Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Desenvolvemos nesta dissertação um método híbrido direto para o cálculo do fator de desvantagem e descrição da distribuição do fluxo de nêutrons em sistemas combustível-moderador. Na modelagem matemática, utilizamos a equação de transporte de Boltzmann independente do tempo, considerando espalhamento linearmente anisotrópico no modelo monoenergético e espalhamento isotrópico no modelo multigrupo, na formulação de ordenadas discretas (SN), em geometria unidimensional. Desenvolvemos nesta dissertação um método híbrido direto para o cálculo do fator de desvantagem e descrição da distribuição do fluxo de nêutrons em sistemas combustível-moderador. Na modelagem matemática, utilizamos a equação de transporte de Boltzmann independente do tempo, considerando espalhamento linearmente anisotrópico no modelo monoenergético e espalhamento isotrópico no modelo multigrupo, na formulação de ordenadas discretas (SN), em geometria unidimensional. Descrevemos uma análise espectral das equações de ordenadas discretas (SN)a um grupo e a dois grupos de energia, onde seguimos uma analogia com o método de Case. Utilizamos, neste método, quadraturas angulares diferentes no combustível (NC) e no moderador (NM), onde em geral assumimos que NC > NM . Condições de continuidade especiais que acoplam os fluxos angulares que emergem do combustível (moderador) e incidem no moderador (combustível), foram utilizadas com base na equivalência entre as equações SN e PN-1, o que caracteriza a propriedade híbrida do modelo proposto. Sendo um método híbrido direto, utilizamos as NC + NM equações lineares e algébricas constituídas pelas (NC + NM)/2 condições de contorno reflexivas e (NC + NM)/2 condições de continuidade para determinarmos as NC + NM constantes. Com essas constantes podemos calcular os valores dos fluxos angulares e dos fluxos escalares em qualquer ponto do domínio. Apresentamos resultados numéricos para ilustrar a eficiência e a precisão do método proposto. / In this masters dissertation we describe a hybrid direct method for calculating the disadvantage factor and the neutron flux distribution in fuel-moderator lattices. For the mathematical model, we used the discrete ordinates (SN) transport equation, considering linearly anisotropic scattering in the monoenergetic model and isotropic scattering in the energy multigroup model in slab geometry. We describe a spectral analysis of the monoenergetic and two-group SN equations, in a way which is very similar to the Case method. The basic idea is to use higher order angular quadrature set in the highly absorbing fuel region (SNF)and lower order angular quadrature set in the diffusive moderator region (SNM) i.e., NF > NM. Therefore, we apply special continuity conditions for the fuel existing fluxes that constitute the incoming fluxes for the moderator region, and conversely for the moderator existing fluxes that constitute the incoming fluxes for the fuel region, based on the equivalence of the SN and PN-1 equations, which characterize the hybrid model. As a direct hybrid method, we use NF + NM linear algebraic equations composed of (NF + NM)/2 reflexive boundary conditions and (NF + NM)/2 continuity conditions to solve for the NF + NM expansion coefficients. With these coefficients we can calculate the numerical values for the angular fluxes and for the scalar fluxes at any location of domain. We present numerical results to illustrate the efficiency and the accuracy of the offered method.

Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / A formulação explícita matricial desenvolvida nesta tese de doutorado foi proposta visando ser uma alternativa na solução de Problemas Inversos de estimativa de propriedades radiativas em meios participantes homogêneos unidimensionais usando a Equação de Transferência Radiativa para modelar a interação da radiação com o meio participante. A equação de transporte é formulada em forma matricial e o domínio angular é discretizado usando conceitos do método de ordenadas discretas e a expansão da função de fase do espalhamento anisotrópico em uma série de polinômios de Legendre. A formulação proposta consiste em uma formulação explícita para o problema inverso. Um arranjo apropriado das condições de contorno prescritas (fluxos incidentes) e dos fluxos emergentes nos contornos de uma placa permitem o cálculo direto do operador de transmissão, do operador albedo e do operador de colisão. A partir do operador de colisão calculado são obtidos os valores estimados dos coeficientes de extinção total e de espalhamento. São apresentadas as formulações para problemas em regime estacionário e em regime transiente, bem como os resultados para alguns casos-teste. / The explicit matrix formulation developed in the present thesis has been proposed as an alternative for the solution of Inverse Problems for radiative properties estimation in one-dimensional homogeneous participating media using Radiative transfer equation for the modeling of the radiation interaction with the participating medium. This transport equation is formulated in a matrix form and the angular domain is discretized using concepts of the discrete ordinates methods and the expansion of the function of phase function of anisotropic scattering in a series of Legendre polynomial. The formulation proposed consists on an explicit formulation for the inverse problem. An adequate assembly of the prescribed boundary conditions (incidents flux) and of the emerging flux at the boundaries of the slab allows the direct computation of the transmission, albedo and collision operators. From the computed collision operator estimated values for total extinction and scattering coefficients are obtained. The formulations for steady state and transient situations are presented, as well as test case results.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação o método espectronodal SD-SGF-CN, cf. spectral diamond spectral Green's function - constant nodal, é utilizado para a determinação dos fluxos angulares médios nas faces dos nodos homogeneizados em domínio heterogêneo. Utilizando esses resultados, desenvolvemos um algoritmo para a reconstrução intranodal da solução numérica visto que, em cálculos de malha grossa, soluções numéricas mais localizadas não são geradas. Resultados numéricos são apresentados para ilustrar a precisão do algoritmo desenvolvido. / In this dissertation the spectral nodal method SD-SGF-CN, cf. spectral diamond spectral Green's function - constant nodal, is used to determine the angular fluxes averaged along the edges of the homogenized nodes in heterogeneous domains. Using these results, we developed an algorithm for the reconstruction of the node-edge average angular fluxes within the nodes of the spatial grid set up on the domain, since more localized numerical solutions are not generated by coarse-mesh numerical methods. Numerical results are presented to illustrate the accuracy of the algorithm we offer.

É presentada nesta dissertação uma análise espectral das equações de transporte de nêutrons, independente do tempo, em geometria unidimensional e bidimensional, na formulação de ordenadas discretas (SN), utilizando o modelo de uma velocidade e multigrupo, considerando meios onde ocorrem o fenômeno da fissão nuclear. Esta análise espectral constitui-se na resolução de problemas de autovalores e respectivos autovetores, e reproduz a expressão para a solução geral analítica local das equações SN (para geometria unidimensional) ou das equações nodais integradas transversalmente (geometria retangular bidimensional) dentro de cada região homogeneizada do domínio espacial. Com a solução geral local determinada, métodos numéricos, tais como os métodos de matriz de resposta SN, podem ser derivados. Os resultados numéricos são gerados por programas de computadores implementados em MatLab, versão 2012, a fim de verificar a natureza dos autovalores e autovetores correspondentes no espaço real ou complexo. / Presented in this dissertation is a spectral analysis of the neutron transport equations in the slab and X, Y geometry time-independent discrete ordinates formulation using the one-speed and multigroup model in neutron fission reacting media. This spectral analysis is bared on solving eigenvalue problems and yields the expression for the local general solution of the equations (for slab geometry) or of the transverse integrated nodal equations (for multidimensional rectangular geometry) within each homogenized region of the domain. With the local general solution so determined, a number of coarse-mesh numerical methods, such as the response matrix methods, can be derived. Numerical results are generated by computer program s implemented in MatLab, version 2012, in order to verify the nature of the eigenvalues and corresponding eigenvectors in real or complex space.

Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / A formulação explícita matricial desenvolvida nesta tese de doutorado foi proposta visando ser uma alternativa na solução de Problemas Inversos de estimativa de propriedades radiativas em meios participantes homogêneos unidimensionais usando a Equação de Transferência Radiativa para modelar a interação da radiação com o meio participante. A equação de transporte é formulada em forma matricial e o domínio angular é discretizado usando conceitos do método de ordenadas discretas e a expansão da função de fase do espalhamento anisotrópico em uma série de polinômios de Legendre. A formulação proposta consiste em uma formulação explícita para o problema inverso. Um arranjo apropriado das condições de contorno prescritas (fluxos incidentes) e dos fluxos emergentes nos contornos de uma placa permitem o cálculo direto do operador de transmissão, do operador albedo e do operador de colisão. A partir do operador de colisão calculado são obtidos os valores estimados dos coeficientes de extinção total e de espalhamento. São apresentadas as formulações para problemas em regime estacionário e em regime transiente, bem como os resultados para alguns casos-teste. / The explicit matrix formulation developed in the present thesis has been proposed as an alternative for the solution of Inverse Problems for radiative properties estimation in one-dimensional homogeneous participating media using Radiative transfer equation for the modeling of the radiation interaction with the participating medium. This transport equation is formulated in a matrix form and the angular domain is discretized using concepts of the discrete ordinates methods and the expansion of the function of phase function of anisotropic scattering in a series of Legendre polynomial. The formulation proposed consists on an explicit formulation for the inverse problem. An adequate assembly of the prescribed boundary conditions (incidents flux) and of the emerging flux at the boundaries of the slab allows the direct computation of the transmission, albedo and collision operators. From the computed collision operator estimated values for total extinction and scattering coefficients are obtained. The formulations for steady state and transient situations are presented, as well as test case results.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação o método espectronodal SD-SGF-CN, cf. spectral diamond spectral Green's function - constant nodal, é utilizado para a determinação dos fluxos angulares médios nas faces dos nodos homogeneizados em domínio heterogêneo. Utilizando esses resultados, desenvolvemos um algoritmo para a reconstrução intranodal da solução numérica visto que, em cálculos de malha grossa, soluções numéricas mais localizadas não são geradas. Resultados numéricos são apresentados para ilustrar a precisão do algoritmo desenvolvido. / In this dissertation the spectral nodal method SD-SGF-CN, cf. spectral diamond spectral Green's function - constant nodal, is used to determine the angular fluxes averaged along the edges of the homogenized nodes in heterogeneous domains. Using these results, we developed an algorithm for the reconstruction of the node-edge average angular fluxes within the nodes of the spatial grid set up on the domain, since more localized numerical solutions are not generated by coarse-mesh numerical methods. Numerical results are presented to illustrate the accuracy of the algorithm we offer.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Desenvolvemos nesta dissertação um método híbrido direto para o cálculo do fator de desvantagem e descrição da distribuição do fluxo de nêutrons em sistemas combustível-moderador. Na modelagem matemática, utilizamos a equação de transporte de Boltzmann independente do tempo, considerando espalhamento linearmente anisotrópico no modelo monoenergético e espalhamento isotrópico no modelo multigrupo, na formulação de ordenadas discretas (SN), em geometria unidimensional. Desenvolvemos nesta dissertação um método híbrido direto para o cálculo do fator de desvantagem e descrição da distribuição do fluxo de nêutrons em sistemas combustível-moderador. Na modelagem matemática, utilizamos a equação de transporte de Boltzmann independente do tempo, considerando espalhamento linearmente anisotrópico no modelo monoenergético e espalhamento isotrópico no modelo multigrupo, na formulação de ordenadas discretas (SN), em geometria unidimensional. Descrevemos uma análise espectral das equações de ordenadas discretas (SN)a um grupo e a dois grupos de energia, onde seguimos uma analogia com o método de Case. Utilizamos, neste método, quadraturas angulares diferentes no combustível (NC) e no moderador (NM), onde em geral assumimos que NC > NM . Condições de continuidade especiais que acoplam os fluxos angulares que emergem do combustível (moderador) e incidem no moderador (combustível), foram utilizadas com base na equivalência entre as equações SN e PN-1, o que caracteriza a propriedade híbrida do modelo proposto. Sendo um método híbrido direto, utilizamos as NC + NM equações lineares e algébricas constituídas pelas (NC + NM)/2 condições de contorno reflexivas e (NC + NM)/2 condições de continuidade para determinarmos as NC + NM constantes. Com essas constantes podemos calcular os valores dos fluxos angulares e dos fluxos escalares em qualquer ponto do domínio. Apresentamos resultados numéricos para ilustrar a eficiência e a precisão do método proposto. / In this masters dissertation we describe a hybrid direct method for calculating the disadvantage factor and the neutron flux distribution in fuel-moderator lattices. For the mathematical model, we used the discrete ordinates (SN) transport equation, considering linearly anisotropic scattering in the monoenergetic model and isotropic scattering in the energy multigroup model in slab geometry. We describe a spectral analysis of the monoenergetic and two-group SN equations, in a way which is very similar to the Case method. The basic idea is to use higher order angular quadrature set in the highly absorbing fuel region (SNF)and lower order angular quadrature set in the diffusive moderator region (SNM) i.e., NF > NM. Therefore, we apply special continuity conditions for the fuel existing fluxes that constitute the incoming fluxes for the moderator region, and conversely for the moderator existing fluxes that constitute the incoming fluxes for the fuel region, based on the equivalence of the SN and PN-1 equations, which characterize the hybrid model. As a direct hybrid method, we use NF + NM linear algebraic equations composed of (NF + NM)/2 reflexive boundary conditions and (NF + NM)/2 continuity conditions to solve for the NF + NM expansion coefficients. With these coefficients we can calculate the numerical values for the angular fluxes and for the scalar fluxes at any location of domain. We present numerical results to illustrate the efficiency and the accuracy of the offered method.

É presentada nesta dissertação uma análise espectral das equações de transporte de nêutrons, independente do tempo, em geometria unidimensional e bidimensional, na formulação de ordenadas discretas (SN), utilizando o modelo de uma velocidade e multigrupo, considerando meios onde ocorrem o fenômeno da fissão nuclear. Esta análise espectral constitui-se na resolução de problemas de autovalores e respectivos autovetores, e reproduz a expressão para a solução geral analítica local das equações SN (para geometria unidimensional) ou das equações nodais integradas transversalmente (geometria retangular bidimensional) dentro de cada região homogeneizada do domínio espacial. Com a solução geral local determinada, métodos numéricos, tais como os métodos de matriz de resposta SN, podem ser derivados. Os resultados numéricos são gerados por programas de computadores implementados em MatLab, versão 2012, a fim de verificar a natureza dos autovalores e autovetores correspondentes no espaço real ou complexo. / Presented in this dissertation is a spectral analysis of the neutron transport equations in the slab and X, Y geometry time-independent discrete ordinates formulation using the one-speed and multigroup model in neutron fission reacting media. This spectral analysis is bared on solving eigenvalue problems and yields the expression for the local general solution of the equations (for slab geometry) or of the transverse integrated nodal equations (for multidimensional rectangular geometry) within each homogenized region of the domain. With the local general solution so determined, a number of coarse-mesh numerical methods, such as the response matrix methods, can be derived. Numerical results are generated by computer program s implemented in MatLab, version 2012, in order to verify the nature of the eigenvalues and corresponding eigenvectors in real or complex space.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Nesta dissertação propomos a utilização do método espectro-nodal SGF, cf. spectral Greens function, para transporte SN de partículas neutras, para determinarmos os fluxos angulares nas interfaces das regiões homogêneas do domínio espacial heterogêneo, com espalhamento linearmente anisotrópico usando preferencialmente altas ordens de quadraturas angulares. As reconstruções espaciais analíticas dos fluxos angulares são feitas no interior das regiões homogêneas, determinando as constantes arbitrárias da solução analítica local das equações SN no interior dos nodos espaciais da grade de dicretização. A seguir, utilizando essas constantes, determinamos as expressões do fluxo escalar e da corrente de nêutrons, que são substituídas na equação de transporte unidimensional em geometria retangular Cartesiana no termo de fonte por espalhamento linearmente anisotrópico. Resolvemos analiticamente a equação de transporte com os termos do fluxo escalar e corrente de nêutrons assim aproximados para estimarmos o perfil do fluxo angular de nêutrons no domínio. Esta reconstrução analítica aproximada da solução da equação de transporte de partículas neutras em geometria unidimensional Cartesiana constitui um problema inverso, na medida em que a partir da solução nodal de malha grossa fazemos primeiramente uma reconstrução analítica espacial do fluxo angular nas direções das ordenadas discretas, para em seguida procedermos à reconstrução analítica aproximada do fluxo no domínio angular. / We describe the application of the spectral Greens function SN nodal method for one-speed neutral particle transport calculations to determine the angular fluxes at the homogeneized regions within heterogeneous domains, for linearly anisotropic scattering, using preferably high-order angular quadratures. The reconstruction scheme in the space variable of the angular flux is carried out within the homogenized regions using uniform spatial grid. We determine the arbitrary constants of the analytical SN general solution inside each spatial node. Then, we determine the SN expression for the scalar flux and total current that we substitute into the analytical slab-geometry transport equation, precisely into its linearly anisotropic scattering source term. Further, we solve analytically the slab-geometry transport equation, so approximated, to obtain the flux profile within the space and angular domains. This approximate analytical reconstruction scheme of the solution of the neutral particle transport equation in slab geometry is an inverse problem, in the sense that we use accurate coarse-mesh SN numerical solution, to recover the SN analytical solution in the space variable, and then reconstruct the solution approximately in the angular domain.

Nesta tese mostraremos uma aplicação do método SGF, cf., spectral Greens function, para gerar fluxos angulares nas interfaces dos nodos na formulação de ordenadas discretas (SN) para equação de transporte de partículas neutras em geometria cartesiana unidimensional e a uma velocidade, usando quadraturas de alta ordem. Utilizando o método de malha grossa SGF, primeiramente determinamos as constantes arbitrárias da solução geral analítica das equações SN em cada nodo espacial. Então usamos a fórmula de quadratura angular para estimar uma expressão para o fluxo escalar de nêutrons e substituímos no termo de fonte de espalhamento isotrópico na equação de transporte. Resolvemos analiticamente a equação unidimensional de transporte de nêutrons com a fonte de espalhamento aproximada desta maneira e geramos os valores para o fluxo angular no interior de cada nodo espacial. Como o método SGF gera soluções numéricas de malha grossa completamente livres de erro de truncamento espacial, esperamos que o esquema de reconstrução analítica proposto tenha alta precisão para os fluxos angulares, considerando as condições de continuidade nas interfaces dos nodos do domínio espacial. Esta técnica caracteriza um problema inverso, pois a partir da solução de malha grossa do método SGF, podemos reconstruir o fluxo angular de nêutrons em qualquer ponto do domínio. / We offer in this work an application of the SGF method, cf., spectral Greens function, to generate the angular fluxes at the region interfaces of multilayer slabs, using high-order angular quadrature sets in the one-speed discrete ordinates (SN) formulation of the neutral particle transport equation. Using the SGF coarse-mesh numerical solution, we first determine the arbitrary constants of the analytical general solution of the SN equations within each spatial node. Then, we use the angular quadrature formula to estimate the expression of the scalar flux distribution, that we substitute into the isotropic scattering source term of the transport equation. We solve analytically the slab-geometry transport equation, with the scattering source so approximated, in order to generate the angular flux profile within each spatial node. As the SGF method generates coarse-mesh numerical solution, which is completely free from spatial truncation errors, we expect that the offered approximate analytical reconstruction scheme be accurate enough for the localized angular flux distribution, considering the node interface continuity conditions within the domain. This technique is thought of as an inverse problem since from the SGF coarse-mesh nodal solution we are able to reconstruct the angular flux profile at any point inside the domain.