Orientador: Pedro José Catuogno / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T02:18:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Castrequini_RafaelAndretto_D.pdf: 917541 bytes, checksum: c03f74c254be62fceaa032d8a3fd40ec (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Provaremos uma fórmula do tipo Itô-Ventzel para caminhos Hölder cujo expoente é maior que 1/3. Os exemplos fundamentais de caminhos onde a fórmula é válida é o movimento Browniano fracionário. Nossa fórmula estende (e coincide) a versão clássica feita por H. Kunita na década de 80. As ferramentas utilizadas residem no contexto dos rough paths seguindo a abordagem de M. Gubinelli. Tais tecnicas começaram a serem desenvolvidas por T. Lyons no final de 90. Como aplicação, estudaremos equações diferenciais dirigidas por caminhos cujo expoente é maior que 1/2 (Sistemas de Young). Onde a idéia aqui é empregar nossa fórmula aplicando o método das caracteristicas nesse contexto, seguindo novamente os trabalhos de H. Kunita / Abstract: We prove an Itô-Ventezel type formula for Hölder paths with exponent is greater than 1/3. The most important class of examples of theses paths is given by fractional Brownian motion. Our formula is an extension (and agree) to classic version done by H. Kunita in 80's. The technical tools used rely on rough path theory following M. Gubinelli's approach. Those techniques were developed in the late 90's. by T. Lyons. As an application, we study differential equations driven by paths with exponent greater than 1/2 (Young Systems). The ideia here is to employ our formula together with method of characteristics in this setting, following Kunita's work / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Pedro Jose Catuogno / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T19:44:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_MarceloGoncalvesOliveira_D.pdf: 804383 bytes, checksum: ab79ef394c82b721e298a47eaa86c2f6 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho aborda homotopias não usuais entre soluções de equações pertencentes a uma coleção de equações. Cada coleção de equações é denominada pelo termo sistema e neste trabalho são considerados dois tipos de sistemas, os sistemas de Young e os sistemas rugosos. Sob determinadas condições, mostramos que um conjunto de pontos acessíveis de um sistema de Young admite recobrimento e um resultado análogo para sistemas rugosos também é válido. Além disso, mostramos que a concatenação de trajetórias de um sistema ainda é uma trajetória deste sistema. Com esse resultado é possível definir uma operação entre as classes de homotopias de trajetórias de um sistema. Outro ponto abordado é estender ao contexto de um sistema de Young a noção de trajetórias regulares de equações diferenciais ordinárias pertencentes a um sistema de controle. Nesta direção obtivemos um resultado o qual diz que a concatenação entre uma trajetória regular e qualquer outra trajetória produz uma trajetória regular. Por fim, estudamos como o conceito de homotopia entre trajetórias de um sistema rugoso se relaciona com conjugação de sistemas e com equações diferenciais estocásticas. / Abstract: This work accosts unusual homotopy between solutions of equations belonging to a collection of equations. Each collection of equations is called by system and in this work are considered two types of systems, Young systems and rough systems. Under certain conditions, we show that a set of points accessible from an Young system admits covering and a similar result for rough systems is also valid. Furthermore, we show that the concatenation of trajectories of a system is also a trajectory of the system. With this result it is possible to define an operation between the classes of homotopy between trajectories of a system. Another point discussed is to extend to the context of trajectories of an Young system the notion of regularity of trajectories of ordinary differential equations belonging to a control system. In this way we obtain a result which says that the concatenation of a regular trajectory and any other trajectory produces a regular trajectory. Finally, we study how the concept of homotopy between trajectories of a rough system relates with conjugation of systems and stochastic differential equations. / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Pedro Jose Catuogno / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatística e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T14:39:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Castrequini_RafaelAndretto_M.pdf: 934326 bytes, checksum: e4c45bc1efde09bbe52710c44eab8bbf (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Introduzimos a teoria dos p-rough paths seguindo a abordagem de M. Gubinelli, conhecida por integração algébrica. Durante toda a dissertação nos restringimos ao caso 1 </= p < 3, o que e suficiente para lidar com trajetórias do movimento Browniano e aplicações ao Cálculo Estocástico. Em seguida, estudamos as equações diferenciais associadas aos rough paths, onde nós conectamos a abordagem de A. M. Davie (as equações) e a abordagem de M. Gubinelli (as integrais). No final da dissertação, aplicamos a teoria de rough path ao cálculo estocástico, mais precisamente relacionando as integrais de Itô e Stratonovich com a integral ao longo de caminhos. / Abstract: We introduce p-Rough Path Theory following M. Gubinelli_s approach, as known as algebraic integration. Throughout this masters thesis, we are concerned only in the case where 1 </= p < 3, witch is enough to deal with trajectories of a Brownnian motion and some applications to Stochastic Calculus. Afterwards, we study differential equations related to rough paths, where we connect the approach of A. M. Davie to equations with the approach of M. Gubinelli to integrals. At the end of this work, we apply the theory of rough paths to stochastic calculus, more precisely, we related the integrals of Itô and Stratonovich to integral along paths. / Mestrado / Sistemas estocasticos / Mestre em Matemática