This thesis is concerned with a very broad aspect of adjoint equations. It is not my intention to treat the solution of adjoint equations but rather to state and prove some of the more interesting theorems. Because of the necessity of so many concepts and definitions,Chapter I is devoted entirely to definitions and basic related concepts. In Chapter II I have attempted to provide most of the fundamental concepts and theorems on inverse operations, as they are needed to treat adjoint equations. Chapter III contains the main body of this thesis, theorems on adjoint equations.

The inverse problem in finance consists of determining the unknown parameters of the pricing equation from the values quoted from the market. We formulate the inverse problem as a minimization problem for an appropriate cost function to minimize the difference between the solution of the model and the market observations. Efficient gradient based optimization requires accurate gradient estimation of the cost function. In this thesis we highlight the adjoint method for computing gradients of the cost function in the context of gradient based optimization and show its importance. We derive the continuous adjoint equations with appropriate boundary conditions for three main option pricing models: the Black-Scholes model, the Heston's model and the jump diffusion model, for European type options. These adjoint equations can be used to compute the gradient of the cost function accurately for parameter estimation problems. The adjoint method allows efficient evaluation of the gradient of a cost function F(σ) with respect to parameters σ where F depends on σ indirectly, via an intermediate variable. Compared to the finite difference method and the sensitivity equation method, the adjoint equation method is very efficient in computing the gradient of the cost function. The sensitivity equations method requires solving a PDE corresponding to each parameter in the model to estimate the gradient of the cost function. The adjoint method requires solving a single adjoint equation once. Hence, for a large number of parameters in the model, the adjoint equation method is very efficient. Due to its nature, the adjoint equation has to be solved backward in time. The adjoint equation derived from the jump diffusion model is harder to solve due to its non local integral term. But algorithms that can be used to solve the Partial Integro-Differential Equation (PIDE) derived from jump diffusion model can be modified to solve the adjoint equation derived from the PIDE. / Ph. D.

Orientador: Yuri Dimitrov Bozhkov / Tese (doutorado) ¿ Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T22:59:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_KenioAlexsomdeAlmeida_D.pdf: 5129062 bytes, checksum: 0bae8b75b0ea90b8799bc1dd7496d766 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Nesta tese estudamos o conceito novo de equações diferenciais não - linearmente auto-adjuntas para duas classes gerais de equações evolutivas de segunda ordem quase lineares. Uma vez que essas equações não provêm de um problema variacional, não podemos obter leis de conservação via o Teorema de Noether. Por isto aplicamos tal conceito e o Novo Teorema sobre Leis de Conservação de Nail H. Ibragimov, o qual possibilita-nos a determinação de leis de conservação para qualquer equação diferencial. Obtivemos em ambas as classes, equações não - linearmente auto-adjuntos e leis de conservação para alguns casos particularmente importantes: a) as equações do fluxo de Ricci geométrico, do fluxo de Ricci 2D, do fluxo de Ricci modificada e a equação do calor não-linear, na primeira classe; b) as equações do fluxo geométrico hiperbólico e do fluxo geométrica hiperbólica modificada, na segunda classe de equações evolutivas / Abstract: In this thesis we study the new concept of nonlinear self-adjoint deferential equations for two general classes of quasilinear 2D second order evolution equations. Since these equations do not come from a variational problem, we cannot obtain conservation laws via the Noether's Theorem. Therefore we apply this concept and the New Conservation Theorem of Nail H. Ibragimov, which enables one to establish the conservation laws for any deferential equation. We obtain in classes, nonlinear self-adjoint equations and conservation laws for important particular cases: a) the Ricci flow geometric equation, Ricci flow 2D equation, the modified Ricci flow equation and the nonlinear heat equation in the first class; b) the hyperbolic geometric flow equation and the modified hyperbolic geometric flow equation in the second class of evolution equations / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

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La réduction des nuisances sonores est un enjeu permanent pour les acteurs de l’aéronautique. L’optimisation de la réduction de bruit apportée par les traitements acoustiques tapissant la nacelle des réacteurs turbofan passe par une caractérisation précise des matériaux employés dans l’environnement aéroacoustique d’utilisation, qui met en jeu un écoulement rasant de vitesse importante combiné à de forts niveaux sonores. L’objectif de cette thèse est de développer une méthode inverse pour la détermination de l’impédance acoustique de liners soumis à un écoulement rasant, basée sur des mesures non intrusives du champ de vitesse acoustique au-dessus du matériau par Vélocimétrie Laser Doppler (LDV). L’impédance de liner est obtenue par minimisation de l’écart entre le champ de vitesse acoustique mesuré et le champ simulé numériquement en résolvant les équations d’Euler linéarisées bidimensionnelles harmoniques, discrétisées par un schéma Galerkin discontinu. Le gradient de la fonction objectif minimisée est calculé via la résolution, à chaque itération, des équations directes et adjointes. Une première étape de validation du solveur est effectuée sur des cas-tests académiques, puis sur des cas expérimentaux impliquant des mesures de pression acoustique en paroi rigide opposée au liner. Dans un second temps, la méthode est appliquée à des mesures de vitesse acoustique obtenues par LDV dans le banc B2A de l’ONERA en l’absence d’écoulement. La dernière étape consiste à prendre en compte l’effet d’un écoulement rasant de profil cisaillé. Les impédances identifiées à partir de mesures LDV en présence d’écoulement ont notamment permis de gagner en compréhension sur les phénomènes d’absorption intervenant dans le banc B2A. / While aircraft noise constraints become increasingly stringent, efficient duct treatment of turbofan engines requires an accurate knowledge of liner impedance with grazing flow at high acoustic levels. This thesis aims at developing an impedance eduction method in the presence of grazing flow. The inverse process is based on acoustic velocity fields acquired by Laser Doppler Velocimetry (LDV) above the liner. The liner acoustic impedance is obtained by minimization of the distance between the measured acoustic velocity field and the simulated one. Computations rely on the resolution of the 2D linearized Euler equations in the harmonic domain, spatially discretized by a discontinuous Galerkin scheme. The gradient of the objective function is achieved by the resolution, at each iteration on the liner impedance, of the direct and adjoint equations. The solver is first validated on academic test cases, then on experimental results of acoustic pressure measurements at the rigid wall opposite the liner. Secondly the method is applied to acoustic velocity measurements obtained by LDV above the liner without flow, in the ONERA B2A test bench. The last step consists in taking into account the effects of a sheared grazing flow. The impedances educed from LDV measurements in the presence of flow namely allowed to gain insight into the absorption phenomena occuring in the B2A test bench.

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Gradient-based aerodynamic shape optimization, based on Computational Fluid Dynamics analysis of the flow, is a method that can automatically improve designs of aircraft components. The prospect is to reduce a cost function that reflects aerodynamic performances. When the shape is described by a large number of parameters, the calculation of one gradient of the cost function is only feasible by recourse to techniques that are derived from the theory of optimal control. In order to obtain the best computational efficiency, the so called adjoint method is applied here on the complete mapping, from the parameters of design to the values of the cost function. The mapping considered here includes the Euler equations for compressible flow discretized on unstructured meshes by a median-dual finite-volume scheme, the primal-to-dual mesh transformation, the mesh deformation, and the parameterization. The results of the present research concern the detailed derivations of expressions, equations, and algorithms that are necessary to calculate the gradient of the cost function. The discrete adjoint of the Euler equations and the exact dual-to-primal transformation of the gradient have been implemented for 2D and 3D applications in the code Edge, a program of Computational Fluid Dynamics used by Swedish industries. Moreover, techniques are proposed here in the aim to further reduce the computational cost of aerodynamic shape optimization. For instance, an interpolation scheme is derived based on Radial Basis Functions that can execute the deformation of unstructured meshes faster than methods based on an elliptic equation. In order to improve the accuracy of the shape, obtained by numerical optimization, a moving mesh adaptation scheme is realized based on a variable diffusivity equation of Winslow type. This adaptation has been successfully applied on a simple case of shape optimization involving a supersonic flow. An interpolation technique has been derived based on a mollifier in order to improve the convergence of the coupled mesh-flow equations entering the adaptive scheme. The method of adjoint derived here has also been applied successfully when coupling the Euler equations with the boundary-layer and parabolized stability equations, with the aim to delay the laminar-to-turbulent transition of the flow. The delay of transition is an efficient way to reduce the drag due to viscosity at high Reynolds numbers.

<p>NR 20140805</p>

Pour mettre au point le système de contrôle thermique dun engin spatial (satellite, sonde ou véhicule habité), lingénieur thermicien utilise des logiciels adaptés, tels quESARAD et ESATAN, commercialisés par ALSTOM. Comme la composante radiative peut jouer un rôle prédominant, les logiciels utilisés contiennent fréquemment un algorithme de lancer de rayons pour calculer les facteurs de vue et facteurs déchange radiatif entre des surfaces de dimensions finies, supposées isothermes. Les flux externes (solaires, albédo et infrarouge terrestres) sont également calculés par lancer de rayons. Enfin, les couplages conductifs sont habituellement encodés manuellement par lutilisateur. Comme le lancer de rayons est basé sur un processus aléatoire, la précision atteinte est déterminée par le nombre de rayons lancés. En général, le choix de ce nombre de rayons est laissé à la discrétion de lingénieur, ce qui peut conduire à des erreurs. Un autre inconvénient du lancer de rayons est sa faible convergence. Une méthode daccélération du lancer de rayons est nécessaire. Dans le cadre de la thèse, nous avons développé une méthode de lancer de rayons plus performante, que nous avons appelée hémisphère stratifié, caractérisée par une meilleure convergence. Un contrôle statistique derreur a été développé : lutilisateur spécifie la précision souhaitée (définie par une erreur relative maximale et un intervalle de confiance) et lalgorithme adapte automatiquement le nombre de rayons en fonction de la configuration géométrique. Sur base de cette erreur géométrique, un système déquations adjointes est utilisé pour obtenir une erreur énergétique, caractérisant les transferts de chaleur entre les surfaces. Lhémisphère stratifié est étendu de manière à inclure des fonctions de réflexion plus complexes. Lapplication des relations de réciprocité et de fermeture est également considérée. La méthode matricielle de Gebhart, qui permet de dériver les facteurs déchange radiatifs des facteurs de vue, est étendue de manière à inclure des surfaces non-diffuses et non-isothermes. Pour accélérer le lancer de rayons, les intersections rayons-surfaces ont été soigneusement étudiées. Nous avons également développé une méthode qui combine les primitives géométriques avec des maillages éléments finis. La représentation tri-dimensionnelle du modèle géométrique est plus adaptée au calcul de la composante radiative du transfert thermique tandis que les maillages éléments finis sont plus adaptés au calcul de la conduction. Cette méthode fournit également une accélération du lancer de rayons. De plus, le lancer de rayons est effectué sur la géométrie exacte, ce qui est nécessaire si des réflexions spéculaires sont modélisées. Nous expliquons comment le lancer de rayons peut être effectué sur la géométrie exacte et comment les facteurs de vue résultants peuvent être projetés sur les éléments finis. Nous définissons la notion de facteur de vue élément fini en calculant les facteurs de vue aux noeuds et en les interpolant sur lélément fini au moyen des fonctions de forme. Ces facteurs de vue élément fini sont utilisés pour lier radiativement les noeuds du modèle. Comme le champ de température est projeté sur les fonctions de forme, nous obtenons des éléments non-isothermes, contrairement aux résultats de la méthode Thermal Lumped Parameter (différences finies) utilisée habituellement en thermique spatiale. Les liens conductifs sont calculés automatiquement sur base du maillage éléments finis. Toutes ces améliorations résultent dans un algorithme plus rapide que le programme de référence ESARAD (pour une précision équivalente) et qui fonctionne avec un petit nombre de paramètres définis par lutilisateur. Pour valider lalgorithme proposé, le modèle du vaisseau XEUS, de lESA, a été implémenté. Des comparaisons ont été effectuées avec ESARAD et le code éléments finis SAMCEF.