Fases topológicas da matéria são caracterizadas por terem uma degenerescên- cia do estado fundamental que depende da topologia da variedade em que o sistema físico é definido, além disso apresentam estados excitados no interior do sistema que são interpretados como sendo quase-partículas com estatística de tipo anyonica. Estes sistemas apresentam também excitações sem gap de energia em sua borda. Fases topologicamente ordenadas distintas não podem ser distinguidas pelo esquema usual de quebra de simetria de Ginzburg-Landau. Nesta dissertação apresentamos como exemplo o modelo mais simples de um sistema com Ordem Topológica, a saber, o Toric Code (TC), introduzido originalmente por A. Kitaev em [1]. O estado fundamental deste modelo ap- resenta degenerescência igual a 4 quando incorporado à superfície de um toro. As excitações elementares são interpretadas como sendo quase-partículas com estatística do tipo anyonica. O TC é um caso especial de uma classe mais geral de models chamados de Quantum Double Models (QDMs), estes modelos podem ser entendidos como sendo uma implementação de Teorias de gauge na rede em (2 + 1) dimensões na formulação Hamiltoniana, em que os graus de liberdade vivem nas arestas da rede e são elementos do grupo de gauge G. Nós generalizamos estes modelos com a inclusão de campos de matéria nos vértices da rede. Também apresentamos uma construção detalhada de tais modelos e mostramos que eles são exatamente solúveis. Em particular, exploramos o modelo que corresponde à escolher o grupo de gauge como sendo o grupo cíclico Z2 e os graus de liberdade de matéria como sendo elementos de um espaço vetorial bidimensional V2. Além disso, mostramos que a degenerescência do estado fundamental não depende da topologia da variedade e obtemos os estados excitados mais elementares deste modelo. / Topological phases of matter are characterized for having a topologically dependent ground state degeneracy, anyonic quasi-particle bulk excitations and gapless edge excitations. Different topologically ordered phases of matter can not be distinguished by te usual Ginzburg-Landau scheme of symmetry breaking. Therefore, a new mathematical framework for the study of such phases is needed. In this dissertation we present the simplest example of a topologically ordered system, namely, the \\Toric Code (TC) introduced by A. Kitaev in [1]. Its ground state is 4-fold degenerate when embedded on the surface of a torus and its elementary excited states are interpreted as quasi-particle anyons. The TC is a particular case of a more general class of lattice models known as Quantum Double Models (QDMs) which can be interpreted as an implementation of (2+1) Lattice Gauge Theories in the Hamiltonian formulation with discrete gauge group G. We generalize these models by the inclusion of matter fields at the vertices of the lattice. We give a detailed construction of such models, we show they are exactly solvable and explore the case when the gauge group is set to be the abelian Z_2 cyclic group and the matter degrees of freedom to be elements of a 2-dimensional vector space V_2. Furthermore, we show that the ground state degeneracy is not topologically dependent and obtain the most elementary excited states.

Fases topológicas da matéria são caracterizadas por terem uma degenerescên- cia do estado fundamental que depende da topologia da variedade em que o sistema físico é definido, além disso apresentam estados excitados no interior do sistema que são interpretados como sendo quase-partículas com estatística de tipo anyonica. Estes sistemas apresentam também excitações sem gap de energia em sua borda. Fases topologicamente ordenadas distintas não podem ser distinguidas pelo esquema usual de quebra de simetria de Ginzburg-Landau. Nesta dissertação apresentamos como exemplo o modelo mais simples de um sistema com Ordem Topológica, a saber, o Toric Code (TC), introduzido originalmente por A. Kitaev em [1]. O estado fundamental deste modelo ap- resenta degenerescência igual a 4 quando incorporado à superfície de um toro. As excitações elementares são interpretadas como sendo quase-partículas com estatística do tipo anyonica. O TC é um caso especial de uma classe mais geral de models chamados de Quantum Double Models (QDMs), estes modelos podem ser entendidos como sendo uma implementação de Teorias de gauge na rede em (2 + 1) dimensões na formulação Hamiltoniana, em que os graus de liberdade vivem nas arestas da rede e são elementos do grupo de gauge G. Nós generalizamos estes modelos com a inclusão de campos de matéria nos vértices da rede. Também apresentamos uma construção detalhada de tais modelos e mostramos que eles são exatamente solúveis. Em particular, exploramos o modelo que corresponde à escolher o grupo de gauge como sendo o grupo cíclico Z2 e os graus de liberdade de matéria como sendo elementos de um espaço vetorial bidimensional V2. Além disso, mostramos que a degenerescência do estado fundamental não depende da topologia da variedade e obtemos os estados excitados mais elementares deste modelo. / Topological phases of matter are characterized for having a topologically dependent ground state degeneracy, anyonic quasi-particle bulk excitations and gapless edge excitations. Different topologically ordered phases of matter can not be distinguished by te usual Ginzburg-Landau scheme of symmetry breaking. Therefore, a new mathematical framework for the study of such phases is needed. In this dissertation we present the simplest example of a topologically ordered system, namely, the \\Toric Code (TC) introduced by A. Kitaev in [1]. Its ground state is 4-fold degenerate when embedded on the surface of a torus and its elementary excited states are interpreted as quasi-particle anyons. The TC is a particular case of a more general class of lattice models known as Quantum Double Models (QDMs) which can be interpreted as an implementation of (2+1) Lattice Gauge Theories in the Hamiltonian formulation with discrete gauge group G. We generalize these models by the inclusion of matter fields at the vertices of the lattice. We give a detailed construction of such models, we show they are exactly solvable and explore the case when the gauge group is set to be the abelian Z_2 cyclic group and the matter degrees of freedom to be elements of a 2-dimensional vector space V_2. Furthermore, we show that the ground state degeneracy is not topologically dependent and obtain the most elementary excited states.

Neste trabalho estudamos as teorias de gauge puras (sem campo de matéria) na rede em três dimensões. Em especial, estudamos a subclasse das teorias topológicas. A maneira como denimos e tratamos as teorias de gauge e diferente, mas equivalente, à forma usual apresentada em [2, 3]. Definimos estas teorias via o formalismo de Kuperberg, que é um formalismo puramente matemático de um invariante topológico de variedades tridimensionais. Este formalismo, embora bastante abstrato, pode ser adaptado para descrever as classes de modelos das teorias de gauge na rede, e traz várias vantagens, pois possibilita que tratemos de teorias topológicas e não topológicas, além da fácil identicação dos limites topológicos da função de partição. Estudamos também a classe das teorias chamadas quase topológicas, que podem ser pensadas como deformações de teorias topológicas. Em particular, consideramos teorias de gauge com grupo de gauge Z2, que é o grupo de gauge mais simples possível com dinâmica não trivial. Dentro das teorias de gauge, identicamos as classes de modelos que são quase topológicos, além de outras classes nas quais a função de partição pode ser trivialmente calculada. A função de partição foi calculada explicitamente no caso quase topológico em duas situações: sobre a esfera tridimensional S3 e sobre o toroS1x S1x S1x, que representa uma rede com condições periódicas de contorno. Dois modelos físicos de teorias de gauge, ainda com grupo de gauge Z2, foram estudados: o modelo com ação de Wilson SW = Pfaces [Tr(g) - 1] e o modelo com ação spin-gauge SSG = Pfaces Tr(g). No limite de baixa temperatura ambos os modelos mostram-se ser topológicos, enquanto que no limite de alta temperatura mostraram-se ser trivialmente calculáveis. / In this work we studied the class of models of pure lattice gauge theories (without matter elds) in three dimensions. Especially, we studied the subclass of topological theories. Lattice gauge theories were dened in an unusual way, unlike the description shown in [2, 3]. We dened lattice gauge theories via the Kuperberg\'s formalism [4], which is a mathematical model for a topological invariant of 3-manifolds. Such formalism, although completely abstract, can describe the class of models of lattice gauge theories because it can describe both topological and non topological theories, besides it provides an easy identication of the partition function topological limits. We also studied the class of theories called quasi topological, which can be thought as deformations of topological theories. As an example, we consider Z2 as gauge group, because it is the simplest group that does not imply trivial dynamics. Inside this class of models we identify the subclasses of quasi topological theories and also other classes in which the partition function can be trivially computed. The partition function was explicitly computed in two situations: on the 3-sphere S3 and on the 3-manifold S1 x S1 x S1 that represents periodic boundary conditions. Two physical models were studied: the model with Wilson\'s action SW(conf)1 and the model with spin-gauge action SSG(conf)2. In the low temperature limit both models shown to be topological and in the high temperature limit they could be trivially computed.

Neste trabalho estudamos as teorias de gauge puras (sem campo de matéria) na rede em três dimensões. Em especial, estudamos a subclasse das teorias topológicas. A maneira como denimos e tratamos as teorias de gauge e diferente, mas equivalente, à forma usual apresentada em [2, 3]. Definimos estas teorias via o formalismo de Kuperberg, que é um formalismo puramente matemático de um invariante topológico de variedades tridimensionais. Este formalismo, embora bastante abstrato, pode ser adaptado para descrever as classes de modelos das teorias de gauge na rede, e traz várias vantagens, pois possibilita que tratemos de teorias topológicas e não topológicas, além da fácil identicação dos limites topológicos da função de partição. Estudamos também a classe das teorias chamadas quase topológicas, que podem ser pensadas como deformações de teorias topológicas. Em particular, consideramos teorias de gauge com grupo de gauge Z2, que é o grupo de gauge mais simples possível com dinâmica não trivial. Dentro das teorias de gauge, identicamos as classes de modelos que são quase topológicos, além de outras classes nas quais a função de partição pode ser trivialmente calculada. A função de partição foi calculada explicitamente no caso quase topológico em duas situações: sobre a esfera tridimensional S3 e sobre o toroS1x S1x S1x, que representa uma rede com condições periódicas de contorno. Dois modelos físicos de teorias de gauge, ainda com grupo de gauge Z2, foram estudados: o modelo com ação de Wilson SW = Pfaces [Tr(g) - 1] e o modelo com ação spin-gauge SSG = Pfaces Tr(g). No limite de baixa temperatura ambos os modelos mostram-se ser topológicos, enquanto que no limite de alta temperatura mostraram-se ser trivialmente calculáveis. / In this work we studied the class of models of pure lattice gauge theories (without matter elds) in three dimensions. Especially, we studied the subclass of topological theories. Lattice gauge theories were dened in an unusual way, unlike the description shown in [2, 3]. We dened lattice gauge theories via the Kuperberg\'s formalism [4], which is a mathematical model for a topological invariant of 3-manifolds. Such formalism, although completely abstract, can describe the class of models of lattice gauge theories because it can describe both topological and non topological theories, besides it provides an easy identication of the partition function topological limits. We also studied the class of theories called quasi topological, which can be thought as deformations of topological theories. As an example, we consider Z2 as gauge group, because it is the simplest group that does not imply trivial dynamics. Inside this class of models we identify the subclasses of quasi topological theories and also other classes in which the partition function can be trivially computed. The partition function was explicitly computed in two situations: on the 3-sphere S3 and on the 3-manifold S1 x S1 x S1 that represents periodic boundary conditions. Two physical models were studied: the model with Wilson\'s action SW(conf)1 and the model with spin-gauge action SSG(conf)2. In the low temperature limit both models shown to be topological and in the high temperature limit they could be trivially computed.

Usando uma transformação de dualidade generalizada, considerações de simetria e supondo que as superfície críticas sejam contínuas, obtivemos o dia grama de fase para sistemas de spins Z (N) bidimensionais e sistemas com invariança de calibre Z (N) a quatro dimensões. Caracterizamos as diversas fases dos sistemas de spins pelo valor esperado das potências dos operadores de ordem e desordem. No sistema com invariança de calibre, por outro lado, estas fases caracterizadas pelo comportamento do valor esperado das potências das alças de Wilson e de \'t Hooft. Obtivemos para ambos os sistemas fases moles em que no caso de spins 2D (calibre 4D) todas as potências dos parâmetros de ordem e desordem ( todas as potências das alças de Wilson e \'t Hooft) são nulas (exibem decaimento com o perímetro da alça). Enquanto no sistema com invariança de calibre todas as combinações de decaimento (área ou perímetro) das alças de Wilson e \'t Hooft são permitidas, as relações de comutação no sistema de spins proíbe a existência de fases em que tanto o parâmetro de ordem como o de desordem são não nulos (exceto quando estes operadores comutam). Apresentamos por completeza as relações de dualidade para sistemas de calibre Z (N) com campos de Higgs a três dimensões. / Using a generalized duality transformation, symetry considerations and assuming that criticality is continuous in the system?s parameters, we obtain the phase diagram for two-dimensional Z (N) spins system?s and four-dimensional gauge Z (N) system\'s. For spins system we characterize the various phases by the expectation value of powers of the order and disorder operators. For gauge systems, on the other hand, the characterization is via decay law of powers of Wilson and \'t Hooft loops. We obtain soft phases for both systems, with the folowing, behaviour: for spins system all powers of order and disorder parameters vanish, whereas for gauge systems all powers of Wilson and \'t Hooft loops decay like the perimeter. Whereas all combinations of area and perimeter decay are allowed for Wilson\'s and \'t Hooft\'s loops, the Z (N) commutation relations for spin systems forbid the simultaneous non-vanishing of order and disorder parameters (except when these operators commute). For completeness we include the duality relations for three-dimensional gauge plus Higgs Z(N) systems.

Usando uma transformação de dualidade generalizada, considerações de simetria e supondo que as superfície críticas sejam contínuas, obtivemos o dia grama de fase para sistemas de spins Z (N) bidimensionais e sistemas com invariança de calibre Z (N) a quatro dimensões. Caracterizamos as diversas fases dos sistemas de spins pelo valor esperado das potências dos operadores de ordem e desordem. No sistema com invariança de calibre, por outro lado, estas fases caracterizadas pelo comportamento do valor esperado das potências das alças de Wilson e de \'t Hooft. Obtivemos para ambos os sistemas fases moles em que no caso de spins 2D (calibre 4D) todas as potências dos parâmetros de ordem e desordem ( todas as potências das alças de Wilson e \'t Hooft) são nulas (exibem decaimento com o perímetro da alça). Enquanto no sistema com invariança de calibre todas as combinações de decaimento (área ou perímetro) das alças de Wilson e \'t Hooft são permitidas, as relações de comutação no sistema de spins proíbe a existência de fases em que tanto o parâmetro de ordem como o de desordem são não nulos (exceto quando estes operadores comutam). Apresentamos por completeza as relações de dualidade para sistemas de calibre Z (N) com campos de Higgs a três dimensões. / Using a generalized duality transformation, symetry considerations and assuming that criticality is continuous in the system?s parameters, we obtain the phase diagram for two-dimensional Z (N) spins system?s and four-dimensional gauge Z (N) system\'s. For spins system we characterize the various phases by the expectation value of powers of the order and disorder operators. For gauge systems, on the other hand, the characterization is via decay law of powers of Wilson and \'t Hooft loops. We obtain soft phases for both systems, with the folowing, behaviour: for spins system all powers of order and disorder parameters vanish, whereas for gauge systems all powers of Wilson and \'t Hooft loops decay like the perimeter. Whereas all combinations of area and perimeter decay are allowed for Wilson\'s and \'t Hooft\'s loops, the Z (N) commutation relations for spin systems forbid the simultaneous non-vanishing of order and disorder parameters (except when these operators commute). For completeness we include the duality relations for three-dimensional gauge plus Higgs Z(N) systems.