Cette thèse est constituée de deux volets principaux, le premier volet est consacré à l'étude des opérateurs de Hankel de symboles antiméromorphes, plus précisément, on s'intéresse à la possibilité d'obtenir des opérateurs de Hankel bornés (resp. compacts, dans les classes de Schatten) dont les symboles ne sont pas nécessairement des polynômes.Nous allons donner dans un premier temps, des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'opérateur H_{f} définit sur une couronne dans le plan complexe, soit borné (resp. compact, dans la p-ième classe de Schatten) et nous allons traiter des exemples sur les quels nous montrons que les opérateurs de Hankel H_{f} et H_{Uf} sont bornés simultanément (resp. compacts, dans les classes de Schatten) si et seulement si f est un polynôme de Laurent et les conditions établies portent sur son L-degré.Le deuxième volet traite les propriétés spectrales en commun des opérateurs A et B vérifiant l'équation A²=ABA et B²=BAB. Nous allons généraliser les résultats de Christopher Schmoeger sur l'égalité des différents spectres de ces opérateurs, ensuite nous allons élargir le champ d'étude de ces opérateurs dans la direction de la théorie spectrale locale (Propriété de l'extension unique, décomposabilité...). / This thesis consists of two main parts, the first part is devoted to the study of Hankel operators of antiméromorphes symbols, more precisely, we are interested in the possibility of obtaining Hankel operators bounded (resp. compact, in Schatten classes) which the symbols are not necessarily polynomials.We will give in first step, the necessary and sufficient conditions for the operator H_ {f} defined on a ring in the complex plane is bounded (resp. compact in the p-th Schatten class) and we treat examples on which we show that the Hankel operators H_ {f} and H_ {Uf} are simultaneously bounded (resp. compact, in the Schatten classes) if and only if f is a Laurent polynomial and conditions set relate to its L-degree.The second part deals with common spectral properties of operators A and B satisfying the equation A ² = ABA and B ² = BAB. We will generalize the results of Christopher Schmoeger on equality different spectra of these operators, then we will expand the field of study of these operators in the direction of the local spectral theory (SVEP, Decomposability).

Ce travail présente et valide une théorie nonlocale nouvelle et généralisée, de la propagation acoustique dans les milieux poreux à structure rigide, saturés par un fluide viscothermique. Cette théorie linéaire permet de dépasser les limites de la théorie classique basée sur la théorie de l’homogénéisation. Elle prend en compte non seulement les phénomènes de dispersion temporelle, mais aussi ceux de dispersion spatiale. Dans le cadre de la nouvelle approche, une nouvelle procédure d’homogénéisation est proposée, qui permet de trouver les propriétés acoustiques à l’échelle macroscopique, en résolvant deux problèmes d’action-réponse indépendants, posés à l’échelle microscopique de Navier-Stokes-Fourier. Contrairement à la méthode classique d’homogénéisation, aucune contrainte de séparation d’échelle n’est introduite. En l’absence de structure solide, la procédure redonne l’équation de dispersion de Kirchhoff-Langevin, qui décrit la propagation des ondes longitudinales dans les fluides viscothermiques. La nouvelle théorie et procédure d’homogénéisation nonlocale sont validées dans trois cas, portant sur des microgéométries significativement différentes. Dans le cas simple d’un tube circulaire rempli par un fluide viscothermique, on montre que les nombres d’ondes et les impédances prédits par la théorie nonlocale, coïncident avec ceux de la solution exacte de Kirchhoff, connue depuis longtemps. Au contraire, les résultats issus de la théorie locale (celle de Zwikker et Kosten, découlant de la théorie classique d’homogénéisation) ne donnent que le mode le plus attenué, et encore, seulement avec le petit désaccord existant entre la solution simplifiée de Zwikker et Kosten et celle exacte de Kirchhoff. Dans le cas où le milieu poreux est constitué d’un réseau carré de cylindres rigides parallèles, plongés dans le fluide, la propagation étant regardée dans une direction transverse, la vitesse de phase du mode le plus atténué peut être calculée en fonction de la fréquence en suivant les approches locale et nonlocale, résolues au moyen de simulations numériques par la méthode des Eléments Finis. Elle peut être calculée d’autre part par une méthode complètement différente et quasi-exacte, de diffusion multiple prenant en compte les effets viscothermiques. Ce dernier résultat quasi-exact montre un accord remarquable avec celui obtenu par la théorie nonlocale, sans restriction de longueur d’onde. Avec celui de la théorie locale, l’accord ne se produit que tant que la longueur d’onde reste assez grande. Enfin, dans le cas où la microgéométrie, formée de portions de conduits droits, est celle de résonateurs de Helmholtz placés en dérivation sur un guide principal, on peut, en appliquant la nouvelle procédure d’homogénéisation de la théorie nonlocale, et en modélisant les champs par des ondes planes aller retour dans chacune des portions droites, calculer les deux fonctions de densité et compressibilité effectives du milieu dans l’espace de Fourier. Sans faire d’erreur appréciable les ondes planes aller-retour en question peuvent être décrites par les formules Zwikker et Kosten. Disposant ainsi des fonctions densité et compressibilité effectives, le nombre d’onde du mode le plus atténué peut être calculé en résolvant une équation de dispersion établie via la théorie nonlocale. Ce nombre d’onde peut être indépendamment calculé d’une manière plus classique pour les ondes de Bloch, sans passer par la théorie nonlocale, mais en faisant les mêmes simplifications consistant à introduire dans les différentes portions, des ondes planes décrites par les formules Zwikker et Kosten. On observe alors, encore, un accord remarquable entre le nombre d’onde calculé classiquement, et le nombre d’onde calculé via la procédure nonlocale : le comportement résonnant exact est reproduit par la théorie nonlocale. Il s’interprète comme un simple effet de la dispersion spatiale, montrant la puissance de la nouvelle approche. / This work is dedicated to present and validate a new and generalized macroscopic nonlocal theory of sound propagation in rigid-framed porous media saturated with a viscothermal fluid. This theory allows to go beyond the limits of the classical local theory and within the limits of linear theory, to take not only temporal dispersion, but also spatial dispersion into account. In the framework of the new approach, a homogenization procedure is proposed to upscale the dynamics of sound propagation from Navier-Stokes-Fourier scale to the volume-average scale, through solving two independent microscopic action-response problems. Contrary to the classical method of homogenization, there is no length-constraint to be considered alongside of the development of the new method, thus, there is no frequency limit for the medium effective properties to be valid. In absence of solid matrix, this procedure leads to Kirchhoff-Langevin’s dispersion equation for sound propagation in viscothermal fluids. The new theory and upscaling procedure are validated in three cases corresponding to three different periodic microgeometries of the porous structure. Employing a semi-analytical method in the simple case of cylindrical circular tubes filled with a viscothermal fluid, it is found that the wavenumbers and impedances predicted by nonlocal theory match with those of the long-known Kirchhoff’s exact solution, while the results by local theory (Zwikker and Kosten’s) yield only the wavenumber of the least attenuated mode, in addition, with a small discrepancy compared to Kirchhoff’s. In the case where the porous medium is made of a 2D square network of cylindrical solid inclusions, the frequency-dependent phase velocities of the least attenuated mode are computed based on the local and nonlocal approaches, by using direct Finite Element numerical simulations. The phase velocity of the least attenuated Bloch wave computed through a completely different quasi-exact multiple scattering method taking into account the viscothermal effects, shows a remarkable agreement with those obtained by the nonlocal theory in a wide frequency range. When the microgeometry is in the form of daisy chained Helmholtz resonators, using the upscaling procedure in nonlocal theory and a plane wave modelling lead to two effective density and bulk modulus functions in Fourier space. In the framework of the new upscaling procedure, Zwikker and Kosten’s equations governing the pressure and velocity fields’ dynamics averaged over the crosssections of the different parts of Helmholtz resonators, are employed in order to coarse-grain them to the scale of a periodic cell containing one resonator. The least attenuated wavenumber of the medium is obtained through a dispersion equation established via nonlocal theory, while an analytical modelling is performed, independently, to obtain the least attenuated Bloch mode propagating in the medium, in a frequency range where the resonance phenomena can be observed. The results corresponding to these two different methods show that not only the Bloch wave modelling, but also, especially, the modelling based on the new theory can describe the resonance phenomena originating from the spatial dispersion effects present in the macroscopic dynamics of the matarial.