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Dans ce mémoire, nous allons nous concentrer sur le sujet de l’universalité en analyse complexe. Tout d'abord, nous allons énumérer de nombreux résultats découverts dans ce domaine, tout en soulignant que, dans la plupart des cas, les preuves d'existence des éléments universels sont implicites et non pas constructives. Nous examinerons en détail une preuve spécifique de l'existence des séries universelles de Taylor qui se voulait constructive et nous déterminerons si tel est le cas ou non. Pour atteindre cet objectif, nous introduirons un nouvel élément universel que nous appellerons les séries numériques universelles. Ce sont des séries complexes telles que leurs sommes partielles sont denses dans le plan complexe. Nous donnerons une preuve constructive de l'existence de ces éléments et, afin de déterminer pleinement si la preuve susmentionnée de l'existence des séries universelles de Taylor est constructive, nous allons la comparer avec notre preuve de l'existence des séries numériques universelles. Enfin, nous examinerons les propriétés topologiques et algébriques des séries numériques universelles, en montrant sous quelles conditions elles sont topologiquement génériques et algébriquement génériques dans l'ensemble de toutes séries formelles à termes complexes. / This master's thesis will be centered around the subject of universality in complex analysis. First, we will provide a summary of many of the results that have been discovered in the field of universality. We will show that, in most cases, the proofs of existence of the universal elements are not constructive, but, rather, implicit. We will perform an in-depth analysis of a specific proof of the existence of Universal Taylor series which was intended to be constructive and we will determine whether or not this goal was achieved. To do this, we will introduce a new universal element, which we will call Universal numerical series. These are complex numerical series such that the partial sums of the series are dense in the complex plane. We will give a constructive proof of the existence of these elements and, in order to fully determine whether the aforementioned proof of the existence of the Universal Taylor series is constructive, we will compare it to our proof of the existence of the Universal numerical series. Finally, we will examine the topological and algebraic properties of the Universal numerical series, showing under which conditions they are topologically generic and algebraically generic in the set of all complex numerical series.

Dans cette thèse, nous considérons quatre cas de conjectures de Boyd pour la mesure de Mahler de polynômes. Le premier cas concerne un polynôme associé à une courbe de genre 1, deux autres cas couvrent des courbes de genre 2, et le dernier cas traite d’une courbe de genre 3. Pour le cas de la courbe de genre 1, nous étudions une identité conjecturée par Boyd et prouvée par Boyd et Rodriguez-Villegas. On trouve un expression de la mesure de Mahler donnée par une combinaison linéaire de certaines valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner. En combinant cela avec le résultat prouvé par Boyd et Rodriguez-Villegas, nous pouvons établir certaines identités entre différentes valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner. Pour les problèmes liés aux courbes de genre 2, nous utilisons le régulateur elliptique pour récupérer des identités entre les mesures de Mahler des certaines familles de courbes de genre 2 qui ont ́eté conjecturées par Boyd et prouvèes par Bertin et Zudilin en différenciant le paramètre des formules de la mesure de Mahler et en utilisant des identités hypergéométriques. Pour le cas impliquant la courbe de genre 3, nous utilisons le régulateur elliptique pour prouver une identité entièrement nouvelle entre les mesures de Mahler d’une famille polynomiale de genre 3 et d’une famille polynomiale de genre 1 qui à été initialement conjectur ́ee par Liu et Qin. Comme nos preuves pour les cas des courbes des genres 2 et 3 impliquent le régulateur, elles éclairent la relation des mesures de Mahler des familles des genres 2 ou 3 avec des valeurs spéciales des fonctions L associées aux familles de genre 1. / In this dissertation, we consider four cases of Boyd’s conjectures for the Mahler measure of polynomials. The first case involves a polyno- mial defining a genus 1 curve, two other cases cover genus 2 curves, and the final case deals with a genus 3 curve. For the case of the genus 1 curve, we study an identity conjectured by Boyd and proven by Boyd and Rodriguez-Villegas. We find an expression of the Mahler measure given by a linear combination of some values of the Bloch-Wigner dilogarithm. Combining this with the result proven by Boyd and Rodriguez-Villegas, we can establish some identities among different values of the Bloch-Wigner dilogarithm. For the problems related to the genus 2 curves, we use the elliptic regulator to recover some identities between Mahler measures involving certain families of genus 2 curves that were conjectured by Boyd and proven by Bertin and Zudilin by differentiating the parameter in the Mahler measure formulas and using hypergeometric identities. For the case involving the genus 3 curve, we use the elliptic regulator to prove an entirely new identity between the Mahler measures of a genus 3 polynomial family and of a genus 1 polynomial family that was initially conjectured by Liu and Qin. Since our proofs for the cases of genus 2 and 3 curves involve the regulator, they yield light into the relation of the Mahler measures of the genus 2 or 3 families with special values of the L-functions associ- ated to the genus 1 families.

Le groupe de difféomorphismes hamiltoniens à support compact d’une variété symplectique admet une distance naturelle bi-invariante, d’après les travaux de Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder et Schlenk, construite à partir des invariants spectraux en homologie de Floer Hamiltonienne. Cette distance, appelée la norme spectrale, s’est révélée être un outil fort utile en topologie symplectique. Par contre, son diamètre reste inconnu en général. En fait, pour les variétés symplectiques fermées, il n’existe même pas de critère pour déterminer si la norme spectrale a un diamètre fini ou infini. Il a été conjecturé que, pour les variétés symplectiquement asphériques, le diamètre de la norme spectrale est infini. Dans cette thèse, nous démontrons que pour tout domaine de Liouville, la norme spectrale a un diamètre infini si et seulement si la cohomologie symplectique du domaine de Liouville en question est non nulle. Ceci généralise un résultat de Monzner-Vichery-Zapolsky et admet plusieurs applications dans le cadre des variétés symplectiques fermées. En particulier, nous démontrons que le produit de deux variétés symplectiquement asphériques a un diamètre spectral infini. Plus généralement, nous démontrons que toute variété symplectiquement asphérique contenant un domaine de Liouville incompressible de codimension zéro avec cohomologie symplectique non nulle doit avoir un diamètre spectral infini. / The group of compactly supported Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic manifold is endowed with a natural bi-invariant distance, due to Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder and Schlenk, coming from spectral invariants in Hamiltonian Floer homology. This distance, called the spectral norm, has found numerous applications in symplectic topology. However, its diameter is still unknown in general. In fact, for closed symplectic manifolds there is no unifying criterion for the diameter to be finite or infinite. It has been conjectured that for closed symplectically aspherical manifolds, the spectral norm has infinite diameter. In this thesis, we prove that for any Liouville domain the spectral norm has infinite diameter if and only if its symplectic cohomology does not vanish. This generalizes a result of Monzner-Vichery-Zapolsky and has applications in the setting of closed symplectic manifolds. For instance, we show that the product of two closed symplectically aspherical manifold has an infinite spectral diameter . More generally, we prove that any symplectically aspherical manifold which contains an incompressible Liouville domain of codimension zero with non-vanishing symplectic cohomology must have infinite spectral diameter.

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Cette thèse réunit en trois articles mon intérêt éclectique pour la théorie des graphes. Le premier problème étudié est la conjecture de Erdos-Faber-Lovász: La réunion de k graphes complets distincts, ayant chacun k sommets, qui ont deux-à-deux au plus un sommet en commun peut être proprement coloriée en k couleurs. Cette conjecture se caractérise par le peu de résultats publiés. Nous prouvons qu’une nouvelle classe de graphes, construite de manière inductive, satisfait la conjecture. Le résultat consistera à présenter une classe qui ne présente pas les limitations courantes d’uniformité ou de régularité. Le deuxième problème considère une conjecture concernant la couverture des arêtes d’un graphe: Si G est un graphe simple avec alpha(G) = 2, alors le nombre minimum de cliques nécessaires pour couvrir l’ensemble des arêtes de G (noté ecc(G)) est au plus n, le nombre de sommets de G. La meilleure borne connue satisfaite par ecc(G) pour tous les graphes avec nombre d’indépendance de deux est le minimum de n + delta(G) et 2n − omega(racine (n log n)), où delta(G) est le plus petit nombre de voisins d’un sommet de G. Notre objectif a été d’obtenir la borne ecc(G) <= 3/2 n pour une classe de graphes la plus large possible. Un autre résultat associé à ce problème apporte la preuve de la conjecture pour une classe particulière de graphes: Soit G un graphe simple avec alpha(G) = 2. Si G a une arête dominante uv telle que G \ {u,v} est de diamètre 3, alors ecc(G) <= n. Le troisième problème étudie le jeu de policier et voleur sur un graphe. Presque toutes les études concernent les graphes statiques, et nous souhaitons explorer ce jeu sur les graphes dynamiques, dont les ensembles d’arêtes changent au cours du temps. Nowakowski et Winkler caractérisent les graphes statiques pour lesquels un unique policier peut toujours attraper le voleur, appellés cop-win, à l’aide d’une relation <= définie sur les sommets de ce graphe: Un graphe G est cop-win si et seulement si la relation <= définie sur ses sommets est triviale. Nous adaptons ce théorème aux graphes dynamiques. Notre démarche nous mène à une relation nous permettant de présenter une caractérisation des graphes dynamiques cop-win. Nous donnons ensuite des résultats plus spécifiques aux graphes périodiques. Nous indiquons aussi comment généraliser nos résultats pour k policiers et l voleurs en réduisant ce cas à celui d’un policier unique et un voleur unique. Un algorithme pour décider si, sur un graphe périodique donné, k policiers peuvent capturer l voleurs découle de notre caractérisation. / This thesis represents in three articles my eclectic interest for graph theory. The first problem is the conjecture of Erdos-Faber-Lovász: If k complete graphs, each having k vertices, have the property that every pair of distinct complete graphs have at most one vertex in common, then the vertices of the resulting graph can be properly coloured by using k colours. This conjecture is notable in that only a handful of classes of EFL graphs are proved to satisfy the conjecture. We prove that the Erdos-Faber-Lovász Conjecture holds for a new class of graphs, and we do so by an inductive argument. Furthermore, graphs in this class have no restrictions on the number of complete graphs to which a vertex belongs or on the number of vertices of a certain type that a complete graph must contain. The second problem addresses a conjecture concerning the covering of the edges of a graph: The minimal number of cliques necessary to cover all the edges of a simple graph G is denoted by ecc(G). If alpha(G) = 2, then ecc(G) <= n. The best known bound satisfied by ecc(G) for all the graphs with independence number two is the minimum of n + delta(G) and 2n − omega(square root (n log n)), where delta(G) is the smallest number of neighbours of a vertex in G. In this type of graph, all the vertices at distance two from a given vertex form a clique. Our approach is to extend all of these n cliques in order to cover the maximum possible number of edges. Unfortunately, there are graphs for which it’s impossible to cover all the edges with this method. However, we are able to use this approach to prove a bound of ecc(G) <= 3/2n for some newly studied infinite families of graphs. The third problem addresses the game of Cops and Robbers on a graph. Almost all the articles concern static graphs, and we would like to explore this game on dynamic graphs, the edge sets of which change as a function of time. Nowakowski and Winkler characterize static graphs for which a cop can always catch the robber, called cop-win graphs, by means of a relation <= defined on the vertices of such graphs: A graph G is cop-win if and only if the relation <= defined on its vertices is trivial. We adapt this theorem to dynamic graphs. Our approach leads to a relation, that allows us to present a characterization of cop-win dynamic graphs. We will then give more specific results for periodic graphs, and we will also indicate how to generalize our results to k cops and l robbers by reducing this case to one with a single cop and a single robber. An algorithm to decide whether on a given periodic graph k cops can catch l robbers follows from our characterization.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.

Cette thèse se compose de deux projets. Le premier concerne la structure des fonctions multiplicatives dont les moyennes sont petites. En particulier, dans ce projet, nous établissons le comportement moyen des valeurs \(f(p)\) de \(f\) aux nombres premiers pour des fonctions \(f\) multiplicatives appropriées lorsque leurs sommes partielles \(\sum_{n\leqslant x}f(n)\) sont plus petites que leur borne supérieure triviale par un facteur d′une puissance de \(\log x\). Ce résultat poursuit un travail antérieur de Koukoulopoulos et Soundararajan et il est construit sur des idées provenant du traitement plus soigné de Koukoulopoulos sur le cas special des fonctions multiplicatives bornées. Le deuxième projet de la thèse est inspiré par un analogue d’une estimation que Linnik a déduit dans sa tentative de prouver son célèbre théorème concernant la taille du plus petit nombre premier d’une progression arithmétique. Cette estimation fournit une formule asymptotique fortement uniforme pour les sommes de la fonction de von Mangoldt \(\Lambda\) sur les progressions arithmétiques. Dans la littérature, ses preuves existantes utilisent des informations non triviales sur les zéros des fonctions \(L\) de Dirichlet \(L(\cdot,\chi)\) et le but du deuxième projet est de présenter une approche différente, plus élémentaire qui récupère cette estimation en évitant la “langue” de ces zéros. Pour le développement de cette méthode alternative, nous utilisons des idées qui apparaissent dans le grand crible prétentieux (pretentious large sieve) de Granville, Harper et Soundararajan. De plus, comme dans le cas du premier projet, nous empruntons également des idées du travail de Koukoulopoulos sur la structure des fonctions multiplicatives bornées à petites moyennes. / This thesis consists of two projects. The first one is concerned with the structure of multiplicative functions whose averages are small. In particular, in this project, we establish the average behaviour of the prime values \(f(p)\) for suitable multiplicative functions \(f\) when their partial sums \(\sum_{n\leqslant x}f(n)\) admit logarithmic cancellations over their trivial upper bound. This result extends previous related work of Koukoulopoulos and Soundararajan and it is built upon ideas coming from the more careful treatment of Koukoulopoulos on the special case of bounded multiplicative functions. The second project of the dissertation is inspired by an analogue of an estimate that Linnik deduced in his attempt to prove his celebrated theorem regarding the size of the smallest prime number of an arithmetic progression. This estimate provides a strongly uniform asymptotic formula for the sums of the von Mangoldt function \(\Lambda\) on arithmetic progressions. In the literature, its existing proofs involve non-trivial information about the zeroes of Dirichlet \(L\)-functions \(L(\cdot,\chi)\) and the purpose of the second project is to present a different, more elementary approach which recovers this estimate by avoiding the “language” of those zeroes. For the development of this alternative method, we make use of ideas that appear in the pretentious large sieve of Granville, Harper and Soundararajan. Moreover, as in the case of the first project, we also borrow insights from the work of Koukoulopoulos on the structure of bounded multiplicative functions with small averages.

Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.