Neste trabalho propomos um modelo de mercado através de uma discretização aleatória do movimento browniano proposta por Leão & Ohashi (2010). Com este modelo, dada uma função payoff, vamos desenvolver uma estratégia de hedging e uma metodologia para precificação de opções / In this work we propose a market model using a discretization scheme of the random Brownian motion proposed by Leão & Ohashi (2010). With this model, for any given payoff function, we develop a hedging strategy and a methodology to option pricing

Abstract Quality control is an essential part of manufacturing, and the different properties of the products can be tested with standardized methods. If the decision of qualification is based on only one test specimen representing a batch of products, the testing procedure is quite straightforward. However, when the measured property has a high variability within the product, as usual, several test specimens are needed for the quality verification. When a quality property is predicted, the response value of the model that most effectively finds the critical observations should naturally be selected. In this thesis, it has been shown that LIB-transformation (Larger Is Better) is a suitable method for multiple test samples, because it effectively recognizes especially the situations where one of the measurements is very low. The main contribution of this thesis is to show how to model quality of phenomena that consist of several measurement samples for each observation. The process contains several steps, beginning from the selection of the model type. Prediction of the exceedance probability provides more information for the decision making than that of the mean. Especially with the selected application, where the quality property has no optimal value, but the interest is in adequately high value, this approach is more natural. With industrial applications, the assumption of constant variance should be analysed critically. In this thesis, it is shown that exceedance probability modelling can benefit from the use of an additional variance model together with a mean model in prediction. The distribution shape modelling improves the model further, when the response variable may not be Gaussian. As the proposed methods are fundamentally different, the model selection criteria have to be chosen with caution. Different methods for model selection were considered and commented, and EPS (Exceedance Probability Score) was chosen, because it is most suitable for probability predictors. This thesis demonstrates that especially a process with high diversity in its production and more challenging distribution shape gains from the deviation modelling, and the results can be improved further with the distribution shape modelling. / Tiivistelmä Laadunvalvonnalla on keskeinen rooli teollisessa tuotannossa. Valmistettavan tuotteen erilaisia ominaisuuksia mitataan standardin mukaisilla testausmenetelmillä. Testi on yksinkertainen, jos tuotteen laatu varmistetaan vain yhdellä testikappaleella. Kun testattava ominaisuus voi saada hyvin vaihtelevia tuloksia samastakin tuotteesta, tarvitaan useita testikappaleita laadun varmistamiseen. Tuotteen laatuominaisuuksia ennustettaessa valitaan malliin vastemuuttuja, joka tehokkaimmin tunnistaa laadun kannalta kriittiset havainnot. Tässä väitöskirjassa osoitetaan, että LIB-transformaatio (Large Is Better) tunnistaa tehokkaasti erityisesti tilanteet, joissa yksi mittauksista on hyvin matala. Tämän väitöskirja vastaa kysymykseen, kuinka mallintaa laatua, kun tutkittavasta tuotteesta tarvitaan useita testinäytteitä. Mallinnusprosessi koostuu useista vaiheista alkaen mallityypin valinnasta. Alitusriskin mallinnuksen avulla saadaan enemmän informaatiota päätöksenteon tueksi perinteisen odotusarvomallinnuksen sijaan, etenkin jos laatutekijältä vaaditaan vain riittävän hyvää tasoa optimiarvon sijaan. Teollisissa sovelluksissa ei voida useinkaan olettaa, että vasteen hajonta olisi vakio läpi prosessin. Tässä väitöskirjassa osoitetaan että alitusriskin ennustamistarkkuus paranee, kun odotusarvon lisäksi mallinnetaan myös hajontaa. Jakaumamuodon mallilla voidaan parantaa ennustetarkkuutta silloin, kun vastemuuttuja ei noudata Gaussin jakaumaa. Koska ehdotetut mallit ovat perustaltaan erilaisia, täytyy myös mallin valintakriteeri valita huolella. Työssä osoitetaan, että EPS (Exceedance Probability Score) toimii parhaiten käytetyillä todennäköisyyttä ennustavilla malleilla. Tässä väitöskirjassa osoitetaan, että erityisesti silloin kun tuotantoprosessi on monimuotoinen ja laatumuuttujan jakaumamuoto on haastava, mallinnuttaminen hyötyy hajontamallin käytöstä, ja tuloksia voidaan parantaa jakaumamuodon mallilla.

Dans le monde économique, les contrats d'options sont très utilisés car ils permettent de se couvrir contre les aléas et les risques dus aux fluctuations des prix des actifs sous-jacents. La détermination du prix de ces contrats est d'une grande importance pour les investisseurs.Dans cette thèse, on s'intéresse aux problèmes d'évaluation des options, en particulier les options Européennes et Quanto sur un actif financier dont le prix est modélisé en multi dimensions par un modèle de diffusion-saut à volatilité stochastique avec sauts (1er cas considère la volatilité sans sauts, dans le 2ème cas les sauts sont pris en compte, finalement dans le 3ème cas, l'actif sous-jacent est sans saut et la volatilité suit un CEV modèle sans saut). Ce modèle permet de mieux prendre en compte certains phénomènes observés dans les marchés. Nous développons des méthodes numériques qui déterminent les valeurs des prix de ces options. On présentera d'abord le modèle qui s'écrit sous la forme d'un système d'équations intégro-différentielles stochastiques "EIDS", et on étudiera l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle en fonction de ses coefficients, puis on établira le lien entre le calcul du prix de l'option et la résolution de l'équation Intégro-différentielle partielle (EIDP). Ce lien, qui est basé sur la notion des générateurs infinitésimaux, nous permet d'utiliser différentes méthodes numériques pour l'évaluation des options considérées. Nous introduisons alors l'équation variationnelle associée aux EIDP et démontrons qu'elle admet une unique solution dans un espace de Sobolev avec poids en s'inspirant des travaux de Zhang [106].Nous nous concentrons ensuite sur l'approximation numérique du prix de l'option en considérant le problème dans un domaine borné, et nous utilisons pour la résolution numérique la méthode des éléments finis de type (P1), et un schéma d'Euler-Maruyama, pour se servir, d'une part de la méthode de différences finies en temps, et d'autre part de la méthode de Monté Carlo et la méthode Quasi Monte Carlo. Pour cette dernière méthode nous avons utilisé les suites de Halton afin d'améliorer la vitesse de convergence.Nous présenterons une étude comparative des différents résultats numériques obtenus dans plusieurs cas différents afin d'étudier la performance et l'efficacité des méthodes utilisées. / In the modern economic world, the options contracts are used because they allow to hedge against the vagaries and risks refers to fluctuations in the prices of the underlying assets. The determination of the price of these contracts is of great importance for investors.We are interested in problems of options pricing, actually the European and Quanto options on a financial asset. The price of that asset is modeled by a multi-dimentional jump diffusion with stochastic volatility. Otherwise, the first model considers the volatility as a continuous process and the second model considers it as a jump process. Finally in the 3rd model, the underlying asset is without jump and volatility follows a model CEV without jump. This model allow better to take into account some phenomena observed in the markets. We develop numerical methods that determine the values of prices for these options. We first write the model as an integro-differential stochastic equations system "EIDS", of which we study existence and unicity of solutions. Then we relate the resolution of PIDE to the computation of the option value. This link, which is based on the notion of infinitesimal generators, allows us to use different numerical methods. We therefore introduce the variational equation associated with the PIDE, and drawing on the work of Zhang [106], we show that it admits a unique solution in a weights Sobolev space We focus on the numerical approximation of the price of the option, by treating the problem in a bounded domain. We use the finite elements method of type (P1), and the scheme of Euler-Maruyama, for this serve, on the one hand the finite differences method in time, and on the other hand the method of Monte Carlo and the Quasi Monte Carlo method. For this last method we use of Halton sequences to improve the speed of convergence.We present a comparative study of the different numerical results in many different cases in order to investigate the performance and effectiveness of the used methods.