Les matériaux de Dirac constituent une classe intéressante de systèmes pouvant subir une transition de phase quantique à température nulle, lorsqu’un paramètre non-thermique atteint un point critique quantique. À l’approche d’un tel point, les observables physiques sont affectées par les importantes fluctuations thermiques et quantiques. Dans ce mémoire, on utilise des techniques de théorie conforme des champs afin d’étudier le tenseur de conductivité électrique dans des théories en 2 + 1 dimensions contenant des fermions de Dirac près d’un point critique quantique. À basse énergie, ces dernières décrivent de façon adéquate de nombreux matériaux de Dirac ainsi que leur transition de phase quantique. La conductivité est étudiée dans le régime des hautes fréquences, à température non-nulle et lorsque le paramètre non-thermique est près de sa valeur critique. Dans ce projet, l’emphase est mise sur les points critiques quantiques invariants sous la parité et le renversement du temps. Dans ce cas, l’expansion de produit d’opérateurs (Operator product expansion en anglais) ainsi que la théorie des perturbations conforme permettent d’obtenir une expression générale pour l’expansion à grandes fréquences des conductivités longitudinales et transverses (de Hall) lorsque le point critique quantique est déformé par un opérateur scalaire relevant. Grâce à ces dernières, nous sommes en mesure de déduire des règles de somme exactes pour ces deux quantités. À titre d’exemple, nos résultats généraux sont appliqués dans le cadre du modèle interagissant de Gross-Neveu, où nous obtenons l’expansion des deux conductivités ainsi que les règles de somme pour un nombre de saveurs de fermions de Dirac N arbitraire. Ces mêmes expressions sont ensuite obtenues par un calcul explicite à N = infini, permettant la comparaison avec les résultats pour un N quelconque. Par la suite, des résultats généraux similaires sont obtenus dans le cas où le point critique quantique est déformé par un opérateur pseudoscalaire relevant. Ces derniers sont finalement appliqués à une théorie de fermions de Dirac libres perturbée par un terme de masse. / Dirac materials constitute an interesting class of systems that can undergo a quantum phase transition at zero temperature, when a non-thermal parameter reaches a quantum critical point. As we approach such a point, physical observables are altered by the important thermal and quantum fluctuations. In this thesis, conformal field theory techniques are used to study the electrical conductivity tensor in theories with Dirac fermions in 2+1 dimensions close to a quantum critical point. At low energies, these adequately describe various Dirac materials as well as their quantum phase transition. In this project, we focus on theories that have a quantum critical point invariant under parity and time-reversal. In this case, the operator product expansion and conformal perturbation theory allow to obtain a general expression for the large frequency expansion of the longitudinal and transverse (Hall) conductivities when the quantum critical point is deformed by a relevant scalar operator. Using these, we are able to deduce exact sum rules for both quantities. As an example, our general results are applied to the Gross-Neveu model, where we obtain the large frequency expansion for both conductivities and the associated sum rules for an arbitrary number of Dirac fermion flavors N. The same expressions are then obtained by an explicit calculation at N = infinity, allowing to compare with our results for any N. Afterwards, analogous general results are obtained for theories where the quantum critical point is deformed by a relevant pseudoscalar. These are finally applied to a theory of massless free Dirac fermions perturbed by a mass term.

Comprendre les transitions de phase quantiques dans les systèmes de fermions itinérants en interaction est crucial pour faire progresser notre connaissance de la criticité quantique. Cet intérêt est motivé par des expériences sur des matériaux fortement corrélés. L'attention récente s'est portée sur les matériaux bidimensionnels \((2D)\), tels que le graphène, les surfaces d'isolants topologiques et certains liquides de spin. Ces matériaux sont caractérisés par une dispersion de Dirac pseudo-relativiste. Dans ce mémoire, nous étudions les points critiques quantiques dans les systèmes de Dirac en calculant les dimensions d'échelle des bilinéaires de charge \(2\) à travers diverses classes d'universalité de Gross-Neveu, incluant Gross-Neveu, chiral Ising Gross-Neveu, chiral XY Gross-Neveu, et chiral d'Heisenberg Gross-Neveu. Nous utilisons la méthode d'expansion en grand \(N\) pour calculer les dimensions anormales en termes de \(1/N\). Ces dimensions d'échelle sont essentielles pour comprendre les transitions de phase quantiques d'un semimétal de Dirac à une phase isolante, comme observé dans des systèmes tels que le modèle \(t-V\) et des matériaux semblables au graphène. De plus, nous proposons un opérateur dual dans une théorie bosonique, qui est une combinaison de doublets monopôles invariants de jauge pour les bilinéaires dans le modèle d'Heisenberg Gross-Neveu, basé sur des conjectures précédentes. / Understanding quantum phase transitions in systems of interacting itinerant fermions is crucial for advancing our knowledge of quantum criticality. This interest is driven by experiments on strongly correlated materials. Recent focus has been on two-dimensional \((2D)\) materials, such as graphene, surfaces of topological insulators, and certain spin liquids. These materials are characterized by a pseudo-relativistic Dirac dispersion in their freely moving fermions, which lack classical analogs. In this thesis, we study the quantum critical points in Dirac systems by computing the scaling dimensions of charge \(2\) bilinears across various Gross-Neveu universality classes, including Gross-Neveu, chiral Ising Gross-Neveu, chiral XY Gross-Neveu, and chiral Heisenberg Gross-Neveu. We utilize the large \(N\) expansion method to compute the anomalous dimensions in terms of \(1/N\). These scaling dimensions are instrumental in understanding the quantum phase transitions from a Dirac semimetal to an insulating phase, as observed in systems like the \(t-V\) model and graphene-like materials. Additionally, we propose a dual operator in a bosonic theory, which is a combination of gauge-invariant monopole doublets for bilinears in the Gross-Neveu Heisenberg model, based on previous conjectures.