Master of Science / Department of Mechanical and Nuclear Engineering / Warren N. White / Mechanical systems play an integral part in our everyday lives. A subset of these systems can be described as underactuated; the defining characteristic of underactuated mechanical systems is that they have fewer control inputs than degrees of freedom. Airplanes, rockets, helicopters, overhead crane loads, surface vessels, and underwater vehicles are all examples of such systems. The control challenges associated with these systems arise from both the underactuation of the control input and the nonlinear nature of the dynamic equations describing the system’s motion. In this work, a control method for stabilization and tracking based on Lyapunov stability theory is presented. The remarkable result of this tracking controller development is that we arrive at three matching equations that are (with the exception of ) identical to matching equations developed for stabilization as shown in White et al. (2006, 2007, 2008). Asymptotic stabilization of the tracking errors (s) is not obtained. However, the norm of s (||s||) will decrease until an ultimate bound is reached, then it will stay within this bound. A lemma is provided for estimating this bound and it is shown that the magnitude of the bound depends upon the eigenvalues and norms of certain matrices in the Lyapunov formulation. Three examples are presented to illustrate the effectiveness of the direct Lyapunov approach. Two examples of holonomic systems are presented. The first is an inverted pendulum cart which is used to illustrate the formulations performance to tracking a desired path on the cart position or actuated axis. The second example is a ball and beam system in which a desired path is tracked by the ball or unactuated axis. The tracking control technique is also applied to an example of a nonholonomic system, a rolling wheel. The control technique is applied in two alternate manners. Finally, the controller is implemented on a laboratory inverted pendulum cart system in hard real time. A desired trajectory for the cart position is tracked and the control law is used to define the desired pendulum trajectory.

<p>In the field of robotics there is a great interest in developing strategies and algorithms to reproduce human-like behavior. One can think of human-like machines that may replace humans in hazardous working areas, perform enduring assembly tasks, serve the elderly and handicapped, etc. The main challenges in the development of such robots are, first, to construct sophisticated electro-mechanical humanoids and, second, to plan and control human-like motor patterns.</p><p>A promising idea for motion planning and control is to reparameterize any somewhat coordinated motion in terms of virtual holonomic constraints, i.e. trajectories of all degrees of freedom of the mechanical system are described by geometric relations among the generalized coordinates. Imposing such virtual holonomic constraints on the system dynamics allows to generate synchronized motor patterns by feedback control. In fact, there exist consistent geometric relations in ordinary human movements that can be used advantageously. In this thesis the virtual constraints approach is extended to a wider and rigorous use for analyzing, planning and reproducing human-like motions based on mathematical tools previously utilized for very particular control problems.</p><p>It is often the case that some desired motions cannot be achieved by the robot due to limitations in available actuation power. This constraint rises the question of how to modify the mechanical design in order to achieve better performance. An underactuated planar two-link robot is used to demonstrate that springs can complement the actuation in parallel to an ordinary motor. Motion planning is carried out for the original robot dynamics while the springs are treated as part of the control action with a torque profile suited to the preplanned trajectory.</p><p>Another issue discussed in this thesis is to find stable and unstable (hybrid) limit cycles for passive dynamic walking robots without integrating the full set of differential equations. Such procedure is demonstrated for the compass-gait biped by means of optimization with a reduced number of initial conditions and parameters to search. The properties of virtual constraints and reduced dynamics are exploited to solve this problem.</p>

In the field of robotics there is a great interest in developing strategies and algorithms to reproduce human-like behavior. One can think of human-like machines that may replace humans in hazardous working areas, perform enduring assembly tasks, serve the elderly and handicapped, etc. The main challenges in the development of such robots are, first, to construct sophisticated electro-mechanical humanoids and, second, to plan and control human-like motor patterns. A promising idea for motion planning and control is to reparameterize any somewhat coordinated motion in terms of virtual holonomic constraints, i.e. trajectories of all degrees of freedom of the mechanical system are described by geometric relations among the generalized coordinates. Imposing such virtual holonomic constraints on the system dynamics allows to generate synchronized motor patterns by feedback control. In fact, there exist consistent geometric relations in ordinary human movements that can be used advantageously. In this thesis the virtual constraints approach is extended to a wider and rigorous use for analyzing, planning and reproducing human-like motions based on mathematical tools previously utilized for very particular control problems. It is often the case that some desired motions cannot be achieved by the robot due to limitations in available actuation power. This constraint rises the question of how to modify the mechanical design in order to achieve better performance. An underactuated planar two-link robot is used to demonstrate that springs can complement the actuation in parallel to an ordinary motor. Motion planning is carried out for the original robot dynamics while the springs are treated as part of the control action with a torque profile suited to the preplanned trajectory. Another issue discussed in this thesis is to find stable and unstable (hybrid) limit cycles for passive dynamic walking robots without integrating the full set of differential equations. Such procedure is demonstrated for the compass-gait biped by means of optimization with a reduced number of initial conditions and parameters to search. The properties of virtual constraints and reduced dynamics are exploited to solve this problem.

This dissertation presents novel vibrational control strategies for mechanical control-affine systems with high-frequency, high-amplitude inputs. Since these control systems use high-frequency, zero-mean, periodic inputs, averaging techniques are widely used in the analysis of their dynamics. By studying their time-averaged approximations, new properties of the averaged dynamics of this class of systems are revealed. Using these properties, the problem of input optimization of vibrational control systems was formulated and solved by transforming the problem to a constrained optimization one. Geometric control theory provides powerful tools for studying the control properties of control-affine systems. Using the concepts of vibrational and geometric controls and averaging tools, a closed-loop control strategy for trajectory tracking of a class of underactuated mechanical control-affine systems is developed. In the developed control law, the fact that for underactuated systems, the actuated coordinates together with the corresponding generalized velocities can be considered as generalized inputs for the unactuated dynamics plays the main role. Using the developed control method, both actuated and unactuated coordinates of the system are able to follow slowly time-varying prescribed trajectories on average. The developed control method is applied for altitude control of flapping wing micro-air vehicles by considering the sweeping (flapping) angle of the wings as the inputs. Using the feathering (pitch) angles of the wings as additional inputs, and using non-symmetric flapping, the control method is then extended for three-dimensional flight control of flapping wing micro-air vehicles. / Ph. D.

Motion planning and control synthesis are challenging problems for underactuated mechanical systems due to the presence of passive (non-actuated) degrees of freedom. For those systems that are additionally not feedback linearizable and with unstable internal dynamics there are no generic methods for planning trajectories and their feedback stabilization. For fully actuated mechanical systems, on the other hand, there are standard tools that provide a tractable solution. Still, the problem of generating efficient and optimal trajectories is nontrivial due to actuator limitations and motion-dependent velocity and acceleration constraints that are typically present. It is especially challenging for manipulators with kinematic redundancy. A generic approach for solving the above-mentioned problems is described in this work. We explicitly use the geometry of the state space of the mechanical system so that a synchronization of the generalized coordinates can be found in terms of geometric relations along the target motion with respect to a path coordinate. Hence, the time evolution of the state variables that corresponds to the target motion is determined by the system dynamics constrained to these geometrical relations, known as virtual holonomic constraints. Following such a reduction for underactuated mechanical systems, we arrive at integrable second-order dynamics associated with the passive degrees of freedom. Solutions of this reduced dynamics, together with the geometric relations, can be interpreted as a motion generator for the full system. For fully actuated mechanical systems the virtually constrained dynamics provides a tractable way of shaping admissible trajectories. Once a feasible target motion is found and the corresponding virtual holonomic constraints are known, we can describe dynamics transversal to the orbit in the state space and analytically compute a transverse linearization. This results in a linear time-varying control system that allows us to use linear control theory for achieving orbital stabilization of the nonlinear mechanical system as well as to conduct system analysis in the vicinity of the motion. The approach is applicable to continuous-time and impulsive mechanical systems irrespective of the degree of underactuation. The main contributions of this thesis are analysis of human movement regarding a nominal behavior for repetitive tasks, gait synthesis and stabilization for dynamic walking robots, and description of a numerical procedure for generating and stabilizing efficient trajectories for kinematically redundant manipulators.

Nature and its variety of motion forms have inspired new robot designs with inherentunderactuated dynamics. The fundamental characteristic of these controlled mechanicalsystems, called underactuated, is to have the number of actuators less than the number ofdegrees of freedom. The absence of full actuation brings challenges to planning feasibletrajectories and designing controllers. This is in contrast to classical fully-actuated robots.A particular problem that arises upon study of such systems is that of generating periodicmotions, which can be seen in various natural actions such as walking, running,hopping, dribbling a ball, etc. It is assumed that dynamics can be modeled by a classicalset of second-order nonlinear differential equations with impulse effects describing possibleinstantaneous impacts, such as the collision of the foot with the ground at heel strikein a walking gait. Hence, we arrive at creating periodic solutions in underactuated Euler-Lagrange systems with or without impulse effects. However, in the qualitative theory ofnonlinear dynamical systems, the problem of verifying existence of periodic trajectoriesis a rather nontrivial subject.The aim of this work is to propose systematic procedures to plan such motions and ananalytical technique to design orbitally stabilizing feedback controllers. We analyze andexemplify both cases, when the robotmodel is described just by continuous dynamics, andwhen continuous dynamics is interrupted from time to time by state-dependent updates.For trajectory planning, systems with one or two passive links are considered, forwhich conditions are derived to achieve periodicmotions by encoding synchronizedmovementsof all the degrees of freedom. For controller design we use an explicit form tolinearize dynamics transverse to the motion. This computation is valid for an arbitrarydegree of under-actuation. The linear system obtained, called transverse linearization, isused to analyze local properties in a vicinity of the motion, and also to design feedbackcontrollers. The theoretical background of these methods is presented, and developedin detail for some particular examples. They include the generation of oscillations forinverted pendulums, the analysis of human movements by captured motion data, and asystematic gait synthesis approach for a three-link biped walker with one actuator.

Die Arbeit ist der regelungstheoretischen Betrachtung von mechanischen Systemen mit mehr Freiheitsgraden als Stellgrößen gewidmet. Dabei werden Aspekte aus den Teilgebieten Modellbildung, Systemanalyse, Steuerungsentwurf und Reglerentwurf behandelt. Den Ausgangspunkt bilden die aus dem Lagrange-Formalismus resultierenden Bewegungsgleichungen, für welche neben verschiedene partiell linearisierten Zustandsdarstellungen auch eine spezielle Byrnes-Isidori-Normalform eingeführt wird. Im Unterschied zu einer früher vorgeschlagenen ähnliche Normalform existiert diese "Lagrange-Byrnes-Isidori-Normalform" immer. Weiterhin wird die bedeutende Eigenschaft der differentiellen Flachheit im Zusammenhang mit mechanischen Systemen untersucht. Die bestehende Lücke zwischen den bekannten notwendigen und hinreichenden Flachheitsbedingungen bildet die Motivation zur Anpassung der Regelflächenbedingung auf mechanische Systeme in Lagrange-Byrnes-Isidori-Normalform. Parallel dazu wird die Flachheitsanalyse auf Basis des sogenannten Variationssystems betrachtet. Dabei handelt es sich um ein System von 1-Formen, die durch Anwendung der äußeren Ableitung auf die impliziten Systemgleichungen entstehen. Äquivalent dazu können auch die in einer rechteckigen Polynommatrix bezüglich des Zeitableitungsoperators zusammengefassten Koeffizienten der Basisformen untersucht werden. Die Flachheit eines Systems ist nun gerade äquivalent zur Existenz einer unimodularen Vervollständigung dieser Matrix, welche zudem noch eine bestimmte Integrabilitätsbedingung erfüllen muss. Durch Anwendung des Satzes von Frobenius können aus diesen in der bisherigen Formulierung nur schwer überprüfbaren Bedingungen deutlich einfachere hergeleitet werden. Für den Eingrößenfall ergibt sich dadurch eine erheblich Verringerung des Rechenaufwandes im Vergleich zum Referenzansatz. Im Mehrgrößenfall ist die Situation komplizierter: Durch das Fallenlassen der Unimodularitätsforderung und die Ausnutzung der speziellen Struktur mechanischer Systeme erhält man eine neue notwendige Bedingung für Flachheit, welche sich in endlich vielen Schritten auswerten lässt. Allerdings konnte mit dieser die vermutete Nichtflachheit für die untersuchten mechanischen Beispielsysteme nicht nachgewiesen werden. Einen weiteren Untersuchungsgegenstand bildet das Konzept der Konfigurationsflachheit. Für diese Eigenschaft ist gefordert, dass ein flacher Ausgang existieren muss, der nur von den Konfigurationskoordinaten abhängt. Basierend auf theoretischen Überlungen und dem Fehlen von Gegenbeispielen wird die Hypothese aufgestellt, dass für konservative mechanische Systeme Flachheit und Konfigurationsflachheit äquivalent sind. Für lineare mechanische Systeme kann diese Hypothese mit Hilfe der Kronecker-Normalform von Matrizenscharen verifiziert werden. Bezüglich des Entwurfs von Solltrajektorien werden neben der Darstellung bekannter Verfahren für lineare und für flache Systeme zwei weitere Ansätze genauer diskutiert. Der erste basiert auf der numerischen Lösung des aus dem Steuerungsentwurf resultierenden Randwertproblems. Dazu wird ein angepasstes Kollokationsverfahren konstruiert, welches die Elimination von Systemgrößen durch die explizite Berücksichtigung von Integratorketten ermöglicht, die bei partiell linearisierten Systemen stets auftreten. Unter bestimmten Bedingungen bewirkt dies eine erhebliche Reduktion der Rechenzeit. Der zweite Ansatz betrachtet die Überführung zwischen zwei Ruhelagen und beruht auf der Zeitumkehrsymmetrie, die alle konservativen mechanischen Systeme aufweisen. Er besteht aus mehreren Schritten: Zunächst wird für beide Ruhelagen eine Rückführung mit möglichst großem Attraktivitätsgebiet entworfen. Danach wird das System simulativ ausgehend von der Zielruhelage in der Startruhelage stabilisiert. Die so erhaltene Eingangstrajektorie kann dann bezüglich der Zeit invertiert werden, um das System aus der Startruhelage in die Nähe der Zielruhelage zu überführen, wo schließlich der entsprechende Regler aktiviert wird. In praktischen Realisierungen von unteraktuierten Regelungssystemen treten auf Grund von Effekten wie trockener Reibung und Getriebespiel oft Dauerschwingungen mit schwer vorhersagbaren und beeinflussbaren Parametern auf. Als Alternative zur klassischen Stabilisierung einer (theoretischen) Ruhelage wird deshalb eine Rückführung hergeleitet, welche für ein gegebenes lineares System einen stabilen Grenzzyklus mit vorgebbarer Frequenz und Amplitude asymptotisch stabilisiert.

Die Arbeit ist der regelungstheoretischen Betrachtung von mechanischen Systemen mit mehr Freiheitsgraden als Stellgrößen gewidmet. Dabei werden Aspekte aus den Teilgebieten Modellbildung, Systemanalyse, Steuerungsentwurf und Reglerentwurf behandelt. Den Ausgangspunkt bilden die aus dem Lagrange-Formalismus resultierenden Bewegungsgleichungen, für welche neben verschiedene partiell linearisierten Zustandsdarstellungen auch eine spezielle Byrnes-Isidori-Normalform eingeführt wird. Im Unterschied zu einer früher vorgeschlagenen ähnliche Normalform existiert diese "Lagrange-Byrnes-Isidori-Normalform" immer. Weiterhin wird die bedeutende Eigenschaft der differentiellen Flachheit im Zusammenhang mit mechanischen Systemen untersucht. Die bestehende Lücke zwischen den bekannten notwendigen und hinreichenden Flachheitsbedingungen bildet die Motivation zur Anpassung der Regelflächenbedingung auf mechanische Systeme in Lagrange-Byrnes-Isidori-Normalform. Parallel dazu wird die Flachheitsanalyse auf Basis des sogenannten Variationssystems betrachtet. Dabei handelt es sich um ein System von 1-Formen, die durch Anwendung der äußeren Ableitung auf die impliziten Systemgleichungen entstehen. Äquivalent dazu können auch die in einer rechteckigen Polynommatrix bezüglich des Zeitableitungsoperators zusammengefassten Koeffizienten der Basisformen untersucht werden. Die Flachheit eines Systems ist nun gerade äquivalent zur Existenz einer unimodularen Vervollständigung dieser Matrix, welche zudem noch eine bestimmte Integrabilitätsbedingung erfüllen muss. Durch Anwendung des Satzes von Frobenius können aus diesen in der bisherigen Formulierung nur schwer überprüfbaren Bedingungen deutlich einfachere hergeleitet werden. Für den Eingrößenfall ergibt sich dadurch eine erheblich Verringerung des Rechenaufwandes im Vergleich zum Referenzansatz. Im Mehrgrößenfall ist die Situation komplizierter: Durch das Fallenlassen der Unimodularitätsforderung und die Ausnutzung der speziellen Struktur mechanischer Systeme erhält man eine neue notwendige Bedingung für Flachheit, welche sich in endlich vielen Schritten auswerten lässt. Allerdings konnte mit dieser die vermutete Nichtflachheit für die untersuchten mechanischen Beispielsysteme nicht nachgewiesen werden. Einen weiteren Untersuchungsgegenstand bildet das Konzept der Konfigurationsflachheit. Für diese Eigenschaft ist gefordert, dass ein flacher Ausgang existieren muss, der nur von den Konfigurationskoordinaten abhängt. Basierend auf theoretischen Überlungen und dem Fehlen von Gegenbeispielen wird die Hypothese aufgestellt, dass für konservative mechanische Systeme Flachheit und Konfigurationsflachheit äquivalent sind. Für lineare mechanische Systeme kann diese Hypothese mit Hilfe der Kronecker-Normalform von Matrizenscharen verifiziert werden. Bezüglich des Entwurfs von Solltrajektorien werden neben der Darstellung bekannter Verfahren für lineare und für flache Systeme zwei weitere Ansätze genauer diskutiert. Der erste basiert auf der numerischen Lösung des aus dem Steuerungsentwurf resultierenden Randwertproblems. Dazu wird ein angepasstes Kollokationsverfahren konstruiert, welches die Elimination von Systemgrößen durch die explizite Berücksichtigung von Integratorketten ermöglicht, die bei partiell linearisierten Systemen stets auftreten. Unter bestimmten Bedingungen bewirkt dies eine erhebliche Reduktion der Rechenzeit. Der zweite Ansatz betrachtet die Überführung zwischen zwei Ruhelagen und beruht auf der Zeitumkehrsymmetrie, die alle konservativen mechanischen Systeme aufweisen. Er besteht aus mehreren Schritten: Zunächst wird für beide Ruhelagen eine Rückführung mit möglichst großem Attraktivitätsgebiet entworfen. Danach wird das System simulativ ausgehend von der Zielruhelage in der Startruhelage stabilisiert. Die so erhaltene Eingangstrajektorie kann dann bezüglich der Zeit invertiert werden, um das System aus der Startruhelage in die Nähe der Zielruhelage zu überführen, wo schließlich der entsprechende Regler aktiviert wird. In praktischen Realisierungen von unteraktuierten Regelungssystemen treten auf Grund von Effekten wie trockener Reibung und Getriebespiel oft Dauerschwingungen mit schwer vorhersagbaren und beeinflussbaren Parametern auf. Als Alternative zur klassischen Stabilisierung einer (theoretischen) Ruhelage wird deshalb eine Rückführung hergeleitet, welche für ein gegebenes lineares System einen stabilen Grenzzyklus mit vorgebbarer Frequenz und Amplitude asymptotisch stabilisiert.