Consider a multidimensional shift space with a countably infinite alphabet, which serves in mathematical physics as a classical lattice gas or lattice spin system. A new definition of a Gibbs measure is introduced for suitable real-valued functions of the configuration space, which play the physical role of specific internal energy. The variational principle is proved for a large class of functions, and then a more restrictive modulus of continuity condition is provided that guarantees a function's Gibbs measures to be a nonempty, weakly compact, convex set of measures that coincides with the set of measures obeying a form of the DLR equations (which has been adapted so as to be stated entirely in terms of specific internal energy instead of the Hamiltonians for an interaction potential). The variational equilibrium measures for a such a function are then characterized as the shift invariant Gibbs measures of finite entropy, and a condition is provided to determine if a function's Gibbs measures have infinite entropy or not. Moreover the spatially averaged limiting Gibbs measures, i.e. constructive equilibria, are shown to exist and their weakly closed convex hull is shown to coincide with the set of true variational equilibrium measures. It follows that the "pure thermodynamic phases", which correspond to the extreme points in the convex set of equilibrium measures, must be constructive equilibria. Finally, for an even smoother class of functions a method is presented to construct a compatible interaction potential and it is checked that the two different structures generate the same sets of Gibbs and equilibrium measures, respectively.

It is a theorem of Denker and Urbański that if T:ℂ→ℂ is a rational map of degree at least two and if ϕ:ℂ→ℝ is Hölder continuous and satisfies the “thermodynamic expanding” condition P(T,ϕ) > sup(ϕ), then there exists exactly one equilibrium state μ for T and ϕ, and furthermore (ℂ,T,μ) is metrically exact. We extend these results to the case of a holomorphic random dynamical system on ℂ, using the concepts of relative pressure and relative entropy of such a system, and the variational principle of Bogenschütz. Specifically, if (T,Ω,P,θ) is a holomorphic random dynamical system on ℂ and ϕ:Ω→ ℋα(ℂ) is a Hölder continuous random potential function satisfying one of several sets of technical but reasonable hypotheses, then there exists a unique equilibrium state of (X,P,ϕ) over (Ω,Ρ,θ).

We study compensation functions for an infinite-to-one factor code $\pi : X \to Y$ where $X$ is a shift of finite type. The $p$-Dini condition is given as a way of measuring the smoothness of a continuous function, with $1$-Dini corresponding to functions with summable variation. Two types of compensation functions are defined in terms of this condition. Given a fully-supported invariant measure $\nu$ on $Y$, we show that the relative equilibrium states of a $1$-Dini function $f$ over $\nu$ are themselves fully supported, and have positive relative entropy. We then show that there exists a compensation function which is $p$-Dini for all $p > 1$ which has relative equilibrium states supported on a finite-to-one subfactor. / Graduate / 0405 / antoniol@uvic.ca

Este trabalho divide-se em três partes. Na primeira parte fazemos uma breve descrição de cadeias de Markov a tempo discreto e tempo contínuo. Na segunda parte, seguindo o artigo [5], introduzimos o formalismo termodinâmico no espaço de Bernoulli com símbolos dados em um espaço métrico compacto, generalizando a teoria usual onde o espaço de estados é finito. Após, seguindo o artigo [1], introduziremos uma versão do Operador de Ruelle para cadeias de Markov a tempo contínuo. Ainda, a partir de uma função V que funcionará como uma perturbação, definiremos um operador de Ruelle modificado e, para este operador, mostraremos a existência de uma auto-função e uma auto-medida. / This work is divided in three parts. In the first one, we give a brief description of Markov chains in both discrete time and continuous time. In the second one, following the article [5], we introduce the thermodynamic formalism in the Bernoulli space with symbols in a compact metric space, generalizing the usual theory, where the space of states is finite. Then, following the article [1], we will introduce a version of Ruelle Opemtor for Markov chains in continuous time. Also, using a V function, which will be seen as a perturbation, we will define a modified Ruelle operator and, for this operator, we will show the existence of a eigenfunction and a eigenmeasure.

Este trabalho divide-se em três partes. Na primeira parte fazemos uma breve descrição de cadeias de Markov a tempo discreto e tempo contínuo. Na segunda parte, seguindo o artigo [5], introduzimos o formalismo termodinâmico no espaço de Bernoulli com símbolos dados em um espaço métrico compacto, generalizando a teoria usual onde o espaço de estados é finito. Após, seguindo o artigo [1], introduziremos uma versão do Operador de Ruelle para cadeias de Markov a tempo contínuo. Ainda, a partir de uma função V que funcionará como uma perturbação, definiremos um operador de Ruelle modificado e, para este operador, mostraremos a existência de uma auto-função e uma auto-medida. / This work is divided in three parts. In the first one, we give a brief description of Markov chains in both discrete time and continuous time. In the second one, following the article [5], we introduce the thermodynamic formalism in the Bernoulli space with symbols in a compact metric space, generalizing the usual theory, where the space of states is finite. Then, following the article [1], we will introduce a version of Ruelle Opemtor for Markov chains in continuous time. Also, using a V function, which will be seen as a perturbation, we will define a modified Ruelle operator and, for this operator, we will show the existence of a eigenfunction and a eigenmeasure.

Este trabalho divide-se em três partes. Na primeira parte fazemos uma breve descrição de cadeias de Markov a tempo discreto e tempo contínuo. Na segunda parte, seguindo o artigo [5], introduzimos o formalismo termodinâmico no espaço de Bernoulli com símbolos dados em um espaço métrico compacto, generalizando a teoria usual onde o espaço de estados é finito. Após, seguindo o artigo [1], introduziremos uma versão do Operador de Ruelle para cadeias de Markov a tempo contínuo. Ainda, a partir de uma função V que funcionará como uma perturbação, definiremos um operador de Ruelle modificado e, para este operador, mostraremos a existência de uma auto-função e uma auto-medida. / This work is divided in three parts. In the first one, we give a brief description of Markov chains in both discrete time and continuous time. In the second one, following the article [5], we introduce the thermodynamic formalism in the Bernoulli space with symbols in a compact metric space, generalizing the usual theory, where the space of states is finite. Then, following the article [1], we will introduce a version of Ruelle Opemtor for Markov chains in continuous time. Also, using a V function, which will be seen as a perturbation, we will define a modified Ruelle operator and, for this operator, we will show the existence of a eigenfunction and a eigenmeasure.

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Nesta tese são estudados alguns tópicos sobre otimização ergódica e formalismo termodinâmico que generalizam resultados, de Contreras, Lopes e Thieullen (2006), Garibaldi e Lopes (2008) no primeiro caso e Baraviera, Lopes e Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) no segundo, para contextos onde não existem medidas de Gibbs, ou, em outras palavras, não é satisfeita a propriedade BIP. É demonstrada a existência de subações calibradas para potenciais coercivos de variação finita em espaços shift transitivos de alfabeto enumerável. O método usado é a construção da barreira de Peierls nesse contexto. Provam-se algumas das propriedades da barreira de Peierls e, como consequência das construções, é mostrada uma classificação dos shifts que possuem subações calibradas e limitadas. Posteriormente é realizado um estudo do formalismo termodinâmico para potenciais somáveis de variação finita e pressão finita com medida maximizante única f em shifts topologicamente mixing. Fazendo uso dos resultados de Freire e Vargas (2015), são estudadas a famlia de estados de equilbrio correspondente com f e a famlia de funções 1/B log h_ B , onde h_B são auto vetores do operador de Ruelle para Bf . É demonstrado que os pontos de acumulação quando B vai para infinito são subações uniformemente contnuas. Finalmente é provada uma propriedade dos grandes desvios para a famlia de estados de equilbrio \\mu_B com hipóteses sobre a convergência de uma famlia de funções g_B que normaliza o operador de Ruelle para cada B> 1 (Veja seção 4.4) / In this thesis, the study of topics on ergodic optimization and thermodynamic formalism for countable Markov shifts is presented. It provides a generalization of the previous results, in Contreras, Lopes and Thieullen (2006), Garibaldi and Lopes (2008) for the first subject and Baraviera, Lopes and Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) for the second one, to situations where there are no Gibbs measures, ie, the BIP property is not verified. The existence of calibrated subactions for coercive potentials with finite variation over transitive countable Markov shifts is proved. The method is based on the construction of the Peierls barrrier in this context. Some properties of the Peierls barrier are proved and, as consequence of the proof, a classification of the Markov shifts which support calibrated and limited subactions is shown. Subsequently, the thermodynamic formalism for topologically mixing Markov shift and summable potentials with finite variation, finite pressure and unique maximizing measure f is studied. Using results in Freire and Vargas (2015), the class of equilibrium states corresponding with f and the class of functions 1/ log h_B are studied where h_B are the eigenfunctions for the Ruelle operator. It is proved that its accumulation points, as goes to infinity, are uniformly continuous subactions. Finally, it is proved a large deviation principle for the equilibrium states family \\mu_B , assuming a hypothesis about the convergence in a family of functions that normalizes the Ruelle operator (See section 4.4 for more details).

Nesta tese são estudados alguns tópicos sobre otimização ergódica e formalismo termodinâmico que generalizam resultados, de Contreras, Lopes e Thieullen (2006), Garibaldi e Lopes (2008) no primeiro caso e Baraviera, Lopes e Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) no segundo, para contextos onde não existem medidas de Gibbs, ou, em outras palavras, não é satisfeita a propriedade BIP. É demonstrada a existência de subações calibradas para potenciais coercivos de variação finita em espaços shift transitivos de alfabeto enumerável. O método usado é a construção da barreira de Peierls nesse contexto. Provam-se algumas das propriedades da barreira de Peierls e, como consequência das construções, é mostrada uma classificação dos shifts que possuem subações calibradas e limitadas. Posteriormente é realizado um estudo do formalismo termodinâmico para potenciais somáveis de variação finita e pressão finita com medida maximizante única f em shifts topologicamente mixing. Fazendo uso dos resultados de Freire e Vargas (2015), são estudadas a famlia de estados de equilbrio correspondente com f e a famlia de funções 1/B log h_ B , onde h_B são auto vetores do operador de Ruelle para Bf . É demonstrado que os pontos de acumulação quando B vai para infinito são subações uniformemente contnuas. Finalmente é provada uma propriedade dos grandes desvios para a famlia de estados de equilbrio \\mu_B com hipóteses sobre a convergência de uma famlia de funções g_B que normaliza o operador de Ruelle para cada B> 1 (Veja seção 4.4) / In this thesis, the study of topics on ergodic optimization and thermodynamic formalism for countable Markov shifts is presented. It provides a generalization of the previous results, in Contreras, Lopes and Thieullen (2006), Garibaldi and Lopes (2008) for the first subject and Baraviera, Lopes and Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) for the second one, to situations where there are no Gibbs measures, ie, the BIP property is not verified. The existence of calibrated subactions for coercive potentials with finite variation over transitive countable Markov shifts is proved. The method is based on the construction of the Peierls barrrier in this context. Some properties of the Peierls barrier are proved and, as consequence of the proof, a classification of the Markov shifts which support calibrated and limited subactions is shown. Subsequently, the thermodynamic formalism for topologically mixing Markov shift and summable potentials with finite variation, finite pressure and unique maximizing measure f is studied. Using results in Freire and Vargas (2015), the class of equilibrium states corresponding with f and the class of functions 1/ log h_B are studied where h_B are the eigenfunctions for the Ruelle operator. It is proved that its accumulation points, as goes to infinity, are uniformly continuous subactions. Finally, it is proved a large deviation principle for the equilibrium states family \\mu_B , assuming a hypothesis about the convergence in a family of functions that normalizes the Ruelle operator (See section 4.4 for more details).

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