Cette thèse est consacrée à l’étude de certains processus affines d’un point de vue théorique ainsi que appliqué par le biais d’applications en mathématiques actuarielles. Les processus affines sont des processus markoviens homogènes dont la transformée de Laplace du semi-groupe admet une structure exponentielle affine en son état initial. En vertu de leur riche structure, ces processus trouvent de nombreuses applications en biologie, physique et en mathématique de l’économie. Dans le chapitre 1, nous considérons les processus CBI (Continuous state Branching with Immigration) qui correspondent à un exemple de processus affines à valeurs dans la demi- droite réelle positive. Notre objectif dans ce chapitre consiste à étudier la transformée de Laplace du temps d’atteinte de ces processus à un niveau donné. Notre approche est basée sur un récent développement de Patie and Vigon [2015] concernant la théorie du potentiel pour la classe des processus de Markov complètement asymétriques à valeurs dans la droite réelle. Dans un premier temps, cette approche originale nous permet de donner une expression pour la transformée de Laplace du premier temps d’atteinte d’un niveau qui se trouve en dessous du point de départ du processus et ainsi de retrouver par une approche plus générale le résultat récemment obtenu par Duhalde et al. [2014]. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons au cas où le niveau à atteindre se trouve au-dessus du point de départ du processus. Dans ce cadre, la situation est plus compliquée puisque le processus admet des sauts positifs. Néanmoins, nous sommes capable de donner une expression pour la transformée de Laplace de ce temps d’atteinte. Dans le chapitre 2, nous considérons les processus Wishart qui correspondent à un exemple de processus affines à valeurs dans le cône des matrices symétriques semi-définies positives. Plus précisément, nous considérons des processus de Wishart sans retour à la moyenne et nous étudions le problème de déterminer le plus petit instant tel que la transformée de Laplace du processus et/ou son intégrale devienne infinie. Le problème de déterminer le domaine maximal d’existence d’une transformée de Laplace est une préoccupation importante et cruciale, pas seulement d’un point de vue théorique, mais surtout pour des raisons pratiques liées à l’implémentation numérique. Sous une faible hypothèse de commutativité, nous obtenons le temps d’explosion de la transformée de Laplace jointe. Cette hypothèse disparaît lorsque l’on s’intéresse aux temps d’explosion de la transformée de Laplace de l’intégrale du processus ou du processus seul. De plus, nous expliquons le comportement du temps d’explosion en terme du rôle de la corrélation entre les facteurs positifs, ce qui va au-delà des résultats unidimensionnels que l’on peut retrouver dans la littérature. Dans le chapitre 3, nous considérons des modèles affines où une structure de dépendance entre les taux de mortalité et d’intérêt existe. Nous nous concentrons sur deux sortes de modèles. Le premier modèle suppose que les dynamiques de la mortalité et du processus de taux d’intérêt sont conduits par un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) multidimensionnel et le second par un processus de Wishart. Dans ce contexte, nos objectifs consistent à déterminer des formules pour les prix de certains contrats d’assurance tels que les options annuités garanties ainsi que d’étudier l’influence d’une structure de dépendance sur ces prix. En suivant la méthodologie introduite par Jalen and Mamon [2009], nous commençons par dériver une formule pour le prix de ces contrats. Ensuite, nous étudions la sensibilité du prix de ces contrats par rapport à la structure de dépendance entre les taux de mortalité et d’intérêt. Nous observons que dans un modèle affine général comme le modèle de Wishart qui permet de reproduire une structure de dépendance stochastique et plus riche entre les taux de mortalité et d’intérêt, plusieurs scénarios pour les prix peuvent être reproduits. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Des nombreux aspects des fonds de pension, nous nous intéressons ici à leur modélisation et à l'organisation des systèmes de retraites dans le monde. Dans une première partie, nous présentons les différentes organisations de systèmes de retraites et la modélisation des fonds de pension en général suivie de la modélisation dynamique discrète avec la modélisation statique comme cas particulier de la discrète. Ainsi, nous constatons que les différents systèmes de retraites sont caractérisés par une grande diversité, mais restent néanmoins regroupés sous trois grands groupes qui se croisent souvent. Ce sont : les retraites par répartition, les retraites par capitalisation et les retraites par subvention. Nous introduisons la modélisation des systèmes de retraites par capitalisation en commençant par donner une vision générale incorporant une typologie des risques de fonds de pension. Nous présentons ensuite les méthodes pratiques et courantes de la modélisation en temps discret. La deuxième partie de la thèse accueille les développements de la modélisation en temps continu. Dans une économie dynamique et un marché non nécessairement complet, avec une expression stochastique des évolutions de l'inflation et des prix, nous usons du zéro-coupon nominal et du zéro-coupon indexé sur les prix de la consommation. Grâce aux outils et principes des assurances, des valeurs actuarielles des flux continus de cotisations et pensions sont fournies. Tout en faisant le lien avec les résultats issus de la littérature, nous appuyons, aussi bien en première partie qu'en deuxième, les portefeuilles optimaux de fonds de pension avec leurs probabilités de ruine, par des illustrations à travers des exemples concrets et des simulations numériques.