Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes. / Tesis

Se estudian las variedades que son invariantes por algún campo vectorial analítico en el espacio de gérmenes (Cn, 0), n ≥ 2. Específicamente, si la parte lineal de un campo vectorial en (Cn, 0) no es nilpotente y tiene dos paquetes de autovalores R y S, respectivamente, se establece entonces una condición de no-resonancia para garantizar la existencia de variedades que incluyen el punto singular del campo, pero son formalmente lisas. En este contexto, se busca establecer condiciones su cientes que garanticen la convergencia de éstas variedades, esto constituye una generalización del conocido teorema de Briot-Bouquet y es el propósito principal de este trabajo. Cabe señalar que este trabajo está basado en el artículo [CS+14], publicado por F. Sanz y S. A. Carrillo. / Manifolds that are invariant by some analytic vector field in the germ space (Cn, 0), n ≥ 2 are studied. Specifically, if the linear part of a vector field in (Cn, 0) is not nilpotent and two eigenvalue packages have R and S respectively, a non-resonance condition is established for guarantee the existence of varieties that include the singular point of the field, but they are formally smooth. In this context, it seeks to establish conditions sufficient to guarantee the convergence of these varieties, this constitutes a generalization of the well-known Briot-Bouquet theorem and is the purpose main of this work. It should be noted that this work is based on the article [CS+14], published by F. Sanz and S. A. Carrillo.

Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes. / Tesis