Le sujet de cette thèse est la cryptographie et son interconnexions avec la théorie des codes. En particulier, on utilise des techniques issues de la théorie des codes pour construire et analyser des protocoles cryptographiques avec des propriétés nouvelles ou plus avancées. On se concentre d'abord sur le partage de secret ou secret sharing, un sujet important avec de nombreuses applications pour la Cryptographie actuelle. Dans la variante à laquelle on s'intéresse, un schéma de partage de secret reçoit en entrée un élément secret, et renvoie en sortie n parts de telle façon que chaque ensemble de parts de taille suffisamment petite ne donne aucune information sur le secret (confidentialité), tandis que chaque ensemble de taille suffisamment grande permet de reconstituer le secret (reconstruction). Un schéma de partage de secret peut donc être vu comme une solution à un problème de communication où un émetteur Alice est connectée avec un destinataire Bob par n canaux distincts, dont certains sont contrôlés par un adversaire Ève. Alice peut utiliser un schéma de partage de secret pour communiquer un message secret a Bob de telle façon qu'Ève n'apprenne aucune information sur le secret en lisant les données transmises sur les canaux qu'elle contrôle, tandis que Bob peut recevoir le message même si Ève bloque ces dits canaux. Notre contributions au partage de secret concernent ses liens avec la théorie des codes ; comme les deux domaines partagent un même but (récupérer des données à partir d'informations partielles), ce n'est pas surprenant qu'ils aient connu une interaction longue et fertile. Plus précisément, Massey commença une analyse fructueuse à propos de la construction et de l'étude d'un schéma de partage de secret à partir d'un code correcteur. L'inconvénient de cette analyse est que la confidentialité d'un schéma de partage de secret est estimé grâce au dual du code sous-jacent ; cela peut être problématique vu qu'il pourrait ne pas être possible d'obtenir des codes avec des propriétés souhaitables qui aient aussi un bon code dual. On contourne ce problème en établissant une connexion nouvelle entre les deux domaines, telle que la confidentialité d'un schéma de partage de secrets n'est plus contrôlée par le dual du code sous-jacent. Cela nous permet d'exploiter complètement le potentiel de certaines constructions récentes de codes pour obtenir des meilleurs schémas; on illustre ceci avec deux applications. Premièrement, en utilisant des codes avec codage et décodage en temps linéaire on obtient une famille de schémas de partage de secret où le partage (calcul des parts issues du secret) tout comme la reconstruction peuvent s'effectuer en temps linéaire ; pour des seuils de confidentialité et de reconstruction croissants, ceci restait jusqu'à présent un problème ouvert. Deuxièmement, on utilise des codes avec décodage en liste pour construire des schémas de partage de secret robustes, c'est-à-dire des schémas qui peuvent reconstituer le secret même si certaines parts sont incorrectes, sauf avec une petite probabilité d'erreur. etc... / The topic of this dissertation is Cryptography, and its connections with Coding Theory. Concretely, we make use of techniques from Coding Theory to construct and analyze cryptographic protocols with new and/or enhanced properties. We first focus on Secret Sharing, an important topic with many applications to modern Cryptography, which also forms the common ground for most of the concepts discussed in this thesis. In the flavor we are interested in, a secret-sharing scheme takes as input a secret value, and produces as output n shares in such a way that small enough sets of shares yield no information at all on the secret (privacy), while large enough sets of shares allow to recover the secret (reconstruction). A secret-sharing scheme can thus be seen as a solution to a secure communication problem where a sender Alice is connected to a receiver Bob via $n$ distinct channels, some of which are controlled by an adversary Eve. Alice can use a secret-sharing scheme to communicate a secret message to Bob in such a way that Eve learns no information on the message by eavesdropping on the channels she controls, while Bob can receive the message even if Eve blocks the channels under her control. Our contributions to Secret Sharing concern its connection with Coding Theory; since the two fields share the goal of recovering data from incomplete information, it is not surprising that Secret Sharing and Coding Theory have known a long and fruitful interplay. In particular, Massey initiated a very successful analysis on how to construct and study secret-sharing schemes from error-correcting codes. The downside of this analysis is that the privacy of secret-sharing schemes is estimated in terms of the dual of the underlying code; this can be problematic as it might not be possible to obtain codes with desirable properties that have good duals as well. We circumvent this problem by establishing a new connection between the two fields, where the privacy of secret-sharing schemes is no longer controlled by the dual of the underlying code. This allows us to fully harness the potential of recent code constructions to obtain improved schemes; we exemplify this by means of two applications. First, by making use of linear-time encodable and decodable codes we obtain a family of secret-sharing schemes where both the sharing (computation of the shares from the secret) and the reconstruction can be performed in linear time; for growing privacy and reconstruction thresholds, this was an hitherto open problem. Second, we make use of list-decodable codes to construct robust secret-sharing schemes, i.e., schemes that can recover the secret even if some of the shares are incorrect, except with a small error probability. The family we present optimizes the trade-off between the extra data that needs to be appended to the share to achieve robustness and the error probability in the reconstruction, reaching the best possible value. etc...

Cette thèse porte sur l'étude de certains aspects des codes correcteurs d'erreurs et leurs applications à la sécurité de l'information. Plus spécifiquement, on s'est intéressé aux problèmes de décodage complet et de décodage en liste. Une nouvelle notion de codes a été introduite en liant une famille de codes et un algorithme de décodage, mettant ainsi en évidence les codes pour lesquels le décodage complet est réalisable en un temps polynomial. On présente ensuite une reformulation de l'algorithme de Koetter et Vardy pour le décodage en liste pour les codes alternant et analysons sa complexité. Cette méthode a permit de présenter une réduction de la taille de la clé du cryptosystème de McEliece, allant jusqu'à 21\% pour la variante dyadique. On s'est également intéressé à la stéganographie basée sur les codes. On propose différentes bornes caractérisant les stégosystèmes utilisant des codes linéaires, de façon à assurer la solvabilité du problème d'insertion avec des positions verrouillées. Une de ces bornes permet d'affirmer que plus le rang MDS du code utilisé est bas, plus ce code permettra de concevoir un stégosystème efficace. On montre également que les codes non-linéaires systématiques sont également de bons candidats. Enfin, on reformule le problème d'insertion bornée avec des positions verrouillées rendant ainsi l'insertion toujours possible, et on démontre que les codes de Hamming binaires permettent de satisfaire à toutes les contraintes exhibées.

Cette thèse porte sur l'étude de certains aspects des codes correcteurs d'erreurs et leurs applications à la sécurité de l'information. Plus spécifiquement, on s'est intéressé aux problèmes de décodage complet et de décodage en liste. Une nouvelle notion de codes a été introduite en liant une famille de codes et un algorithme de décodage, mettant ainsi en évidence les codes pour lesquels le décodage complet est réalisable en un temps polynomial. On présente ensuite une reformulation de l'algorithme de Koetter et Vardy pour le décodage en liste pour les codes alternant et analysons sa complexité. Cette méthode a permit de présenter une réduction de la taille de la clé du cryptosystème de McEliece, allant jusqu'à 21\% pour la variante dyadique. On s'est également intéressé à la stéganographie basée sur les codes. On propose différentes bornes caractérisant les stégosystèmes utilisant des codes linéaires, de façon à assurer la solvabilité du problème d'insertion avec des positions verrouillées. Une de ces bornes permet d'affirmer que plus le rang MDS du code utilisé est bas, plus ce code permettra de concevoir un stégosystème efficace. On montre également que les codes non-linéaires systématiques sont également de bons candidats. Enfin, on reformule le problème d'insertion bornée avec des positions verrouillées rendant ainsi l'insertion toujours possible, et on démontre que les codes de Hamming binaires permettent de satisfaire à toutes les contraintes exhibées.

La cryptographie basée sur les codes n'est pas largement déployée dans la pratique. Principalement à cause de son inconvénient majeur: des tailles de clés énormes. Dans cette thèse, nous proposons deux approches différentes pour résoudre ce problème. Le premier utilise des codes algébriques, présentant un moyen de construire des codes de Goppa qui admettent une représentation compacte. Ce sont les Codes de Goppa p-adiques. Nous montrons comment construire ces codes pour instancier des systèmes de chiffrement à clé publique, comment étendre cette approche pour instancier un schéma de signature et, enfin, comment généraliser cet approche pour définir des codes de caractéristique plus grande au égale à deux. En résumé, nous avons réussi à produire des clés très compact basé sur la renommée famille de codes de Goppa. Bien qu'efficace, codes de Goppa p-adiques ont une propriété non souhaitable: une forte structure algébrique. Cela nous amène à notre deuxième approche, en utilisant des codes LDPC avec densité augmentée, ou tout simplement des codes MDPC. Ce sont des codes basés sur des graphes, qui sont libres de structure algébrique. Il est très raisonnable de supposer que les codes MDPC sont distinguable seulement en trouvant des mots de code de poids faible dans son dual. Ceci constitue un avantage important non seulement par rapport à tous les autres variantes du système de McEliece à clés compactes, mais aussi en ce qui concerne la version classique basée sur les codes de Goppa binaires. Ici, les clés compactes sont obtenus en utilisant une structure quasi-cyclique.

La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive. / Quantum information theory has developed tremendously over the past two decades, with analogues and extensions of the source coding and channel coding theorems for unidirectional communication. Meanwhile, for interactive communication, a quantum analogue of communication complexity has been developed, for which quantum protocols can provide exponential savings over the best possible classical protocols for some classical tasks. However, quantum information is much more sensitive to noise than classical information. It is therefore essential to make the best use possible of quantum resources. In this thesis, we take an information-theoretic point of view on interactive quantum protocols and study the interactive analogues of source compression and noisy channel coding. The setting we consider is that of quantum communication complexity: Alice and Bob want to perform some joint quantum computation while minimizing the required amount of communication. Local computation is deemed free. Our results are split into three distinct chapters, and these are organized in such a way that each can be read independently. Given its central role in the context of interactive compression, we devote a chapter to the task of quantum state redistribution. In particular, we prove lower bounds on its communication cost that are robust in the context of interactive communication. We also prove one-shot, one-message achievability bounds. In a subsequent chapter, we define a new, fully quantum notion of information cost for interactive protocols and a corresponding notion of information complexity for bipartite tasks. It characterizes how much quantum information, rather than quantum communication, Alice and Bob must exchange in order to implement a given bipartite task. We prove many structural properties for these quantities, and provide an operational interpretation for quantum information complexity as the amortized quantum communication complexity. In the special case of classical inputs, we provide an alternate characterization of information cost that provides an answer to the following question about quantum protocols: what is the cost of forgetting classical information? Two applications are presented: the first general multi-round direct-sum theorem for quantum protocols, and a tight lower bound, up to polylogarithmic terms, for the bounded-round quantum communication complexity of the disjointness function. In a final chapter, we initiate the study of the interactive quantum capacity of noisy channels. Since techniques to distribute entanglement are well-studied, we focus on a model with perfect pre-shared entanglement and noisy classical communication. We show that even in the harder setting of adversarial errors, we can tolerate a provably maximal error rate of one half minus epsilon, for an arbitrarily small epsilon greater than zero, at positive communication rates. It then follows that random noise channels with positive capacity for unidirectional transmission also have positive interactive quantum capacity. We conclude with a discussion of our results and further research directions in interactive quantum information theory.