Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le point de départ de cette thèse est la conjecture de Bieberbach : sa démonstration par De Branges utilise deux ingrédients, à savoir la théorie de Loewner des domaines plans croissants et une inégalité de Milin qui concerne les coefficients logarithmiques. Nous commençons par étudier les coefficients logarithmiques du whole-plane SLE en utilisant une méthode combinatoire, assistée par ordinateur. Nous retrouvons les résultats en utilisant une équation aux dérivées partielles analogue à celle obtenue par Beliaev et Smirnov. Nous généralisons ces résultats en définissant le spectre généralisé du whole-plane SLE, que nous calculons par la même méthode, à savoir en dérivant, par le calcul d’Itô, une EDP parabolique satisfaite par les quantités que nous moyennons. Cette famille à deux paramètres d’EDP admet une riche structure algébrique que nous étudions en détail. La dernière partie de la thèse concerne l’opérateur de Grunsky et ses généralisations. Plus expérimentale, nous y mettons à jour, grâce à un logiciel de calcul formel, une structure assez complexe dont nous avons commencé l’exploration. / The starting point of this thesis is Bieberbach’s conjecture: its proof, given by De Branges, uses two ingredients, namely Loewner’s theory of increasing plane domains and an inequality from Milin about the logarithmic coefficients. We start with a study of the logarithmic coefficients of the whole-plane SLE by using a combinatorial method, assisted by computer. We find the results by using a partial differential equation similar to that obtained by Beliaev and Smirnov. We generalize these results by defining the generalized spectrum of the whole-plane SLE, that we calculate by the same method, namely by deriving, thanks to Itô calculus, a parabolic PDE satisfied by the quantities of which we take the average. This two-parameter family of PDEs admits a rich algebraic structure that we study in detail. The last part of this thesis is about the Grunsky operator and its generalizations. In this part that is more experimental we update, thanks to a computer algebra system, a rather complex structure of which we began the exploration.

Soit f une instance du whole-plane $\SLE_\kappa$ : on sait que pour certaines valeurs de κ, p les moments dérivés $\mathbb{E}(\vert f'(z) \vert^p)$ peuvent être écrits sous une forme fermée, étude qui a permis de mettre au jour une nouvelle phase du spectre des moyennes intégrales. Le but de cette thèse est une étude des moments généralisés $\frac{\vert f'(z) \vert^p}{\vert f(z) \vert^q}$ : cette étude permet de confirmer la structure algébrique riche du whole-plane SLE. On montre que les formes fermées des moments mixtes $\mathbb{E}\big(\frac{\vert f'(z) \vert^p}{\vert f(z) \vert^q}\big)$ apparaissent sur une famille dénombrable de paraboles du plan (p, q), en étendant les équations de Beliaev-Smirnov à ce cas. Nous introduisons également le spectre généralisé β(p, q; κ), correspondant au comportement asymptotiques des moyennes intégrales mixtes. Le spectre généralisé moyen du whole-plane SLE prend quatre formes possibles, séparés par cinq séparatrices dans $\R^2$. Nous proposons également une approche semblable pour la dérivée Schwarziene S(f)(z) de l’application de SLE. Les calculs sur les équations de Beliaev-Smirnov d’une certaine générale forme de moment mène à une formulation explicite de $\mathbb{E}(S(f)(z))$ . Nous étudions finalement la variance asymptotique de McMullen et démontrons une relation entre la croissance infinitésimale du spectre de la moyenne intégrale et la variance asymptotique pour SLE₂. / Let f an instance of the whole-plane $\SLE_\kappa$ conformal map from the unit disk D to the slit plane: We know that for certain values of κ, p the derivative moments $\mathbb{E}(\vert f'(z) \vert^p)$ can be written in a closed form, study that has updated a new phase of the integral means spectrum. The goal of this thesis is a study on generalized moments $\frac{\vert f'(z) \vert^p}{\vert f(z) \vert^q}$ : ΒββThis study permit confirm the rich algebraic structure of the whole-plane version of SLE. It will be showed that closed forms of the mixed moments E mixtes $\mathbb{E}\big(\frac{\vert f'(z) \vert^p}{\vert f(z) \vert^q}\big)$ can be obtained on a countable family of parabolas in the moment plane (p, q), by extending the so-called Beliaev–Smirnov equation to this case. We also introduce the generalized integral means spectrum, β(p, q; κ), corresponding to the singular behavior of the mixed moments. The average generalized spectrum of whole-plane SLE takes four possible forms, separated by five phase transition lines in $\R^2$. We also propose a similar approach for the Schwarzian derivative S(f)(z) of SLE maps. Computations on the Beliaev–Smirnov equation of a certain general form of moment lead to an explicit formula of $\mathbb{E}(S(f)(z))$ . We finally study the McMullen asymptotic variance and prove a relation between the infinitesimal growth of the integral mean spectrum and the asymptotic variance in an expectation sense for SLE₂.

Les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) utilisent généralement des chaînes de Markov réversibles. Jusqu’à récemment, une grande partie de la recherche théorique sur les chaînes de Markov concernait ce type de chaînes, notamment les théorèmes de Peskun (1973) et de Tierney (1998) qui permettent d’ordonner les variances asymptotiques de deux estimateurs issus de chaînes réversibles différentes. Dans ce mémoire nous analysons des algorithmes simulants des chaînes qui ne respectent pas cette condition. Nous parlons alors de chaînes non réversibles. Expérimentalement, ces chaînes produisent souvent des estimateurs avec une variance asymptotique plus faible et/ou une convergence plus rapide. Nous présentons deux algorithmes, soit l’algorithme de marche aléatoire guidée (GRW) par Gustafson (1998) et l’algorithme de discrete bouncy particle sampler (DBPS) par Sherlock et Thiery (2017). Pour ces deux algorithmes, nous comparons expérimentalement la variance asymptotique d’un estimateur avec la variance asymptotique en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. Récemment, un cadre théorique a été introduit par Andrieu et Livingstone (2019) pour ordonner les variances asymptotiques d’une certaine classe de chaînes non réversibles. Nous présentons leur analyse de GRW. De plus, nous montrons que le DBPS est inclus dans ce cadre théorique. Nous démontrons que la variance asymptotique d’un estimateur peut théoriquement diminuer en ajoutant des propositions à cet algorithme. Finalement, nous proposons deux modifications au DBPS. Tout au long du mémoire, nous serons intéressés par des chaînes issues de propositions déterministes. Nous montrons comment construire l’algorithme du delayed rejection avec des fonctions déterministes et son équivalent dans le cadre de Andrieu et Livingstone (2019). / Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods commonly use chains that respect the detailed balance condition. These chains are called reversible. Most of the theory developed for MCMC evolves around those particular chains. Peskun (1973) and Tierney (1998) provided useful theorems on the ordering of the asymptotic variances for two estimators produced by two different reversible chains. In this thesis, we are interested in non-reversible chains, which are chains that don’t respect the detailed balance condition. We present algorithms that simulate non-reversible chains, mainly the Guided Random Walk (GRW) by Gustafson (1998) and the Discrete Bouncy Particle Sampler (DBPS) by Sherlock and Thiery (2017). For both algorithms, we compare the asymptotic variance of estimators with the ones produced by the Metropolis- Hastings algorithm. We present a recent theoretical framework introduced by Andrieu and Livingstone (2019) and their analysis of the GRW. We then show that the DBPS is part of this framework and present an analysis on the asymptotic variance of estimators. Their main theorem can provide an ordering of the asymptotic variances of two estimators resulting from nonreversible chains. We show that an estimator could have a lower asymptotic variance by adding propositions to the DBPS. We then present empirical results of a modified DBPS. Through the thesis we will mostly be interested in chains that are produced by deterministic proposals. We show a general construction of the delayed rejection algorithm using deterministic proposals and one possible equivalent for non-reversible chains.