Cette thèse présente le développement d'un modèle numérique avancé, capable de simuler les interactions entre des vagues de surface de cambrure quelconque et des corps rigides immergés ayant des mouvements de grande amplitude. Fondé sur la théorie potentielle, il propose une résolution couplée de la dynamique vagues/structure par la méthode implicite de Van Daalen (1993), encore appelée méthode du potentiel d'accélération par Tanizawa (1995). La précision du modèle à deux dimensions est testée sur un ensemble d'applications impliquant le mouvement forcé ou libre d'un cylindre horizontal immergé, de section circulaire : diffraction par un cylindre fixe, radiation par un cylindre en mouvement forcé de grande amplitude, absorption des vagues par le cylindre de Bristol. Pour chaque application, les résultats numériques sont comparés à des résultats expérimentaux ou analytiques issus de la théorie linéaire, avec un bon accord en particulier pour les petites amplitudes de mouvement du cylindre et pour les vagues de faibles cambrures. La génération de vagues irrégulières et la prise en compte d'un second corps cylindrique immergé sont ensuite intégrées au modèle, et illustrées sur des applications pratiques avec des systèmes récupérateurs d'énergie des vagues simples. Enfin, le modèle est étendu en trois dimensions avec des premières applications au cas d'une sphère décrivant des mouvements de grande amplitude / This PhD is dedicated to the development of an advanced numerical model for simulating interactions between free surface waves of arbitrary steepness and rigid bodies in high amplitude motions. Based on potential theory, it solves the coupled dynamics of waves and structure with the implicit method by Van Daalen (1993), also named the acceleration potential method by Tanizawa (1995). The precision of this two-dimensional model is tested on a wide range of applications involving the forced motion or free motion of a submerged horizontal cylinder of circular cross-section : diffraction by a fixed cylinder, radiation by a cylinder in specified high amplitude motions, wave absorption by the Bristol cylinder. In each of these applications, numerical results are compared to experimental data or analytical solutions based on the linear wave theory, with a good agreement especially for small amplitude motions of the cylinder and small wave steepnesses. The irregular wave generation by a paddle and the possibility to add an extra circular cylinder are integrated in the model and illustrated on practical applications with simple wave energy converters. The model is finally extended to three dimensions, with preliminary results for a sphere in large amplitude heaving oscillations

Pour réaliser des simulations précises aux temps longs pour des vagues non linéaires, il faut faire appel à des algorithmes d'évolution temporelle précis. En particulier, la combinaison d'un pas de temps adaptatif avec un facteur intégrant est connue pour être très efficace. Nous proposons une modification de cette technique. Le principe consiste à soustraire un certain polynôme à une EDP. Puis, comme pour le facteur intégrant, nous faisons un changement de variable pour retirer la partie linéaire. Mais nous espérons retirer quelque chose de plus afin de rendre l'EDP moins raide pour les calculs numériques. Le polynôme choisi est une expansion de Taylor autour du temps initial de la solution. Afin de calculer les différentes dérivées nécessaires, nous utilisons le Dense Output qui donne la possibilité d'approximer les dérivées de la solution à tout temps. Une fois le facteur intégrant modifié appliqué, nous faisons appel à une avance temporelle classique afin de résoudre l'équation d'évolution. Il a été considéré plusieurs schémas de Runge-Kutta avec pas de temps adaptatif. Nous avons tiré avantage des méthodes emboîtées, afin de ne pas calculer de nouvelles fonctions et perdre du temps de calcul, en utilisant uniquement des données déjà calculées durant l'évolution temporelle. Les résultats numériques montrent que l'efficacité de notre méthode varie selon les cas. Par exemple, nous avons vérifié que plus le profil de l'onde est pentue, plus notre méthode est efficace. Pour le modèle de vagues non linéaires le plus compliqué à notre disposition, le modèle HOS, nous avons pu réduire le nombre de pas de temps de calcul jusqu'à près de 30 % avec un schéma de Runge-Kutta de Dormand-Prince et jusqu'à plus de 99 % pour un schéma de Bogacki-Shampine.

Au cours de cette thèse, un modèle potentiel résolvant les équations d’Euler-Zakharov a été développé dans le but de simuler la propagation de vagues et d’états de mer irréguliers et multi-directionnels, du large jusqu’à la côte, sur des bathymétries variables. L’objectif est de représenter les effets non-linéaires et dispersifs le plus précisément possible pour des domainescôtiers bidimensionnels (dans le plan horizontal) de l’ordre de quelques kilomètres.La version 1DH initiale du modèle, résolvant le problème aux limites de Laplace à l’aide de schémas aux différences finies d’ordre élevé dans la direction horizontale combinés à une approche spectrale sur la verticale, a été améliorée et validée. L’implémentation de conditions aux limites de type Dirichlet et Neumann pour générer des vagues dans le domaine a été étudiée en détail. Dans la pratique, une zone de relaxation a été utilisée en complément deces conditions pour améliorer la stabilité du modèle.L’expression analytique de la relation de dispersion a été établie dans le cas d’un fond plat. Son analyse a montré que la représentation des effets dispersifs s’améliorait significativement avec l’augmentation de la résolution sur la direction verticale (i.e. avec le degré maximal de la basede polynômes de Tchebyshev utilisée pour projeter le potentiel des vitesses sur la verticale).Une étude de convergence menée pour des ondes solitaires modérément à fortement non-linéaires a confirmé la convergence exponentielle avec la résolution verticale grâce à l’approche spectrale, ainsi que les convergences algébriques en temps et en espace sur l’horizontale avec des ordres d’environ 4 (ou plus) en accord avec les schémas numériques utilisés.La comparaison des résultats du modèle à plusieurs jeux de données expérimentales a démontré les capacités du modèle à représenter les effets non-linéaires induits par les variations de bathymétrie, notamment les transferts d’énergie entre les composantes harmoniques, ainsi que la représentation précise des propriétés dispersives. Une formulation visco-potentielle a également été implémentée afin de prendre en compte les effets visqueux induits par la dissipation interne et le frottement sur le fond. Cette formulation a été validée dans le cas d’une faible viscosité avec un fond plat ou présentant une faible pente.Dans le but de représenter des champs de vagues 2DH, le modèle a été étendu en utilisant une discrétisation non-structurée (par nuage de points) du plan horizontal. Les dérivées horizontales ont été estimées à l’aide de la méthode RBF-FD (Radial Basis Function-Finite Difference), en conservant l’approche spectrale sur la verticale. Une étude numérique de sensibilité a été menée afin d’évaluer la robustesse de la méthode RBF-FD, en comparant différents types de RBFs, avec ou sans paramètre de forme et l’ajout éventuel d’un polynôme. La version 2DH du modèle a été utilisée pour simuler deux expériences en bassin, validant ainsi l’approche choisie et démontrant son applicabilité pour simuler la propagation 3D des vagues faisant intervenir des effets non-linéaires. Dans le but de réduire le temps de calcul et de pouvoir appliquer le code à des simulations sur de grands domaines, le code a été modifié pour utiliser le solveur linéaire direct en mode parallèle / In this work, a potential flow model based on the Euler-Zakharov equations was developed with the objective of simulating the propagation of irregular and multidirectional sea states from deep water conditions to the coast over variable bathymetry. A highly accurate representation of nonlinear and dispersive effects for bidimensional (2DH) nearshore and coastal domains on the order of kilometers is targeted.The preexisting 1DH version of the model, resolving the Laplace Boundary Value problem using a combination of high-order finite difference schemes in the horizontal direction and a spectral approach in the vertical direction, was improved and validated. The generation of incident waves through the implementation of specific Dirichlet and Neumann boundary conditions was studied in detail. In practice, these conditions were used in combination witha relaxation zone to improve the stability of the model.The linear dispersion relation of the model was derived analytically for the flat bottom case. Its analysis showed that the accuracy of the representation of dispersive effects improves significantly by increasing the vertical resolution (i.e. the maximum degree of the Chebyshev polynomial basis used to project the potential in the vertical). A convergence study conducted for moderate to highly nonlinear solitary waves confirmed the exponential convergence in the vertical dimension owing to the spectral approach, and the algebraic convergence in time and in space (horizontal dimension) with orders of about 4 (or higher) in agreement with the numerical schemes used.The capability of the model to represent nonlinear effects induced by variable bathymetry, such as the transfer of energy between harmonic components, as well as the accurate representation of dispersive properties, were demonstrated with comparisons to several experimental data sets. A visco-potential flow formulation was also implemented to take into account viscous effects induced by bulk viscosity and bottom friction. This formulation was validated inthe limit of small viscosity for mild slope bathymetries.To represent 2DH wave fields in complex nearshore domains, the model was extended using an unstructured discretization (scattered nodes) in the horizontal plane. The horizontal derivatives were estimated using the RBF-FD (Radial Basis Function - Finite Difference) method, while the spectral approach in the vertical remained unchanged. A series of sensitivity tests were conducted to evaluate numerically the robustness of the RBF-FD method, including a comparison of a variety of RBFs with or without shape factors and augmented polynomials. The 2DH version of the model was used to simulate two wave basin experiments, validating the approach and demonstrating the applicability of this method for 3D wave propagation, including nonlinear effects. As an initial attempt to improve the computational efficiency ofthe model for running simulations of large spatial domains, the code was adapted to use a parallelized direct linear solver

Pour réaliser des simulations précises aux temps longs pour des vagues non linéaires, il faut faire appel à des algorithmes d’évolution temporelle précis. En particulier, la combinaison d’un pas de temps adaptatif avec un facteur intégrant est connue pour être très efficace. Nous proposons une modification de cette technique. Le principe consiste à soustraire un certain polynôme à une EDP. Puis, comme pour le facteur intégrant, nous faisons un changement de variable pour retirer la partie linéaire. Mais nous espérons retirer quelque chose de plus afin de rendre l’EDP moins raide pour les calculs numériques. Le polynôme choisi est une expansion de Taylor autour du temps initial de la solution. Afin de calculer les différentes dérivées nécessaires, nous utilisons le Dense Output qui donne la possibilité d’approximer les dérivées de la solution à tout temps. Une fois le facteur intégrant modifié appliqué, nous faisons appel à une avance temporelle classique afin de résoudre l’équation d’évolution. Il a été considéré plusieurs schémas de Runge-Kutta avec pas de temps adaptatif. Nous avons tiré avantage des méthodes emboîtées, afin de ne pas calculer de nouvelles fonctions et perdre du temps de calcul, en utilisant uniquement des données déjà calculées durant l’évolution temporelle. Les résultats numériques montrent que l’efficacité de notre méthode varie selon les cas. Par exemple, nous avons vérifié que plus le profil de l’onde est pentue, plus notre méthode est efficace. Pour le modèle de vagues non linéaires le plus compliqué à notre disposition, le modèle HOS, nous avons pu réduire le nombre de pas de temps de calcul jusqu’à près de 30 % avec un schéma de Runge-Kutta de Dormand-Prince et jusqu’à plus de 99 % pour un schéma de Bogacki-Shampine. / Efficient time stepping algorithms are crucial for accurate long time simulations of nonlinear waves. In particular, adaptive time stepping combined with an integrating factor are known to be very effective. We propose a modification of the existing technique. The trick consists in subtracting a certain-order polynomial to a PDE. Then, like for the integrating factor, a change of variables is performed to remove the linear part. But, here, we hope to remove something more to make the PDE less stiff to numerical resolution. The polynomial is chosen as a Taylor expansion around the initial time of the solution. In order to calculate the different derivatives, we use a dense output which gives a possibility to approximate the derivatives of the solution at any time. The modified integrating factor being applied, a classical time-stepping method can be used to solve the remaining equation. We focus on various Runge-Kutta schemes with a varying step size. We take advantage of embedded methods and use an evolved adaptive step control. We do not need to calculate new functions and loose time of calculation only by using already estimated values during the temporal evolution. Numerical tests show that the actual efficiency of the method varies along cases. For example, we verified that steeper waves profiles give rise to better behaviour of the method. For fully nonlinear water wave simulations with the HOS model, we can save up to 30% of total time steps with a Dormand-Prince Runge-Kutta scheme and we can save up to 99% with the Bogacki-Shampine scheme.