático nessa área. Visto que todo conhecimento teórico matemático que existe passou antes pela experiência real, daí nossa preocupação de contextualizar as desigualdades isoperimétricas em seu evento inicial, bem como pontuar algumas questões do desenvolvimento da matemática, provando o quanto seu surgimento foi, é e será relevante para o desenvolvimento do homem.