Toute théorie des champs devient conforme aux points fixes du groupe de renormalisation de Wilson. Face aux échecs de la méthode perturbatrice pour certains modèles quantiques à fort couplage dans l'extrême infrarouge ou ultraviolet, les symétries et le développement en produits d'opérateurs de ces théories conformes deviennent des outils suffisamment puissants à la résolution analytique des fonctions de corrélation à des constantes près. Ces constantes, similaires à des mesures du couplage entre les opérateurs, peuvent être déterminées par différentes procédures comme le Bootstrap conforme numérique. Des contraintes unitaires peuvent aussi être appliquées sur ces constantes et indirectement sur la dimension d'échelle par l'usage de la condition de positivité de Wightman dans une signature lorentzienne. Cette condition retranscrit l'inégalité de la norme d'un état dans le domaine d'Hilbert des opérateurs étendus. Dans ce mémoire, la positivité de Wightman sera étudiée en théorie conforme, afin de poser des contraintes sur les fonctions de corrélation, et ainsi obtenir indirectement, des informations unitaires sur les paramètres qui les composent. / Every quantum field theory turn eventually into a conformal theory at the fixed points of the Wilson renormalization group. Given the failure of the perturbative approach for some quantum models with very large coupling at low or high energy, symmetries and the operator product expansion of these conformal theories turn out to be powerful tools to analytically solve correlation functions up to constants. These constants, similar to coupling strengths between operators, can be determined with different techniques such as the numerical conformal Bootstrap. Unitarity conditions can be applied on these constants and the scaling dimension using Wightman unitarity condition in a lorentzian signature. This condition express the inequality of the norm of state in the Hilbert space of smeared fields. In this master thesis, Wightman unitarity will be studied in conformal field theory, in order to constrain correlation functions and obtain unitarity informations on their parameters.

Toute théorie des champs devient conforme aux points fixes du groupe de renormalisation de Wilson. Face aux échecs de la méthode perturbatrice pour certains modèles quantiques à fort couplage dans l'extrême infrarouge ou ultraviolet, les symétries et le développement en produits d'opérateurs de ces théories conformes deviennent des outils suffisamment puissants à la résolution analytique des fonctions de corrélation à des constantes près. Ces constantes, similaires à des mesures du couplage entre les opérateurs, peuvent être déterminées par différentes procédures comme le Bootstrap conforme numérique. Des contraintes unitaires peuvent aussi être appliquées sur ces constantes et indirectement sur la dimension d'échelle par l'usage de la condition de positivité de Wightman dans une signature lorentzienne. Cette condition retranscrit l'inégalité de la norme d'un état dans le domaine d'Hilbert des opérateurs étendus. Dans ce mémoire, la positivité de Wightman sera étudiée en théorie conforme, afin de poser des contraintes sur les fonctions de corrélation, et ainsi obtenir indirectement, des informations unitaires sur les paramètres qui les composent. / Every quantum field theory turn eventually into a conformal theory at the fixed points of the Wilson renormalization group. Given the failure of the perturbative approach for some quantum models with very large coupling at low or high energy, symmetries and the operator product expansion of these conformal theories turn out to be powerful tools to analytically solve correlation functions up to constants. These constants, similar to coupling strengths between operators, can be determined with different techniques such as the numerical conformal Bootstrap. Unitarity conditions can be applied on these constants and the scaling dimension using Wightman unitarity condition in a lorentzian signature. This condition express the inequality of the norm of state in the Hilbert space of smeared fields. In this master thesis, Wightman unitarity will be studied in conformal field theory, in order to constrain correlation functions and obtain unitarity informations on their parameters.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2022-2023. / La théorie quantique des champs est un cadre théorique important pour la physique des particules moderne. Ses prédictions sont parmi les plus précises de toute la physique. Par contre, l'approche standard à la théorie quantique des champs consiste à utiliser la théorie des perturbations pour évaluer des fonctions de corrélation, qui sont les quantités mesurables de la théorie quantique des champs. Ce stratagème n'est pas toujours valide puisqu'elle présume que les constantes de couplage du système étudié sont faibles. Certains systèmes ont de grandes constantes de couplage et ne peuvent être étudiés avec la théorie des perturbations. Ce défaut a mené et continue de mener beaucoup de physiciens à chercher des approches non-perturbatrices à la théorie quantique des champs. Le groupe de renormalisation établit un lien entre les différentes théories quantiques des champs, qui diffèrent par leurs constantes de couplage. Il suggère aussi l'existence de théories quantiques des champs qui sont localement invariantes d'échelle - les théories conformes des champs. Le groupe de symétries élargi des théories conformes des champs les contraint au point qu'elles peuvent être résolues exactement. Les fonctions de corrélation à deux et à trois points sont complètement fixées par la symétrie conforme et le développement du produit d'opérateurs permet de réduire une fonction de corrélation à quatre points ou plus en une somme de fonctions de corrélation à moins de points. Peu de résultats analytiques sont connus pour les théories conformes des champs, surtout dans l'espace de plongement. L'objectif final de notre recherche est de développer une technique pour évaluer des fonctions de corrélation à partir de l'espace de plongement, et ce, en traitant toutes les représentations irréductibles de l'algèbre de Lorentz de la même façon peu importe le nombre de dimensions d'espace-temps. Pour ce faire, nous adaptons une méthode connue pour les fonctions de corrélation de champs scalaires à des fonctions de corrélation de champs quelconques par le biais d'une nouvelle technique, la scalairisation. Nous avons essayé d'utiliser la scalairisation pour trouver un ensemble de variables qui diagonalise un ensemble complet d'opérateurs de Casimir qui commutent afin de faciliter de futurs calculs. / Quantum field theory is an important framework for modern particle physics. Its predictions are among the most accurate in all of physics. However, the standard approach to quantum field theory is to use perturbation theory in order to evaluate correlation functions, which are the measurable quantities of quantum field theory. This strategy is not always valid because it relies on the theory's coupling constants being small. Some systems' coupling constants are large, so they can't be studied through the lens of perturbation theory. This flaw leads many physicists to look for non-perturbative approaches to quantum field theory. The renormalization group establishes a connection between different quantum field theories, which are parameterized by their coupling constants. It also suggests the existence of quantum field theories that are invariant under local dilations - conformal field theories. Conformal field theories' symmetries constrain them to such an extent that they can be solved exactly. Two-point and three-point correlation functions are completely fixed by conformal symmetry, and the operator product expansion equates a correlation function with four or more points to a linear combination of correlation functions with fewer points. Few analytical results have been obtained in conformal field theory, especially in the embedding space. Our research's end goal is to develop a method to evaluate correlation functions in the embedding space in a way that treats every irreducible representation of the Lorentz algebra homogeneously, regardless of the number of spacetime dimensions. For this purpose, we generalized a known method to evaluate correlation functions of scalar fields to more general correlation functions by using a new technique – scalarization. We tried to use scalarization to find a set of variables that diagonalize a complete set of commuting Casimir operators in order to ease future calculations.

La théorie conforme des champs (en anglais, CFT) joue un rôle central dans la physique théorique moderne. L'étude des CFT débouche sur une compréhension profonde de la théorie des cordes et de la physique de la matière condensée. Dans une CFT, les fonctions de corrélation sont des ingrédients essentiels pour le calcul des observables physiques. En raison de l'existence du développement en produit d'opérateurs (OPE), les fonctions de corrélation conformes peuvent être séparées en parties dynamiques, qui constituent les coefficients de l'OPE ainsi que les dimensions conformes, et en parties cinématiques, appelées les blocs conformes, qui sont complètement fixées par la symétrie conforme. Depuis que le bootstrap conforme a été ravivé en 2008, plusieurs techniques ont été développées pour calculer les blocs conformes à quatre points au cours de la dernière décennie. Contrairement aux blocs à quatre points, les blocs conformes à plus de quatre points, qui sont notoirement difficiles à calculer, n'ont pas encore été étudiés en détail, bien que ces derniers soient utiles pour la mise en œuvre du bootstrap conforme à plusieurs points, tout comme pour l'étude des diagrammes de Witten dans l'espace AdS. Dans cette thèse, en utilisant l'OPE de l'espace de plongement, nous obtenons des expressions pour les blocs conformes scalaires à M points avec des échanges scalaires dans la configuration en peigne, et pour les ceux qui ont six et sept points avec des échanges scalaires dans les configurations en flocon de neige et en flocon de neige étendu. De plus, nous proposons un ensemble de règles de type Feynman pour écrire directement une forme explicite pour tout bloc conforme global en une et deux dimensions. En nous basant sur l'OPE de l'espace de position, nous prouvons les règles de type Feynman par construction. Enfin, après avoir discuté des propriétés de symétrie des blocs conformes, nous développons une méthode systématique pour écrire les équations du bootstrap pour les fonctions de corrélation à plusieurs points. / Conformal field theories (CFTs) play a central role in modern theoretical physics. The study of CFTs leads to a deep understanding of both string theory and condensed matter physics. In a CFT, correlation functions are essential ingredients for the computation of physical observables. Due to the existence of the operator product expansion (OPE), conformal correlation functions can be separated into their dynamical parts, which constitute of the OPE coefficients as well as the conformal dimensions, and their kinematic parts, dubbed the conformal blocks, which are completely fixed by conformal symmetry. Since the conformal bootstrap was revived in 2008, several techniques have been developed to compute the four-point conformal blocks during the last decade. In contrast to the four-point blocks, conformal blocks with more than four points, which are notoriously difficult to compute, have not been studied in great detail, although these higher-point conformal blocks are useful for the implementation of higher-point conformal bootstrap as well as the study of AdS Witten diagrams. In this thesis, by using the embedding space OPE, we obtain expressions for the scalar M-point conformal blocks with scalar exchanges in the comb configuration as well as scalar six- and seven-point conformal blocks with scalar exchanges in the snowflake and extended snowflake configurations. Moreover, we propose a set of Feynman-like rules to directly write down an explicit form for any global conformal block in one and two dimensions. Based on the position space OPE, we prove the Feynman-like rules by construction. Finally, after discussing the symmetry properties of the conformal blocks, we develop a systematical way to write down the bootstrap equations for higher-point correlation functions.

Titre de l'écran-titre (visionné le 29 février 2024) / La théorie quantique des champs (QFT), née de la combinaison entre la mécanique quantique et de la relativité restreinte, est aujourd'hui l'approche la plus fondamentale utilisée en physique théorique. Les théories conformes des champs (CFTs) sont des cas particuliers de QFTs qui possèdent des symétries conformes supplémentaires qui sont très intéressantes puisqu'elles nous permettent de résoudre des CFTs sans avoir recours à leur lagrangien. En effet, elles permettent de fixer complètement la forme des fonctions de corrélation à 2 et 3 points. Pour les fonctions de corrélations à 4 points et plus, le développement en produit d'opérateurs (OPE) est l'un des outils les plus importants, qui nous permet de réécrire le produit de deux champs en une somme d'un champ sur lequel s'applique un opérateur différentiel. L'OPE nous permet de réduire les fonctions de corrélation à plusieurs points en une somme de fonctions de corrélation plus petites dont nous connaissons la forme. Cependant, l'opérateur différentiel apparaissant dans l'OPE est plus facilement utilisable dans l'espace de plongement, qui est un espace à d+2 dimensions, dans lequel l'algèbre conforme vit naturellement et qui simplifie grandement les calculs impliquant l'OPE. Pourtant, il existe peu de résultats analytiques utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement pour calculer les fonctions de corrélations à 4 points non scalaires. Le but de mon projet est de calculer les fonctions de corrélation à 3 points en utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement, afin de mieux comprendre la base de l'OPE dans l'espace de plongement pour éventuellement calculer les fonctions de corrélations à 4 points. Nous avons alors trouvé que les fonctions de corrélations à 3 points s'écrivent comme une somme de fonctions de Gegenbauer, ce qui était effectivement ce à quoi on s'attendait. Cela est la première étape pour trouver la meilleure base de l'OPE pour les fonctions de corrélation à 3 points qui nous permettrait de diagonaliser un ensemble complet d'opérateurs qui commutent puis d'éventuellement obtenir une base d'OPE pour toutes les fonctions de corrélation de théories conformes des champs. / Quantum field theory (QFT), born from the combination of quantum mechanics and special relativity, is today the most fundamental approach used in theoretical physics. Conformal field theories (CFTs) are special cases of QFTs which have additional conformal symmetries which are very interesting since they allow us to solve CFTs without resorting to their Lagrangian. Indeed, they make it possible to completely fix the form of the correlation functions at 2 and 3 points. For correlation functions with 4 points and more, operator product expansion (OPE) is one of the most important tools, which allows us to rewrite the product of two fields into a sum of a field over which applies a differential operator. OPE allows us to reduce multipoint correlation functions to a sum of smaller correlation functions whose form we know. However, the differential operator appearing in the OPE is more easily usable in the embedding space, which is a (d + 2)-dimensional space, in which conformal algebra naturally lives and which greatly simplifies calculations involving the OPE. However, there are few analytical results using the OPE directly in the embedding space to compute nonscalar 4-point correlation functions. The goal of my project is to compute the 3-point correlation functions using the OPE directly in the embedding space, in order to better understand the basis of the OPE in the embedding space to eventually compute the 4-point correlation functions. We have found that the 3-point correlation functions are expressible as a sum of Gegenbauer functions, which was indeed what we expected. This is the first step in finding the best basis of the OPE for the 3-point correlation functions which would allow us to diagonalize a complete set of commuting operators and then eventually obtain a basis of the OPE for all the functions of correlation of conformal field theories.

Ma thèse s'inscrit dans le cadre de l'unification des interactions fondamentales, dans lequel la théorie quantique de la gravitation devrait trouver une formulation cohérente. La piste la plus prometteuse dans cette voie semble être celle de la théorie M dont le groupe de symétrie a été conjecturé être le groupe de Kac-Moody. Diverses indications reliant cette théorie à des algèbres de Kac-Moody de type g++ proviennent de l’étude des théories de la gravitation couplée à des p-formes et des dilatons. En particulier, la dynamique du champs de gravitation à l’approche d’une singularité de type espace est contrôlée par le groupe de Weyl de ces algèbres (et interprétée comme le mouvement d’une particule libre sans masse sur un billard). Nous avons étudié la limite BKL dans le contexte des cosmologies homogènes en terme de billard einsteiniens. Notre analyse confirme la restauration du comportement chaotique du champ gravitationnel lorsque la métrique est non – diagonale, en toutes les dimensions D d’espace-temps telles que 4<D<11. Des sous - algèbres infini - dimensionnelles des algèbres g++ apparaissent naturellement dans ce cadre. En utilisant les propriétés des billards, nous avons déterminé la dimension maximale ainsi que le contenu en champs des théories de la gravitation qui, en D=3, se réduisent à la gravité couplée à une réalisation non linéaire du quotient G/K où G est un groupe de Lie simple non maximalement déployé et K son sous-groupe compact maximal. Les billards peuvent être de volume fini ou infini. Dans ce dernier cas, la dynamique asymptotique du champ de gravitation (et des dilatons) est chaotique. Si le billard est identifiable à la chambre fondamentale de Weyl d’une algèbre de Kac-Moody, le critère pour que la dynamique asymptotique soit chaotique est que l’algèbre de Kac-Moody soit hyperbolique. Nous avons identifié toutes les algèbres hyperboliques résultant d’une théorie de la gravitation couplée à des p-formes et des dilatons. Pour chacune de ces algèbres, nous avons écrit un Lagrangien en dimension maximale. On obtient des actions explicitement invariantes sous les groupes de Kac-Moody G++ (ou G+++) en copiant les modèles sigma décrivant un mouvement géodésique sur une variété homogène de type G++/K(G++) où K(G++) est le sous-groupe compact maximal de G++. Le lien entre cette construction et les théories de la gravitation couplée à des p-formes et dilatons n'est pas encore établi mais certaines connexions ont été mises en évidence. - Nous avons inclus les fermions dans les actions invariantes sous G++. De plus, nous nous sommes intéressés à vérifier la compatibilité des fermions avec les symétries cachées en D=3. Nous avons étudié le comportement des fermions la limite BKL dans le langage des billards. - Dans le cadre des théories invariantes sous G+++, les réflexions de Weyl peuvent s’interpréter comme des dualités entre théorie des cordes. Ces dualités peuvent changer la signature de l’espace-temps en des signatures exotiques ; nous avons obtenu toutes les signatures provenant ainsi d’une signature Lorentzienne.

La théorie des champs conformes est une théorie de champs quantiques obéissant à la symétrie conforme. Elle a trouvé des applications dans l'étude des phénomènes de transition de phases ainsi qu'en théorie des cordes . Étant donnée l'importance de la supersymétrie en théorie des cordes et physique des particules en général, il est dès lors naturel de rechercher des modèles de champs conformes obéissant à la supersymétrie. Dans ce mémoire, une généralisation supersymétrique d'un de ces modèles (la théorie des champs confornles parafermioniques) a ainsi été construite. Il a ensuite été vérifié que ce nouveau modèle respectait bien les contraintes d'associativité. Finalement, des paramètres de la théorie ont été calculés de deux manières différentes afin de s'assurer de la cohérence du modèle.

Ce mémoire examine de façon critique les réflexions apportées par Louis de Broglie (1892-1987) à la compréhension du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique. Après avoir cerné la dichotomie onde-corpuscule instaurée en mécanique classique par la théorie corpusculaire newtonienne et ondulatoire maxwellienne, nous examinons comment, selon de Broglie, la coexistence ou la corrélation des ondes et des corpuscules dans la matière a permis de dépasser cette contradiction et de fonder la mécanique ondulatoire et quantique sur de nouvelles bases. Suite à la présentation de la synthèse broglienne de la mécanique ondulatoire, il ressort de cette analyse que le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique résulte de l’évolution du concept de matière. L’onde et le corpuscule de la mécanique classique cèdent désormais la place à la « particule-quanton ». À partir de ce monisme quantique, nous avons analysé, dans la dernière partie de ce travail, les implications épistémologiques de la philosophie scientifique de de Broglie. L’intervention du quantum d’action ayant remis en cause les fondements de la mécanique classique, la modification de ces principes a pour corollaire la crise de l’objectivité mécanique et l’échec du mécanisme classique. / This Master’s thesis critically examines the reflections brought by Louis de Broglie (1892-1987) to the understanding of the transition from classical to quantum mechanics. Afterhaving identified the wave-corpuscule dichotomy established in classical mechanics by Newtonian and Maxwellian corpuscular and wave theory, we examine how, according to de Broglie, the coexistence or correlation of waves and corpuscles in matter made it possible to overcome this contradiction and to base wave and quantum mechanics on new foundations. Following the presentation of the broglian synthesis of wave mechanics, it emerges from this analysis that the transition from classical to quantum mechanics results from the evolution ofthe concept of matter. The wave and corpuscle of classical mechanics are now giving way to the “quantum particle”. From this quantum monism, we have analyzed, in the last part of this work, the epistemological implications of de Broglie's scientific philosophy. The intervention of the quantum of action having called into question the foundations of classical mechanics, the modification of these principles has as a corollary the crisis of mechanical objectivity and the failure of the classical mechanism.

L'objectif est d'analyser la compatibilité entre un concept de causalité et la théorie de la mécanique quantique. Comme la possibilité de l'erreur rend nécessaire l'étude critique de toute connaissance, le contexte épistémologique présente les principales réponses apportées au problème général de la connaissance : l'empirisme, le réalisme et l'idéalisme. La cohérence qu'exige un critère de démarcation sur la validité des discours sur le monde oblige l'adoption d'une thèse épistémologique et c'est pourquoi une certaine sympathie est exprimée envers le réalisme scientifique (l'objectif n'étant pas d'apporter une défense en règle de cette position). De plus, comme tout énoncé factuel repose sur des présupposés, leur explicitation est présentée à l'intérieur d'un contexte nomologique (univers de discours) caractérisé par la théorie de la relativité (restreinte et générale) ainsi que quelques postulats métaphysiques, dont le principe de légalité et le principe d'uniformité de la nature. Une présentation de la mécanique quantique suit, en tentant de garder, autant que faire se peut, un ton neutre sur les conséquences épistémologiques de son interprétation (ici celle de Copenhague). À partir d'une cartographie des débats sur la causalité fournie par Schaffer (2003 ; 2006), les thèse causales de Hume, Kant, Russell, Bunge et Mackie sont analysés. Le résultat du travail de conciliation (critique) de ces auteurs et des contextes épistémologique et nomologique est un concept de causalité régulariste selon une loi (CRL) : il y a relation causale entre un ensemble de faits A et un ensemble de faits B s'il y a une loi y permettant d'identifier un processus reliant A et B dans un champ causal x- De sorte qu'une relation causale est successive et les faits doivent être spatio-temporellement localisables (STL). Sa validité face aux problèmes classiques des régularités fallacieuses, de la préemption et des relations fonctionnelles est ensuite étudiée. La description de trois expériences quantiques sert alors à l'analyse de compatibilité susmentionnée. Les critères du processus continu, de la succession et de la loi y - utiles pour contrer les arguments de préemption - peuvent être respectés, avec l'adoption de l'équation ou de l'opérateur de Schrôdinger, mais alors c'est celui des faits STL qui écope. L'antécédent, dans le champ causal en question, répond au critère de la suffisance minimale mais la nécessité, associée à la loi et permettant d'inférer le conséquent, ne tient plus. Ce qui permet généralement de répondre à nos conceptions ordinaires sur la causalité est incompatible avec la mécanique quantique.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à l'étude des angles de mélange des fermions en Théorie Quantique des Champs (TQC). Nous montrons que, du fait de la non-orthonormalité de ses états propres de masse, la matrice de mélange d'un système non-dégénéré de fermions couplés ne peut pas être considérée comme unitaire ; puis, dans le cadre du Modèle Standard, que les angles de mélange des quarks et des leptons se révèlent compatibles avec une structure précise des courants neutres, où universalité et absence des courants changeant la saveur sont violées avec la même amplitude. Puis nous retrouvons de manière perturbative la non-unitarité de la matrice de mélange par l'annulation des transitions non-diagonales à une boucle entre états propres de masse. Nous étudions enfin les transformations de saveur pertinentes dans cette démarche, et esquissons un lien entre les courants neutres et la matrice de masse considérée habituellement pour des systèmes couplés. La deuxième partie présente les premiers résultats d'une étude générale des contraintes apportées en TQC par les symétries discrètes (parité P, conjugaison de charge C et renversement du temps T) sur le Lagrangien et le propagateur fermioniques. Nous montrons, dans le cas d'une génération, que ces derniers, écrits de la manière la plus générale compatible avec l'invariance de Lorentz, sont naturellement invariants sous le produit PCT, puis que les états propres d'un propagateur invariant sous C sont des fermions de Majorana.