Le but de cette thèse est d'exploiter au mieux les résultats du traitement des données sismiques en profondeur pour réaliser une simulation géostatistique de l'impédance acoustique. La base de la prospection géophysique est la sismique réflexion, une méthode qui fournit les coefficients de réflexion des interfaces géologiques. Ces coefficients fournissent des informations sur la structure du sous-sol et permettent d'estimer les propriétés pétro-acoustiques de chacune des couches géologiques. Nous utilisons une méthode d'imagerie (la migration) qui permet d'obtenir des données sismiques migrées en profondeur, dont les variations de réflectivité selon l'angle sont conservées. L'analyse de ces variations est alors effectuée sur les panneaux Iso-X le long de trajectoires définies par la variation de la réflectivité avec l'angle d'incidence. Ces trajectoires permettent d'obtenir une première interprétation structurale (le squelette) à laquelle sont associés des attributs tels l'intercept et le gradient. Un pointé sur ces deux squelettes complémentaires permet de délimiter des couches dans lesquelles la simulation sera effectuée. Après avoir interprété sur les sections sismiques et d'autres attributs des éventuelles anomalies en hydrocarbures, nous proposons de contraindre localement la simulation géostatistique pour reproduire ces anomalies. Pour cela, nous nous servons du lien qui existe entre l'impédance acoustique et l'intercept. Nous obtenons finalement une section en impédance acoustique en profondeur, valable sur la globalité de la section étudiée, et qui tient compte des anomalies d'hydrocarbures importantes pour l'éventuelle exploration et production du réservoir.

L'objectif global visé par les travaux de cette thèse est d'améliorer la caractérisation des propriétés macroscopiques des matériaux poreux à structure rigide ou souple par des approches inverses et indirectes basées sur des mesures acoustiques faites en tube d'impédance. La précision des approches inverses et indirectes utilisées aujourd'hui est principalement limitée par la qualité des mesures acoustiques obtenues en tube d'impédance. En conséquence, cette thèse se penche sur quatre problèmes qui aideront à l'atteinte de l'objectif global précité. Le premier problème porte sur une caractérisation précise de la porosité ouverte des matériaux poreux. Cette propriété en est une de passage permettant de lier la mesure des propriétés dynamiques acoustiques d'un matériau poreux aux propriétés effectives de sa phase fluide décrite par les modèles semi-phénoménologiques. Le deuxième problème traite de l'hypothèse de symétrie des matériaux poreux selon leur épaisseur où un index et un critère sont proposés pour quantifier l'asymétrie d'un matériau. Cette hypothèse est souvent source d'imprécision des méthodes de caractérisation inverses et indirectes en tube d'impédance. Le critère d'asymétrie proposé permet ainsi de s'assurer de l'applicabilité et de la précision de ces méthodes pour un matériau donné. Le troisième problème vise à mieux comprendre le problème de transmission sonore en tube d'impédance en présentant pour la première fois un développement exact du problème par décomposition d'ondes. Ce développement permet d'établir clairement les limites des nombreuses méthodes existantes basées sur des tubes de transmission à 2, 3 ou 4 microphones. La meilleure compréhension de ce problème de transmission est importante puisque c'est par ce type de mesures que des méthodes permettent d'extraire successivement la matrice de transfert d'un matériau poreux et ses propriétés dynamiques intrinsèques comme son impédance caractéristique et son nombre d'onde complexe. Enfin, le quatrième problème porte sur le développement d'une nouvelle méthode de transmission exacte à 3 microphones applicable à des matériaux ou systèmes symétriques ou non. Dans le cas symétrique, on montre que cette approche permet une nette amélioration de la caractérisation des propriétés dynamiques intrinsèques d'un matériau.

Dans le cadre de recherches menées par l'ANDRA, qui visent à évaluer la faisabilité de créer un stockage de déchets radioactifs dans la formation argileuse du Callovo Oxfordien, cette thèse s'intéresse à deux étapes indispensables pour obtenir une image 3D du sous sol. La première étape concerne la cartographie de la géométrie de la formation. Celle-ci est déterminée à partir de temps pointés le long de profils sismiques, orientés suivant deux directions principales. Aux intersections, les valeurs enregistrées par deux profils sont différentes. Le faible nombre d'intersections ne permettant pas une étude détaillée du comportement spatial de ces différences, elles sont analysées par le biais du pseudo variogramme croisé. L'analyse variographique permet de choisir un modèle cohérent pour l'ensemble des profils. À partir de ce modèle une estimation du temps corrigée est présentée. La deuxième étape concerne l'étude de l'impédance, variable liée aux propriétés intrinsèques de la roche. Deux types de mesure sont disponibles. D'une part l'impédance sismique résultant de l'inversion géophysique de l'amplitude enregistrée le long de profils de sismique réflexion est largement étendue dans la zone d'intérêt. D'autre part, l'impédance log, résultant du produit de la densité de la roche et de la vitesse des ondes P, n'est connue uniquement dans quelques puits. Le comportement spatial bivariable, le long de la direction verticale, a permis de formuler l'hypothèse suivante : chaque mesure d'impédance est décomposée en une somme d'une variable Z (commune aux deux mesures) et d'un résidu différent pour chaque mesure. Sous certaines hypothèses supplémentaires, il est possible d'estimer la composante commune sur l'ensemble des sections sismiques. En complément à ces études, d'autres points ont été évoqués, par exemple la correspondance entre procédés géophysiques et géostatistiques, ou la prise en compte d'incertitude sur les amplitudes.

La conception d’un moteur thermoacoustique dépend de façon critique de la fiabilité des outils de prédiction théorique de ses performances. Une tentative pour réussir cette prédiction consiste à exploiter les coefficients de la matrice de transfert du noyau thermoacoustique (NTA) dans les modèles analytiques du moteur considéré. La matrice de transfert peut être obtenue soit par modélisation analytique, soit par des mesures acoustiques. Ce dernier cas, cependant, se présente comme une option intéressante pour éviter d’avoir à considérer la complexité des éléments constitutifs du NTA. La méthode analytique est tout d’abord présentée; elle ne vise que les cas de matériaux à géométrie simple. En ce qui concerne l’approche expérimentale, une méthode classique à deux charges est appliquée dans deux configurations différentes et, en outre, une méthode alternative basée sur des mesures d’impédance est développée ici et appliquée également. Une comparaison entre ces deux approches est évaluée au moyen d’une analyse de sensibilité. Différents matériaux sont testés, chacun jouant le rôle de l’élément poreux à l’intérieur d’un NTA soumis à plusieurs gradients de température. Seulement la méthode alternative s’avère performante pour tous les matériaux. Les matrices de transfert mesurées sont utilisées dans des modèles dédiés à prédire la fréquence de fonctionnement et le gain d’amplification thermoacoustique intrinsèque d’une machine équipée du NTA caractérisé au préalable. Une analyse comparative montre dans quelles conditions le seuil de déclenchement thermoacoustique est prévu ou non pour chaque matériau; elle révèle aussi les limites dimensionnelles de l’appareil expérimental pour mieux répondre aux estimations de performances. / The design of a thermoacoustic (TA) engine is improved towards the reliability of its performance prediction. An attempt to succeed in this prediction comes from the knowledge of the TA core (TAC) transfer matrix, which can be exploited in analytical models for the given engine. The transfer (T) matrix itself may be obtained either by analytical modeling or acoustic measurements. The latter consist in an interesting option to avoid thermo-physical or geometrical considerations of complex structures, as the TAC is treated as a black box. However, before proceeding with the experimental approach, an analytical solution is presented for comparison purposes, but it contemplates only cases of materials of simple geometry. Concerning the experimental approach, a classical two-load method is applied in two different configurations and an alternative method based on impedance measurements is here developed and applied. A comparison between these approaches is evaluated by means of a sensitivity analysis. Different materials are tested, each one playing the porous element allotted inside the TAC, which is in its turn submitted to several different regimes of steady state temperature gradient. The alternative method is the only one successful for all materials. In this manner, the measured transfer matrices are applied into a proper modeling devoted to predict both the operating frequency and the intrinsic TA amplification gain. A comparative analysis shows in what conditions the TA threshold is expected or not for each material; it also reveals the limitations of the experimental apparatus in what concerns the appropriate dimensions to better fit the performance investigations.

Cette thèse porte sur le développement et la validation des traitements acoustiques performants pour les nacelles des turboréacteurs, l’étude et la modélisation des liners sous hauts niveaux acoustiques avec écoulement d’air rasant et l’optimisation des technologies et propriétés des liners pour une meilleure réduction du bruit. Un nouveau modèle d’impédance acoustique basé sur l’approche du fluide équivalent a été proposé pour les plaques micro-perforées couplées à une cavité d’air ou à un milieu poreux. Le modèle proposé a été validé numériquement et expérimentalement et l’effet des hauts niveaux de pression sur les caractéristiques acoustiques des liners a été démontré. Une analyse de sensibilité a été réalisée pour évaluer les impacts des paramètres entre autres le diamètre de perforation, l’épaisseur de la plaque, le taux de perforation, la profondeur de la cavité, la résistance par unité de surface de l’écran résistif, le niveau de pression et le nombre de Mach sur les propriétés acoustiques des liners à un et deux degrés de liberté ainsi que les liners avec écrans résistifs. La technologie des liners avec écrans résistifs intégrés dans la cavité d’air ou collés sur les plaques micro-perforées a été étudiée et la contribution des écrans dans l’amélioration des performances d’atténuation acoustique des liners a été démontrée numériquement et expérimentalement. Ensuite, on modélise les liners en incidence rasante en proposant une approche analytique basée sur le développement limité en séries de Taylor pour déterminer le nombre d’onde complexe d’une conduite acoustique traitée par les matériaux absorbants. Enfin, on étudie la réponse acoustique des liners en incidence oblique.

L’étude présentée dans cette thèse se situe dans le domaine de l’acoustique modale des conduits avec des parois absorbantes et un écoulement moyen. Nous considérons une source de bruit en amont avec une fréquence fixe. Avec cela, nous étudions les modes propres acoustiques du conduit en terme de nombre d’onde qui sont présents.Avec cette étude, nous contribuons à la meilleure compréhension de la propagation du sondans ce type de configuration. Parmi les applications, il y a la réduction du bruit des moteurs des aéronefs.Une analyse numérique par la méthode pseudospectrale de collocation, sur la base de polynômes de Chebyshev, a été mise en ouvre pour obtenir le spectre des modes, dans un domaine transversal.Pour cela, deux programmes ont été utilisés : le programme FiEStA, qui a été développé dans le cadre de cette thèse, et qui résout les équations d’Euler linéarisées, en considérant un problème à une ou deux une ou deux dimensions. D’autre part, le programme MAMOUT, a été utilisé pour résoudre les équations de Navier-Stokes linéarisées, pour étudier plus spécifiquement les effets de la viscosité.Avec ces outils, on a constaté les effets de trois paramètres : lorsque le rapport d’aspect augmente, la densité des modes, en particulier des modes propagatifs, se développe également.Quand le nombre de Mach de l’écoulement moyen augmente, on observe les effets suivants sur les valeurs propres : un déplacement vers la partie réelle négative, une amplification de leur valeur absolue et un déplacement vers les modes d’indice inférieur. Le profil d’écoulement moyen induit aussi un déplacement dans les valeur propres, pas facilement prévisible. Il modifie également la forme des fonctions propres ; ce qui est notamment visible pour le mode d’onde plane. Les changements d’impédance induisent un échange cyclique de valeurs propres entre les valeurs de parois rigides des modes consécutifs. Avec certaines valeurs d’impédance, les modes acoustiques de paroi apparaissent. Ils sont caractérisés par la forme exponentielle de leurs fonctions propres.En plus des modes acoustiques, il existe des modes hydrodynamiques de surface qui se sont révélés avec quelques valeurs d’impédance et forme et nombre de Mach de l’écoulement moyen. Pour un ensemble de données de référence, ces modes ont été étudiés. L’impédance a été considérée avec un modèle basé sur des données de la littérature, tout comme le profil d’écoulement moyen.Un mode hydrodynamique a été trouvé. Avec certaines valeurs de la fréquence, l’ensemble des paramètres donne lieu à une instabilité. En utilisant le critère Briggs Bres pour la stabilité,l’instabilité a été jugée absolue.À partir du comportement des modes avec différentes valeurs de l’impédance, et conformément aux résultats publiés, nous avons défini la condition que le spectre doit remplir pour réduire autant que possible le bruit. C’est cela qu’on appelle l’impédance optimale. Nous avons calculé cette valeur pour différents fréquences et écoulements moyens. / The study presented in this thesis is within the domain of modal acoustics of lined ducts withgrazing flow. We consider an upstream source of noise with a fixed frequency, within a lined duct.From this, we study the eigenmodes in terms of wavenumber that are present in this system.With this study, we contribute to the better understanding of sound propagation in thedescribed configuration. Within its main applications, we can find the noise reduction fromaeroengines.A numerical analysis with the pseudospectral collocation method, based on Chebyshevpolynomials was used to obtain the spectrum of modes within the duct, in a domain transversalto the mean flow. For this, two programs were used: On one hand, within the frame of this thesis,the program FiEStA was developed. It solves the linearized Euler Equations, considering eitherone or two dimensions of the transversal plane. On the other hand, the already existing programMAMOUT was used for verification and to solve also the linearized Navier-Stokes Equations toobserve the effects of viscosity.With these tools, the first result was to notice the effects of three parameters: When theaspect ratio grows, the density of modes in the spectrum grows also. In particular, we havemore propagative modes. As the mean flow Mach number grows, we observe these effects on theeigenvalues: a displacement to the negative real part, a slight amplification of their absolute valueand a displacement towards the modes of lower index. The difference in mean flow profile inducesanother displacement in modes, not easily predictable. It changes also the shape of eigenfunctions,which is clearly seen for the planewave mode. The impedance changes induce a cyclic exchange ofeigenvalues from their hard wall value to the hard wall value of a consecutive mode. The changeof eigenfunction is gradually change in wavelength, to obtain the shape of the destination mode.With some impedance values, a pair of modes, called the acoustic surface modes arise. They arecharacterized by the exponential shape of their eigenfunctions.Besides these acoustic surface modes, there are also a pair of hydrodynamic surface modeswhich come to light with some values of impedance and shape and Mach number of the meanflow. With a benchmark data, these modes were studied. The impedance was considered from themodel of a measured liner while the mean flow profile was taken from experimental values. Withthis, the hydrodynamic mode was found. With specific values of frequency, the set of parametersgives rise to an instability. Using the Briggs-Bers criterion for stability, the instability was foundto be absolute for a given frequency.From the comportment of modes with different values of impedance, and in accordance withpublished results, we defined the condition that the spectrum has to fulfill to reduce as much aspossible the upstream noise. This is what we called the optimal impedance. We obtained it forseveral flow profiles and frequencies, in both 1D and 2D domains.

Cette étude s’inscrit dans les efforts faits par l’industrie aéronautique pour la protection environnementale.Pour cela, un des objectifs principaux est de réduire les émissions de polluants et les émissions sonores des aéronefs. Les émissions polluantes sont liées à la qualité de la combustion qui dépend elle même de la conception des chambres de combustion. Les émissions sonores sont réduites grâce à des traitements passifs comme les structures absorbantes placées en paroi des moteurs pour diminuer le bruit de soufflante. Pour ces deux applications différentes, on utilise des matériaux perforés. En effet, les matériaux absorbants sont constitués d’une structure en nid d’abeilles surmontée d’une plaque perforée. Dans les chambres de combustion, les perforations permettent l’injection d’un air froid protégeant les parois des hautes températures, mais leur présence peut modifier la caractérisation acoustique de la chambre. L’objectif de cette thèse est de modéliser la réponse acoustique d’un matériau perforé. La taille des perforations étant petite devant les longueurs d’ondes sonores, des techniques de modélisation asymptotique adaptées à la résolution de problèmes multi-échelle peuvent être mises en œuvre. En effet, ces méthodes permettent de faire le lien entre les effets présents à l’intérieur d’une perforation et la réponse acoustique homogénéisée de la plaque perforée. Dans ces travaux,ce sont les effets visqueux présents dans les perforations qui ont été essentiellement étudiés. Ensuite,des simulations numériques directes ont été réalisées pour vérifier la validité des hypothèses émises lors de la modélisation asymptotique. Ces travaux de thèse ont permis d’améliorer la compréhension de la modélisation de la réponse acoustique des matériaux perforés. De plus, la méthode analytique présentée peut être mise en œuvre pour des perforations de géométrie complexe. / This study is part of the effort made by the aeronautic industry to protect the environment. Thus,one of the main objectives is to reduce aircraft polluting emissions and sound emissions. The pollutinge missions are linked to the combustion quality which depends on the combustion chamber’s design.Noise pollution is reduced thanks to passive treatments such as absorbing structures placed on engine walls. For both applications, perforated plates are used. Indeed, absorbing materials are composed of honey comb structures topped by a perforated plate. In combustion chambers, cold air is injected through perforations to protect the walls from high temperatures, but the perforations can modify the chamber’s acoustic behavior. The objective of this thesis is to model the acoustic response of aperforated material. The perforation size is smaller than the sound wave length, therefore asymptotic modeling techniques adapted to resolving multiscale problems can be implemented. Indeed, thesemethods allow to link the effects inside the perforation with the homogenized acoustic response of theperforated plate. In this study, the viscous effects inside the perforation have been analysed. Moreover,direct numerical simulations have been performed to verify the asymptotic modeling hypotheses. The findings of this thesis allow to understand the acoustic modeling of perforated materials. Furthermore,the developed analytical method can be implemented for perforations with complex shape.

La réduction des nuisances sonores est un enjeu permanent pour les acteurs de l’aéronautique. L’optimisation de la réduction de bruit apportée par les traitements acoustiques tapissant la nacelle des réacteurs turbofan passe par une caractérisation précise des matériaux employés dans l’environnement aéroacoustique d’utilisation, qui met en jeu un écoulement rasant de vitesse importante combiné à de forts niveaux sonores. L’objectif de cette thèse est de développer une méthode inverse pour la détermination de l’impédance acoustique de liners soumis à un écoulement rasant, basée sur des mesures non intrusives du champ de vitesse acoustique au-dessus du matériau par Vélocimétrie Laser Doppler (LDV). L’impédance de liner est obtenue par minimisation de l’écart entre le champ de vitesse acoustique mesuré et le champ simulé numériquement en résolvant les équations d’Euler linéarisées bidimensionnelles harmoniques, discrétisées par un schéma Galerkin discontinu. Le gradient de la fonction objectif minimisée est calculé via la résolution, à chaque itération, des équations directes et adjointes. Une première étape de validation du solveur est effectuée sur des cas-tests académiques, puis sur des cas expérimentaux impliquant des mesures de pression acoustique en paroi rigide opposée au liner. Dans un second temps, la méthode est appliquée à des mesures de vitesse acoustique obtenues par LDV dans le banc B2A de l’ONERA en l’absence d’écoulement. La dernière étape consiste à prendre en compte l’effet d’un écoulement rasant de profil cisaillé. Les impédances identifiées à partir de mesures LDV en présence d’écoulement ont notamment permis de gagner en compréhension sur les phénomènes d’absorption intervenant dans le banc B2A. / While aircraft noise constraints become increasingly stringent, efficient duct treatment of turbofan engines requires an accurate knowledge of liner impedance with grazing flow at high acoustic levels. This thesis aims at developing an impedance eduction method in the presence of grazing flow. The inverse process is based on acoustic velocity fields acquired by Laser Doppler Velocimetry (LDV) above the liner. The liner acoustic impedance is obtained by minimization of the distance between the measured acoustic velocity field and the simulated one. Computations rely on the resolution of the 2D linearized Euler equations in the harmonic domain, spatially discretized by a discontinuous Galerkin scheme. The gradient of the objective function is achieved by the resolution, at each iteration on the liner impedance, of the direct and adjoint equations. The solver is first validated on academic test cases, then on experimental results of acoustic pressure measurements at the rigid wall opposite the liner. Secondly the method is applied to acoustic velocity measurements obtained by LDV above the liner without flow, in the ONERA B2A test bench. The last step consists in taking into account the effects of a sheared grazing flow. The impedances educed from LDV measurements in the presence of flow namely allowed to gain insight into the absorption phenomena occuring in the B2A test bench.

La réduction des nuisances sonores est un enjeu permanent pour les acteurs de l'aéronautique. L'optimisation de la réduction de bruit apportée par les traitements acoustiques tapissant la nacelle des réacteurs turbofan passe par une caractérisation précise des matériaux employés dans l'environnement aéroacoustique d'utilisation, qui met en jeu un écoulement rasant de vitesse importante combiné à de forts niveaux sonores. L'objectif de cette thèse est de développer une méthode inverse pour la détermination de l'impédance acoustique de liners soumis à un écoulement rasant, basée sur des mesures non intrusives du champ de vitesse acoustique au-dessus du matériau par Vélocimétrie Laser Doppler (LDV). L'impédance de liner est obtenue par minimisation de l'écart entre le champ de vitesse acoustique mesuré et le champ simulé numériquement en résolvant les équations d'Euler linéarisées bidimensionnelles harmoniques, discrétisées par un schéma Galerkin discontinu. Le gradient de la fonction objectif minimisée est calculé via la résolution, à chaque itération, des équations directes et adjointes. Une première étape de validation du solveur est effectuée sur des cas-tests académiques, puis sur des cas expérimentaux impliquant des mesures de pression acoustique en paroi rigide opposée au liner. Dans un second temps, la méthode est appliquée à des mesures de vitesse acoustique obtenues par LDV dans le banc B2A de l'ONERA en l'absence d'écoulement. La dernière étape consiste à prendre en compte l'effet d'un écoulement rasant de profil cisaillé. Les impédances identifiées à partir de mesures LDV en présence d'écoulement ont notamment permis de gagner en compréhension sur les phénomènes d'absorption intervenant dans le banc B2A.

Dans le cadre de recherches menées par l'ANDRA, qui visent à évaluer la faisabilité de créer un stockage de déchets radioactifs dans la formation argileuse du Callovo Oxfordien, cette thèse s'intéresse à deux étapes indispensables pour obtenir une image 3D du sous sol. La première étape concerne la cartographie de la géométrie de la formation. Celle-ci est déterminée à partir de temps pointés le long de profils sismiques, orientés suivant deux directions principales. Aux intersections, les valeurs enregistrées par deux profils sont différentes. Le faible nombre d'intersections ne permettant pas une étude détaillée du comportement spatial de ces différences, elles sont analysées par le biais du pseudo variogramme croisé. L'analyse variographique permet de choisir un modèle cohérent pour l'ensemble des profils. À partir de ce modèle une estimation du temps corrigée est présentée. La deuxième étape concerne l'étude de l'impédance, variable liée aux propriétés intrinsèques de la roche. Deux types de mesure sont disponibles. D'une part l'impédance sismique résultant de l'inversion géophysique de l'amplitude enregistrée le long de profils de sismique réflexion est largement étendue dans la zone d'intérêt. D'autre part, l'impédance log, résultant du produit de la densité de la roche et de la vitesse des ondes P, n'est connue uniquement dans quelques puits. Le comportement spatial bivariable, le long de la direction verticale, a permis de formuler l'hypothèse suivante : chaque mesure d'impédance est décomposée en une somme d'une variable Z (commune aux deux mesures) et d'un résidu différent pour chaque mesure. Sous certaines hypothèses supplémentaires, il est possible d'estimer la composante commune sur l'ensemble des sections sismiques. En complément à ces études, d'autres points ont été évoqués, par exemple la correspondance entre procédés géophysiques et géostatistiques, ou la prise en compte d'incertitude sur les amplitudes. / In the framework of researches carried out by ANDRA (the French agency for nuclear waste), which aim at evaluating the feasibility of creating a repository of radioactive waste in the Callovo Oxfordian clay formation. This thesis studies two key steps to obtain a 3D image of the formation: its geometry and its internal heterogeneity. The geometry of the sedimentary formation is determined from seismic time picking along profiles. These profiles are oriented along two main directions. At the intersections, the values registered by two profiles are different. The low number of intersections does not allow a precise study of the spatial behavior of these differences; they are analyzed via the pseudo-cross-variogram. The variography analysis allows the choice of a coherent model for all the profiles, from which an estimation of the corrected time is presented. The internal heterogeneity is performed through the study of the impedance, a variable linked to the intrinsic properties of the rock. Two types of measurements are available. On one hand, the seismic impedance resulting from the geophysical inversion of the amplitude recorded along seismic reflection profiles is densely distributed in the area of interest. On the other hand, the impedance log, resulting from the product of rock density and P wave velocity, is known at only few wells. Bivariate spatial behavior along the vertical direction has allowed the formulation of the following hypothesis: each impedance measurement can be decomposed into a sum of a variable Z (common to both measures) and a residual specific to each measure. Under certain supplementary hypotheses, it is possible to estimate the common component along the seismic sections. Some complements to these studies are mentioned, for example the correspondence between geophysical and geostatistical methods or the consideration of uncertainty in the amplitudes.