PREMIERE PARTIE : Modèle de Potts avec couplages aléatoires.<br /><br />Les transitions de phase en présence de désordre sont moins bien comprises que celles des systèmes purs. Afin de résoudre une<br />controverse dans la littérature, nous étudions l'effet du désordre gelé dans les systèmes qui subissent une transition de phase du premier ordre, dans le contexte du modèle de Potts à q états. Pour q grand, une transformation au modèle d'Ising en champ aléatoire est introduite. Cette transformation donne une simple explication physique de l'absence de chaleur latente en deux dimensions et elle suggère l'existence d'un point tricritique en dimension plus élevée, avec un exposant de corrélation lié à celui du modèle en champ aléatoire. Un diagramme de phase unifiant les comportements pur, percolatif et aléatoire est proposé. <br />En deux dimensions nous analysons le modèle avec l'aide de la théorie conforme des champs et nous trouvons une transition continue avec un exposant magnétique \beta/\nu qui varie continûment avec q, et un exposant de corrélation \nu ~ 1.<br />Pour q > 4, la transition du premier ordre du modèle pur est rendue continue grace aux impuretés et la classe d'universalité est différente de celle du modèle d'Ising pur. Comme attendu, les fonctions de corrélation démontrent des lois d'échelle multiples. <br /><br />SECONDE PARTIE : Polymères compacts sur le réseau carré.<br /><br />Des résultats exacts pour la statistique conformationnelle des polymères compacts sont dérivés à partir d'un modèle de deux espèces de boucles vivant sur le réseau carré. Ce modèle de boucles possède une variété bidimensionnelle de points fixes critiques, chacun caractérisé par une infinité d'exposants critiques géométriques. Nous calculons ces exposants exactement en utilisant l'équivalence du modèle de boucles à un modèle d'interface multidimensionnel. Ce dernier est décrit, dans la limite continue, par une théorie de champs conforme du type Liouville. Les polymères compacts sont identifiés avec un point particulier dans le diagramme de phase, et la valeur de l'exposant conformationnel \gamma = 117/112 est supérieure à la prédiction de champ moyen, indiquant une répulsion entropique entre les deux extrémités de la chaîne. Des polymères compacts avec une interaction non locale sont décrits par une ligne de points fixes le long de laquelle \gamma varie continûment.

Cette these examine deux aspects des theories conformes des champs (TCC) en d dimensions.Sa premiere parti est dediee aux blocs conformes, des fonctions speciales qui contribuent au developpement en ondes partielles des fonctions a quatre points dans les TCC. On montre que ces blocs admettent un developpement en coordonnees polaires dont les coecients se calculent par une recurrence. Les blocs conformes sont naturellement denis sur le plan complexe : on considere alors leur restriction a l'axe r eel, an de montrer qu'ils obeissent une equation dierentielle sur ce domaine, ce qui mene a un algorithme ecace pour calculer les blocs conformes et leurs derivees pour tout d. Quelques applications au programme de bootstrap sont developpees. La seconde partie de cette these examine les perturbations d'une TCC par des operateurs pertinents. On etudie de tels ots du groupe de renormalisation en utilisant la Methode de Troncature Conforme (MTC) de Yurov et Zamolodchikov, une methode numerique qui permet de faire des calculs non-perturbatifs en theorie quantique des champs. Deux theories derentes sont considerees : le boson libre avec un terme de masse, et la theorie 4. Pour le dernier cas, les resultats de la MTC mettent en evidence la brisure de symetrie Z2. Finalement, on developpe une methode pour reduire les erreurs de troncature en ajoutant des contre-termes a l'action \nue" de la MTC, suivant des travaux anterieurs en d = 2 dimensions. / This thesis investigates two aspects of Conformal Field Theories (CFTs) in d dimensions. Its rst part is devoted to conformal blocks, special functions that arise in the partial wave expansion of CFT four-point functions. We prove that these conformal blocks admit an expansion in terms of polar coordinates and show that the expansion coecients are determined by recursion relations. Conformal blocks are naturally dened on the complex plane: we study their restriction to the real line, and show that they obey a fourth-order dierential equation there. This ODE can be used to eciently compute conformal blocks and their derivatives in general d. Several applications to the conformal bootstrap program are mentioned. The second half of this thesis investigates RG ows that are dened by perturbing a CFT by a number of relevant operators. We study such ows using the Truncated Conformal Space Approach (TCSA) of Yurov and Zamolodchikov, a numerical method that allows for controlled computations in strongly coupled QFTs. Two dierent RG ows are considered: the free scalar feld deformed by a mass term, and 4 theory. The former is used as a benchmark, in order to compare numerical TCSA results to exact predictions. TCSA results for 4 theory display spontaneous Z2 symmetry breaking at strong coupling: we study the spectrum of this theory both in the Z2-broken and preserved phase, and we compare the critical exponents governing the phase transition to known values. In a separate chapter, we show how truncation errors can be reduced by adding suitable counterterms to the bare TCSA action, following earlier work in d = 2 dimensions.

La thèse, composée de trois parties, est consacrée à des problèmes physiques différents reliés à la Théorie Conforme des Champs (CFT) bidimensionnelle. La première partie s'intéresse aux propriétés de transport hors d'équilibre à travers une jonction de fils quantiques. Trois modèles y sont étudiés. Le premier décrit les fils par un champs bosonique libre compactifié vu comme la bosonisation du liquide de Luttinger d'électrons. La jonction des fils est modélisée par une condition limite assurant la diffusion non triviale des charges entre les fils. Associant la quantification canonique et l'intégrale fonctionnelle, on calcule exactement les fonctions de corrélation des courants dans l'état d'équilibre du modèle, mais aussi dans un état stationnaire hors d'équilibre, ainsi que la statistique complète de comptage pour les transferts de charge et d'énergie entre les fils maintenus en températures et potentiels différents. Les deux autres modèles d'une jonction de fils quantiques sont basés sur la théorie de Wess-Zumino-Witten (WZW). Dans le premier, la jonction est décrite par une "brane cyclique" et dans le deuxième, par une "brane coset". Les résultats dans le premier cas sont aussi complets que pour le champ libre, mais les charges y sont entièrement transmises d'un fils au suivant. Dans le deuxième cas, la diffusion des charges n'est pas triviale, mais le modèle se révèle difficile à résoudre. La deuxième partie de la thèse étudie les anomalies globales de jauge dans les modèles "coset" de CFT réalisés comme la théorie WZW jaugée. La classifications (presque) complète de telles anomalies, lesquelles rendent certains modèles coset inconsistants, est présentée. Elle emploie la classification des sous-algèbres des algèbres de Lie simples due à Dynkin. Finalement, la troisième partie de la thèse décrit la construction géométrique d'indice des familles d'opérateurs unitaires obtenues des projecteurs sur les bandes de valence d'un isolant topologique bidimensionnel invariant par renversement du temps. L'indice construit est relié d'un côté à la racine carrée de l'amplitude de Wess-Zumino d'une telle famille, et, de l'autre, il reproduit l'invariant de Kane-Mele de l'isolant. La dernière identification exige un argument complexe qui exploite une nouvelle anomalie de jauge pour les modèles WZW à bord. Les trois parties de la thèse emploient des outils géométriques de CFT assez semblables, permettant d'obtenir toute une série des résultats originaux. Cette unité de méthode, ainsi que le thème des anomalies, constituent le trait d'union entre les différents composants du manuscrit. / The thesis, consisting of three parts, is focusing on different physical problems that are related to two dimensional Conformal Field Theory (CFT).The first part deals with nonequilibrium transport properties across a junction of quantum wires. Three models are studied. The first one describes the wires by a free compactified bosonic field, seen as the bosonization of the Luttinger liquid of electrons. The junction of the wires is modeled by a boundary condition that ensures nontrivial scattering of the charges between the wires. Combining canonical quantization and functional integral, we compute exactly the current correlation functions in equilibrium, but also in a nonequilibrium stationary state, as well as the full counting statistics of charge and energy between the wires set at different temperatures and potentials. The two other models of quantum wire junction are based on Wess-Zumino-Witten theory (WZW). In the first one, the junction is described by a “cyclic brane” and in the second, by a “coset brane”. The results in the first case are as complete as for the free field, but the charges are fully transmitted from one wire to the next one. In the second case, the scattering is nontrivial, but the model turns out to be difficult to solve.The second part of the thesis studies the global gauge anomalies in “coset” models of CFT, realized as gauged WZW theories. The (almost) complete classification of such anomalies, that lead to some inconsistent coset models, is presented. It is based on Dynkin classification of subalgebras of simple Lie algebras.Finally, the third part of the thesis describes the geometric construction of index from unitary operator families obtained from valence band projectors of a two-dimensional time-reversal invariant topological insulator. The index is related on one hand to the square root of the Wess-Zumino amplitude of such a family, and, on the other hand, it reproduces the Kane-Mele invariant of the insulator. The last identification requires a nontrivial argument that uses a new gauge anomaly of WZW models with boundary.The three parts of the thesis use similar geometrical tool of CFT, that permits to obtain several original results. The unity in the method, as well as the topic of anomalies, builds a bridge between the different components of the manuscript.

Cette thèse est consacrée à l'étude des théories conformes des champs (CFTs) bidimensionelles et à leur interprétation géométrique, dans le cadre de la théorie bosonique des cordes. Après un premier chapitre introductif, nous construisons des théories conformes ayant pour espaces-cibles des quotients généraux de groupes compacts par des sous-groupes abéliens finis. Plusieurs choix de champs de fond antisymétriques sont possibles, correspondant du côté de la CFT à la torsion discrète. Dans le troisième chapitre, nous ajoutons des cordes ouvertes à ces constructions; nous étudions les états de bord, leur interprétation géométrique en termes de D-branes et montrons comment celles-ci sont stabilisées par le flux du champ de jauge. Le quatrième chapitre développe l'analyse de basse énergie, par le calcul à deux boucles de la fonction beta du champ de jauge, menant à des corrections à l'action de Born-Infeld. Il inclut aussi des resultats sur l'action de BI non-abélienne à cet ordre. Le dernier chapitre contient les conclusions et perspectives.

Cette thèse de doctorat porte sur l’étude de deux objets probabilistes, les mesures de chaos multiplicatif gaussien (GMC) et la théorie conforme des champs de Liouville (LCFT). Le GMC fut introduit par Kahane en 1985 et il s’agit aujourd’hui d’un objet extrêmement important en théorie des probabilités et en physique mathématique. Très récemment le GMC a été utilisé pour définir les fonctions de corrélation de la LCFT, une théorie qui est apparue pour la première fois en 1981 dans le célèbre article de Polyakov, “Quantum geometry of bosonic strings”. Grâce à ce lien établi entre GMC et LCFT, nous pouvons traduire les techniques de la théorie conforme des champs dans un langage probabiliste pour effectuer des calculs exacts sur les mesures de GMC. Ceci est précisément ce que nous développerons pour le GMC sur le cercle unité. Nous écrirons les équations BPZ qui fournissent des relations non triviales sur le GMC. Le résultat final est la densité de probabilité pour la masse totale de la mesure de GMC sur cercle unité ce qui résout une conjecture établie par Fyodorov et Bouchaud en 2008. Par ailleurs, il s'avère que des techniques similaires permettent également de traiter un autre cas, celui du GMC sur le segment unité, et nous obtiendrons de même des formules qui avaient été conjecturées indépendamment par Ostrovsky et par Fyodorov, Le Doussal, et Rosso en 2009. La dernière partie de cette thèse consiste en la construction de la LCFT sur un domaine possédant la topologie d’une couronne. Nous suivrons les méthodes introduites par David- Kupiainen-Rhodes-Vargas même si de nouvelles techniques seront requises car la couronne possède deux bords et un espace des modules non trivial. Nous donnerons également des preuves plus concises de certains résultats connus. / Throughout this PhD thesis we will study two probabilistic objects, Gaussian multiplicative chaos (GMC) measures and Liouville conformal field theory (LCFT). GMC measures were first introduced by Kahane in 1985 and have grown into an extremely important field of probability theory and mathematical physics. Very recently GMC has been used to give a probabilistic definition of the correlation functions of LCFT, a theory that first appeared in Polyakov’s 1981 seminal work, “Quantum geometry of bosonic strings”. Once the connection between GMC and LCFT is established, one can hope to translate the techniques of conformal field theory in a probabilistic framework to perform exact computations on the GMC measures. This is precisely what we develop for GMC on the unit circle. We write down the BPZ equations which lead to non-trivial relations on the GMC. Our final result is an exact probability density for the total mass of the GMC measure on the unit circle. This proves a conjecture of Fyodorov and Bouchaud stated in 2008. Furthermore, it turns out that the same techniques also work on a more difficult model, the GMC on the unit interval, and thus we also prove conjectures put forward independently by Ostrovsky and by Fyodorov, Le Doussal, and Rosso in 2009. The last part of this thesis deals with the construction of LCFT on a domain with the topology of an annulus. We follow the techniques introduced by David-Kupiainen- Rhodes-Vargas although novel ingredients are required as the annulus possesses two boundaries and a non-trivial moduli space. We also provide more direct proofs of known results.

Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique. / This thesis mainly deals with integrable quantum critical systems that exhibit peculiar features such as non-unitarity or non-compactness, through the technology of Bethe ansatz. These features arise in non-local statistical physics models such as percolation, but also in disordered systems for example. The manuscript both presents detailed studies of the continuum limit of finite-size lattice integrable models, and develops new techniques to study this correspondence. In a first part we study in great detail the continuum limit of non-unitary (and sometimes non-compact) super spin chains with orthosymplectic symmetry which is shown to be supersphere sigma models, by computing their spectrum from field theory, from the Bethe ansatz, and numerically. The non-unitarity allows for a spontaneous symmetry breaking usually forbidden by the Mermin-Wagner theorem. The fact that they are marginal perturbations of a Logarithmic Conformal Field Theory is particularly investigated. We also establish a precise correspondence between the spectrum and intersecting loops configurations, and derive new critical exponents for fully-packed trails, as well as their multiplicative logarithmic corrections. During this study we developed a new method to compute the excitation spectrum of a critical quantum spin chain from the Bethe ansatz, together with their logarithmic corrections, that is also applicable in presence of so-called ’strings’, and that avoids Wiener-Hopf and Non-Linear Integral Equations. In a second part we address the problem of the behavior of a spin chain in a magnetic field, and show that one can derive convergent series for several physical quantities such as the acquired magnetization or the critical exponents, whose coefficients can be efficiently and explicitely computed recursively using only algebraic manipulations. The structure of the recurrence relations permits to study generically the excitation spectrum content – moreover they are applicable even to some cases where the Bethe roots lie on a curve in the complex plane. It is our hope that the analytic continuation of such series might be helpful the study non-compact spin chains, for which we give some flavour. Besides, we show that the fluctuations within the arctic curve of the six-vertex model with domain-wall boundary conditions are captured by a Gaussian free field with space-dependent coupling constant that can be computed from the free energy of the periodic XXZ spin chain with an imaginary twist and in a magnetic field.

La réalisation expérimentale de la condensation de Bose-Einstein (BEC) a ouvert un nouveau champ d'investigation très fertile dans l'étude des atomes froids. En particulier, la possibilité de synthétiser des gaz de fermions piégés dans des réseaux optiques représente un développement de la plus haute importance pour la physique de la matière condensée. Ceci ouvre notamment sur la perspective d'étudier des phases quantiques exotiques stabilisées dans des systèmes d'électrons fortement corrélés.Récemment, les gaz atomiques d'alcalino-terreux ou d'ytterbium ont suscité un vif intérêt et ont été refroidis jusqu'à la dégénérescence quantique. La structure atomique particulière de ces systèmes leur confère de très hauts degrés de symétrie, grâce au découplage entre le spin nucléaire et le moment angulaire électronique. Une physique exotique conduisant à de multiple applications peut résulter de ces systèmes de hautes symétries qui ne peut être sondée que par les solides bases de la matière condensée.Dans cette thèse, on se propose d'étudier les propriétés physiques de basse énergie d'un gaz de fermions de type alcalino-terreux, piégé dans un réseau optique à une dimension. À une dimension, il est possible d'analyser les effets des interactions de manière non-perturbative par des approches de théorie des champs comme la bosonisation ou la théorie des champs conformes, et numériquement par le groupe de renormalisation de la matrice densité (DMRG). L'ensemble de ces outils sera notamment utilisé pour déterminer le diagramme de phase des gaz de fermions d'alcalino-terreux ou d'ytterbium à une dimension. / Experimental realization of Bose-Einstein condensate (BEC) opened a new and rich field of investigation for the study of the cold atoms. In particular, the possibility of creating trapped fermionic gases in optical lattices represent one of the most important development for the condensed matter physics. This open the outlook of studying exotic and stabilized quantum phases in strongly correlated systems of electrons.Recently, alkline-earth or ytterbuim atomic gases have given rise to great interest and have been cooled down up to quantum degenaracy. The specific atomic structure of these systems confer them very high degrees of symetry, thanks to the decoupling beetwin the nuclear spin and the electronic angular momentum. An exotic physics which is only probe thanks to the strong fundament of the condensed matter.In this thesis, we propose to study the physical properties at low energy of a alkaline-earth-like fermionic gas, trapped in a one dimensional optical lattice. In one dimension, we are able to analyse effects of interactions in a non-pertubative way with conformal field theory or bosonization, and numerically with Density Matrix Renormalization Group (DMRG) approach. All of these tools will be used to provide the phase diagram of these alkaline-earth-like fermionic gases in one dimension.

Cette thèse traite des applications de la Théorie des Cordes aux problèmes de la cosmologie et de la phénoménologie. En particulier, nous étudions des problèmes liés à la description de l'état initial de l'Univers, en utilisant les méthodes perturbatives de la Théorie des Cordes. Après une présentation des outils nécessaires, nous présentons une nouvelle symétrie de dégénérescence spectrale entre les états massifs bosoniques et fermioniques (appelée symétrie MSDS), se trouvant aux points particuliers de l'espace des modules. Nous étudions les déformations marginales des vides MSDS et mettons en évidence leur interprétation thermique, et leur lien avec la résolution des divergences de Hagedorn de la thermodynamique des cordes. L'évolution cosmologique d'un vide thermique bidimensionnel est présentée. On démontre que la prise en compte des tous les degrés de liberté au niveau des cordes mène à l'absence des singularités gravitationnelles, dans un traitement entièrement perturbatif.

Le but de cette thèse a été l'étude de quelques représentants des modèles sigma en deux dimensions invariants conformes et avec symétrie continue qui sortent du cadre traditionnel, établie par la recherche des dernières décennies dans le domaine des théories conformes, des modèles sigma de Wess-Zumino-Witten ou des modèles gaussiens. Les modèles sigma sur des superespaces symétriques, définis par une action métrique standard, offrent de tels exemples. La difficulté de résoudre ces modèles sigma est relié au fait qu'ils ne possèdent pas de symétrie de Kac-Moody, qui est normalement nécessaire pour intégrer les théories conformes nongaussiennes avec symétrie continue. Dans cette thèse on considère les modèles sigma sur les supersphères S^(2S+1/2S) et sur les superespaces projectifs). Les deux modèles continus admettent une discrétisation par un gaz de boucles denses qui s'intersectent et dont l'algèbre des matrices de transfert est une algèbre de type Brauer. La stratégie principale qu'on a adoptée dans la recherche des résultats exacts sur ces modèles sigma est l'étude détaillée des symétries de la théorie continue, d'un coté, et du modèle discret, de l'autre. Cette analyse permet de faire le pont entre le comportement du modèle discret et la théorie continue. L'analyse détaillée des symétries discrètes - en particulier la structure des blocs de l'algèbre de Brauer - combinée à des calculs perturbatifs donne lieu à une proposition pour, selon les cas, le spectre partiel ou complet de la théorie conforme. Une dualité exacte du type couplage faible/couplage fort est également conjecturée dans les cas des modèles sigma sur les supersphères.

Nous présentons dans cette thèse deux applications de la correspondance AdS/CFT. La première est l'analyse des propriétés de transport des modes fermioniques dans les théories des champs fortement couplées. Nous étudions en particulier les propriétés de la constante de diffusion du phonino dans N=4 SYM à densité nulle ou finie. Nous trouvons que la constante de diffusion dépend du potentiel chimique et par conséquent qu'elle n'a pas une propriété d'universalité similaire à celle de la viscosité de cisaillement. La deuxième application traite du comportement de l'entropie d'intrication dans des théories qui contiennent des degrés de liberté massifs. Pour identifier les contributions de la masse à l'entropie d'intrication nous l'évaluons dans un système comprenant des branes de saveur et nous identifions certains des termes dépendants de la masse. Nous trouvons que le coefficient du terme logarithmique est différent de celui calculé dans la théorie des champs libre, un résultat qui est qualitativement en accord avec de résultats holographique antérieurs. De plus nous calculons d'autres termes, prédits dans la théorie des champs, mais qui n'ont pas été identifiés auparavant dans un système holographique.