Reziumė Disertacijoje nagrinėjamos atsitiktinių keitinių problemos yra priskirtinos tikimybinei kombinatorikai. Gauti rezultatai aprašo visiškai adityviųjų funkcijų, apibrėžtų simetrinėje grupėje, reikšmių asimptotinius skirstinius Evenso tikimybinio mato atžvilgiu, kai grupės eilė neaprėžtai didėja. Išvestos adityviųjų funkcijų laipsninių ir faktorialinių momentų formulės. Funkcijų, išreiškiančių atsitiktinio keitinio ciklų su bet kokiais apribojimais skaičius, atveju rastos būtinos ir pakankamos ribinių tikimybinių dėsnių egzistavimo sąlygos. Išsamiai išnagrinėtas konvergavimas į Puasono, quasi-Puasono, Bernulio, binominio ir kitus skirstinius, sukoncentruotus sveikųjų neneigiamų skaičių aibėje. Rezultatai apibendrinti sveikareikšmių visiškai adityviųjų funkcijų klasėje. Darbe įrodytas bendras silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis, rastos būtinos ir pakankamos adityviųjų funkcijų sekų pasiskirstymo funkcijų konvergavimo į išsigimusį nuliniame taške dėsnį egzistavimo sąlygos. Sprendžiamos problemos yra susietos su tikimybiniais vektorių, turinčių sveikąsias neneigiamas koordinates, uždaviniais. Adicinėje tokių vektorių pusgrupėje išnagrinėti multiplikatyviųjų funkcijų vidurkiai tikimybinio mato, vadinamo Evanso atrankos formule, atžvilgiu. Gauti tikslūs viršutinieji ir apatinieji įverčiai. Iš jų išplaukia svarbios atsitiktinių keitinių tikimybių savybės. Disertacijoje plėtojami faktorialinių momentų ir kiti kombinatoriniai bei tikimybiniai metodai. / In the thesis the examining problems of random permutations are attributed to the probabilistic combinatorics. Obtained results describe asymptotical distributions of completely additive functions values defined on a symmetric group with respect to Ewens probability measure, if the group order unbounded increases. Power and factorial moments formulae of additive functions are derived. There are established necessary and sufficient conditions under which the distributions of a number of cycles with restricted lengths obey the limit probability laws. The convergence to the Poisson, quasi-Poisson, Bernoulli, binomial and other distributions, defined on the positive whole - number set are exhaustively investigated. The results are generalized on the class of whole - number completely additive functions. The general weak law of large numbers is proved in the thesis, necessary and sufficient existence conditions, under which the distributions of the sequences of additive functions converge to the degenerate at the point zero limit law are established. Examining problems are related to the probability tasks of the vectors, which have whole - numbered nonnegative coordinates. The mean values of multiplicative functions defined on those vectors’ additive semigroup with respect to the Ewens measure, called Ewens Sampling Formula, and investigated. Lower and upper sharp estimates are obtained. From the latter results follow important probabilities’ properties of random... [to full text]

This report focus upon implied volatility for American styled Asian options, and a least squares approximation method as a way of estimating its magnitude. Asian option prices are calculated/approximated based on Quasi-Monte Carlo simulations and least squares regression, where a known volatility is being used as input. A regression tree then empirically builds a database of regression vectors for the implied volatility based on the simulated output of option prices. The mean squared errors between imputed and estimated volatilities are then compared using a five-folded cross-validation test as well as the non-parametric Kruskal-Wallis hypothesis test of equal distributions. The study results in a proposed semi-parametric model for estimating implied volatilities from options. The user must however be aware of that this model may suffer from bias in estimation, and should thereby be used with caution.

Generating functions express a sequence as coefficients arising from a power series in variables. They have many applications in combinatorics and probability. In this paper, we will investigate the important properties of four kinds of generating functions in one variables: ordinary generating unction, exponential generating function, probability generating function and moment generating function. Many examples with applications in combinatorics and probability, will be discussed. Finally, some well-known contest problems related to generating functions will be addressed.