Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des systèmes linéaires dans les dioïdes. Cette théorie concerne la sous-classe des systèmes à événements discrets modélisables par les Graphes d'Événements Temporisés (GET). La dynamique de ces graphes peut être représentée par des équations récurrentes linéaires sur des structures algébriques particulières telles que l'algèbre (max,+) ou l'algèbre (min,+).Ce mémoire est consacré à l'analyse de performances des systèmes dynamiques qui peuvent être modélisés graphiquement par des Graphes d'Événements Temporisés Généralisés (GETG). Ces derniers, contrairement au GET, n'admettent pas une représentation linéaire dans l'algèbre (min,+). Pour pallier à ce problème de non linéarité, nous avons utilisé une approche de modélisation définie sur un dioïde d'opérateurs muni de deux lois internes : loi additive correspondant à l'opération (min), et loi multiplicative équivalente à la loi de composition usuelle. Le modèle d'état obtenu, est utilisé pour évaluer les performances des GETG. Pour cela, nous avons proposé une nouvelle méthode qui a pour but de linéariser le modèle mathématique régissant l'évolution dynamique du modèle graphique, dans le but d'obtenir un modèle (min,+) linéaire. La deuxième partie de cette thèse est consacrée au problème qui consiste à déterminer les ressources à utiliser dans une ligne de production, en vue d'atteindre des performances souhaitée. Ceci est équivalent à déterminer le marquage initial de la partie commande du GETG. / This thesis is part of the theory of linear systems over dioids. This theory concerns the subclass of discrete event dynamic systems modeled by Timed Event Graphs (TEG). The dynamics of these graphs can be represented by linear recurrence equations over specific algebraic structures such as (max,+) algebra or (min,+) algebra.This report is devoted to the performance analysis of dynamic systems which can be represented graphically by Generalized Timed Event Graphs(GTEG). These type of graphs, unlike TEG, do not admit a linear representation in (min,+) algebra. To mitigate the problem of nonlinearity, we used a modeling approach defined on a dioid operators. The obtained state model is used to evaluate the performance of GTEG. For this, we proposed a new method to linearize the mathematical model governing the dynamic evolution of the graphical model in order to obtain a linear model in (min,+) algebra. The second part of this work is devoted to the problem of determining the resources to use in a production line, in order to achieve desired performance. These is equivalent to determining the initial marking of the control part of the GTEG.

Le travail présenté s'inscrit dans le contexte de la théorie des systèmes linéaires dans les dioïdes. La motivation initiale de cette étude a été de contribuer à l'analyse et la commande de systèmes linéaires dans max-plus en utilisant spécifiquement une approche géométrique. La contribution de cette thèse est centrée sur deux problèmes. La première partie est dédiée à l'étude de la relation entre les notions d'invariance contrôlée et d'invariance contrôlée par retour d'état dynamique dans un semi-anneau. Cette relation permet de montrer l'équivalence de ces deux notions. La deuxième partie concerne un problème original dans la théorie des systèmes linéaires dans max-plus, il s'agit de la synthèse d'une loi de commande par retour d'état, qui permette de satisfaire un ensemble de spécifications exprimées sous la forme de restrictions sur l'état du système, avec une approche géométrique. Il s'agit plus précisément de commander des systèmes à événements discrets décrits par un modèle linéaire dans max-plus. Nous définissons et caractérisons l'ensemble des conditions initiales admissibles, lesquelles sont à l'origine de solutions non décroissantes. Les restrictions temporelles imposées à l'espace d'état du système sont décrites par le semi-module défini par l'image de l'étoile de Kleene de la matrice associée aux restrictions temporelles. Les propriétés géométriques de ce semi-module permettant de garantir que l'évolution du système en boucle fermée satisfasse les restrictions sont étudiées. Des conditions suffisantes concernant l'existence d'une loi de commande causale par retour d'état statique sont présentées. Le calcul des lois de commande causales est également présenté. Pour illustrer l'application de cette approche, deux problèmes de commande sont présentés. / This work is in the context of the theory of linear Systems in the dioids. The initial motivation of this study was to contribute to the analysis and control of max-plus linear systems, specifically using a geometric approach. The contribution of this thesis focuses on two issues. The first part is dedicated to study of the relationship between the concepts of controlled invariance and dynamic state feedback controlled invariance in a semi-ring. This relationship allows us to show the equivalence of these two concepts. The second part relates to a new problem in the theory of max-plus linear systems, it is the synthesis, with a geometric approach, of a static state feedback control law, in order to satisfy a set of specifications that apply to the state space of the system. This is specifically to control of discrete event systems described by a linear model in max-plus. We define and characterize the set of admissible initial conditions, which are the cause of non-decreasing solutions. Temporal restrictions on the system state space are described by the semi-module defined by the image of the Kleene star of the matrix associated with time restrictions. The geometric properties of this semi-module are studied. Sufficient conditions for the existence of a causal control law by static feedback are presented. Calculating causal control laws is also presented. To illustrate the application of this approach, two control problems are presented.

Les systèmes de commande en réseau (SCR) sont de plus en plus répandus dans le milieu industriel. Ils procurent en effet de nombreux avantages en termes de coût, de flexibilité, de maintenance, etc. Cependant,l’introduction d’un réseau, qui par nature est composé de ressources partagées, impacte considérablement les performances temporelles des systèmes de commande. Un signal de commande par exemple n’arrive à destination qu’après un certain délai. Pour s’assurer que ce délai soit inférieur à un certain seuil de sécurité ou du respect d’autres contraintes temps réels de ces systèmes, une évaluation au préalable, avant la mise en service d’un SCR, s’avère donc nécessaire. Dans nos travaux de recherche, nous nous intéressons à la réactivité des SCR client/serveur et évaluons leur temps de réponse.Notre contribution dans ces travaux est d’adopter une approche analytique à base de l’algèbre (Max,+) et remédier aux problèmes des méthodes existantes comme l’explosion combinatoire de la vérification formelle ou de la non exhaustivité des approches par simulation. Après modélisation des SCR client/serveur à l’aide de Graphe d’Evénements Temporisés puis représentation de leurs dynamiques à l’aides d’équations (Max,+) linéaires, nous obtenons des formules de calcul direct du temps de réponse. Plus précisément, nous adoptons une analyse déterministe pour calculer les bornes, minimale et maximale, du temps de réponse puis une analyse stochastique pour calculer la fonction de sa distribution. De plus, nous prenons en compte dans nos travaux tous les délais élémentaires qui composent le temps de réponse, y compris les délais de bout-en-bout, dus à la traversée du seul réseau de communication. Ce dernier étant naturellement composé de ressources partagées, rendant l’utilisation des modèles (Max,+) classiques impossibles, nous introduisons une nouvelle approche de modélisation à base du formalisme (Max,+) mais prenant en compte le concept de conflit ou ressource partagée.L’exemple d’un réseau de type Ethernet est considéré pour évaluer ces délais de bout-en-bout. Par ailleurs, cette nouvelle méthode (Max,+) est assez générique et reste applicable à de nombreux systèmes impliquant des ressources partagées, au delà des seuls réseaux de communication. Enfin, pour vérifier la validité des résultats obtenus dans nos travaux, notamment la formule de la borne maximale du temps de réponse, une compagne de mesures expérimentales sont menées sur une plateforme dédiée. Différentes configurations et conditions de trafic dans un réseau Ethernet sont considérées. / Networked automation systems (NAS) are more and more used in industry, given the several advantages they provide like flexibility, low cost, ease of maintenance, etc. However, the use of a communication network in SCR means in essence sharing some resources and therefore strikingly impacts their time performances. For instance, a control signal does get to its destination (actuator) only after a non zero delay. So, to guarantee that such a delay is shorter than a given threshold or other time constraints well respected, an a priori evaluation is necessary before operating the SCR. In our research activities, we are interested in client/server SCR reactivity and the evaluation of their response time.Our contribution in this investigation is the introduction of a (Max,+) Algebra-based analytic approach to solve some problems, faced in the existing methods like state explosion of model checking or the non exhaustivity of simulation. So, after getting Timed Event Graphs based models of the SCR and their linear state (Max,+) representation, we obtain formulae that enables to calculate straightforwardly the SCR response times. More precisely, we obtain formulae of the bounds of response time by adopting a deterministic analysis and other formulae to calculate the probability density of response time by considering a stochastic analysis. Moreover, in our investigation we take into account every single elementary delay involved in the response time, including the end-to-end delays, due exclusively to crossing the communication network. This latter being however constituted of shared resources, making by the way the use of TEG and (Max,+) Algebra impossible, we introduce a novel approach to model the communication network. This approach brings to life a new class of Petri nets, called Conflicting Timed Event Graphs (CTEG), which enables us to solve the problem of the shared resources. We also manage to represent the CTEG dynamics using recurrent (Max,+) equations and therefore calculate the end to-end delays. An Ethernet-based network is studied as an example to apply this novel approach. Note by the way that the field of application of this approach borders largely communication networks and is quite possible when dealing with other systems.Finally, to validate the different results of our research activities and the related hypotheses, especially the maximal bound of response time formula, we carry out lots of experimental measurements on a lab facility. We compare the measures to the formula predictions and check their agreement under different conditions.