Deux algèbres clairement distinctes selon un point de vue mathématique, seront considérées : - l'algèbre conventionnelle pour le chapitre analyse du temps de cycle - l'algèbre (max, +) et l'extension l'algèbre (min, max, +) pour les chapitres sur l'analyse de la vivacité et la commande prédictive. En dehors du fait que les chapitres suivants permettent de diffuser des résultats dans des thèmes centraux à la section 61 et qu'ils s'insèrent dans la démarche de l'automaticien, ils suivent aussi la logique suivante. Les chapitres principalement sur le taux et la commande prédictive participent à une réflexion globale sur la justification de l'algèbre (max, +) et son extension dans l'algèbre (min, max, +) et la programmation linéaire. De même, la nécessité d'avoir des temps de calcul efficaces pour la plus grande classe de problèmes possibles dans les chapitres vivacité et commande prédictive sur un horizon glissant, motive cette réflexion tout en poussant à s'intéresser au domaine informatique. Le dernier chapitre Prospective donnera une synthèse basée sur ces différents chapitres qui permettra de mieux formaliser cette réflexion et de proposer un projet scientifique.

Dans cette thèse nous nous consacrons à l'étude des algèbres qui sont dérivées équivalentes aux algèbres inclinées m-amassées de type A et [A tilde]. Dans la première partie nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une algèbre A soit dérivée équivalente à une algèbre inclinée m-amassée de type A. Dans la deuxième partie, nous trouvons une caractérisation du carquois lié des algèbres inclinées m-amassées de type [A tilde] et finalement nous donnons le critère analogue à l'antérieur pour qu'une algèbre B soit dérivée équivalente à une algèbre inclinée m-amassée de type [A tilde].

Dans ce travail nous élaborons une interprétation de la philosophie critique d’Immanuel Kant qui montre qu’elle donne les fondements à l’algèbre. Nous affirmons que les constructions algébriques se distinguent des constructions géométriques et qu’elles forment une théorie de la quantité pure. Dans la première Critique, l’algèbre est une méta-arithmétique qui donne les conditions de la quantification de la grandeur en général. Par conséquent, la théorie mathématique de l’épistémologie critique s’inscrit dans le projet d’algébrisation des sciences pendant l’époque moderne. Nous avons divisé notre travail en cinq chapitres. Avec le chapitre 1, nous montrons le rôle de l’algèbre dans la pensée moderne. L’algèbre, fondée dans l’arithmétique, est la théorie de la quantification des grandeurs non-déterminées. Dans le chapitre 2, nous critiquons les a priori historiques sur lesquels se basent les commentateurs de la philosophie critique pour affirmer que la construction de la quantité, chez Kant, doit nécessairement se ramener à des constructions spatiales. Dans le chapitre 3, nous montrons que le nombre est un schème pur temporel. La théorie kantienne du Schématisme transcendantal des concepts purs de la quantité suppose des relations temporelles a priori sur lesquelles se fondent la numérisation des relations spatio-temporelles. Dans le chapitre 4, en analysant les rapports entre l’Esthétique transcendantale et la Phoronomie des Premiers principes métaphysiques des sciences de la nature (1786), nous affirmons que la quantification des grandeurs spatio-temporelles est fondée sur une conception du temps absolu qui contient une métrique intrinsèque. Dans le chapitre 5, nous nous sommes concentrés sur le rôle de la synthèse pure qui génère la représentation symbolique de la quantité variable. En analysant la relation entre la temporalité et la science de la quantification, nous sommes en mesure d’expliquer et de défendre la possibilité de la construction de la variable x dans l’épistémologie critique. Nos recherchent sur les rapports entre le temps et la quantification dans l’épistémologie critique, nous permettent d’affirmer que la construction de la variable algébrique repose sur une synthèse pure temporelle qui a préséance sur la quantification spatiale. L’algèbre précède la géométrie, la chronométrie et la Phoronomie. Ce qui nous laisse dire que l’algèbre est la mathématique la plus fondamentale dans le système critique.

On considère la structure du Vect(R)-module sur les espaces des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les espaces de densités. On calcule la première cohomologie différentielle des champs de vecteurs d’algèbre de Lie Vect(R) avec des coefficients dans l’espace des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les densités pondérées.On considère l’action de Vect(S1) par la dérivée de Lie sur les espaces d’opérateurs pseudodifférentiels DO. On étudie les déformations h-triviales de l’intégration standard de l’algèbre de Lie Vect(S1) de champs de vecteurs lisses sur le cercle, dans l’algèbre de Lie de fonctions sur le fibré cotangent T*S1. On classe les déformations de cette action qui deviennent triviales une fois limitées à h où h = aff(1) ou sl(2). Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’intégrabilité des déformations infinitésimales sont données. / We consider the Vect(R)-module structure on the spaces of bilinear differential operators acting on the spaces of weighted densities.We compute the first differential cohomology of the vector fields Lie algebra Vect(R) with coefficients in space of bilinear differential operators acting on weighted densities. we consider the action of Vect(S1) by Lie derivative on the spaces of pseudodifferential operators . We study the h-trivial deformations of the standard embedding of the Lie algebra Vect(S1) of smooth vector fields on the circle, into the Lie algebra of functions on the cotangent bundle T∗S1. We classify the deformations of this action that become trivial once restricted to h, where h = aff(1) or sl(2). Necessary and sufficient conditions for integrability of infinitesimal deformations are given.

L’algèbre de Witt a été intensivement étudiée. Elle est présente dans de nombreux domaines des Mathématiques. Cette thèse est l’étude de deux généralisations de l’algèbre de Witt: les algèbres de type Witt et les algèbres de Krichever-Novikov. Dans une première partie on s’intéresse aux structures Lie-admissibles sur les algèbres de type Witt. On donne toutes les structures troisième-puissance associatives et flexibles Lie-admissibles sur ces algèbres. De plus, on étudie les formes symplectiques qui induisent un produit symétrique gauche. Dans une seconde partie on étudie les algèbres automorphes. Partant d’une surface de Riemann compacte quelconque, on considère l’action d’un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de la surface sur des algèbres d’origines géométriques comme les algèbres de Krichever-Novikov. Plus précisément nous faisons le lien entre la sous-algèbre des éléments invariants sur la surface et l’algèbre sur la surface quotient. La structure presque-gradue des algèbres de Krichever-Novikov induit une presque-graduation sur ces sous-algèbres de certaines algèbres de Krichever- Novikov / The Witt algebra has been intensively studied and arise in many research fields in Mathematics. We are interested in two generalizations of the Witt algebra: the Witt type algebras and the Krichever-Novikov algebras. In a first part we study the problem of finding Lie-admissible structures on Witt type algebras. We give all third-power associative Lie-admissible structures and flexible Lie-admissible structures on these algebras. Moreover we study the symplectic forms which induce a graded left-symmetric product. In the second part of the thesis we study the automorphic algebras. Starting from arbitrary compact Riemann surfaces we consider the action of finite subgroups of the automorphism group of the surface on certain geometrically defined Lie algebras as the Krichever-Novikov type algebras. More precisely, we relate for G a finite subgroup of automorphism acting on the Riemann surface, the invariance subalgebras living on the surface to the algebras on the quotient surface under the group action. The almost-graded Krichever-Novikov algebras structure on the quotient gives in this way a subalgebra of a certain Krichever-Novikov algebra (with almost-grading) on the original Riemann surface

Assem, Schiffler et Shramchenko ont émis comme conjecture que toute algèbre amassée est unistructurelle, c'est-à-dire que l'ensemble des variables amassées détermine uniquement la structure d'algèbre amassée. En d'autres mots, il existe une unique décomposition de l'ensemble des variables amassées en amas. Cette conjecture est prouvée dans le cas des algèbres amassées de type Dynkin ou de rang 2. Le but de ce mémoire de la prouver également dans le cas des algèbres amassées de type Ã. Nous utilisons les triangulations de couronnes et l'indépendance algébrique des amas pour prouver l'unistructuralité des algèbres provenant de couronnes, donc de type Ã. Nous prouvons également la conjecture des automorphismes pour les algèbres de type à comme conséquence immédiate.

Ce texte contient une présentation de mes travaux et certaines de mes publications.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Titre de l'écran-titre (visionné le 12 février 2024) / Dans le paysage numérique actuel, la prévention des cyberattaques est devenue extrêmement cruciale. Cela est particulièrement vrai pour les systèmes critiques pour la sécurité, où la protection contre ces menaces est d'une importance primordiale. Pour répondre à cette préoccupation, MITRE Corporation a développé ATT&CK, un vaste cadre comprenant des matrices de données. Ce cadre a pour but d'évaluer l'état de préparation d'une entreprise en matière de sécurité et d'identifier les vulnérabilités qui peuvent exister au sein de son infrastructure. En tirant parti des capacités de MITRE ATT&CK, y compris ses tactiques et techniques, en conjonction avec l'outil LDA4CPS, nous avons conçu une nouvelle approche pour identifier les vulnérabilités les plus critiques dans un système sensible. De plus, nous avons également conçu une solution pour relever les défis associés à ces vulnérabilités. L'utilisation de LDA4CPS nous permet de résoudre efficacement le graphe AND-OR, offrant ainsi une résolution pratique. De plus, l'inclusion des atténuations MITRE ATT&CK fournit à l'équipe bleue (côté défensif) une meilleure connaissance de la situation et une compréhension plus approfondie des circonstances qui prévalent. Par conséquent, l'intégration de LDA4CPS et de MITRE ATT&CK fournit aux organisations des informations précieuses et des mesures pratiques pour renforcer leur posture de sécurité, renforçant ainsi leur capacité à lutter contre les cybermenaces. / In today's digital landscape, the prevention of cyber attacks has become exceptionally crucial. This is especially true for safety-critical systems, where safeguarding against these threats is of paramount importance. To address this concern, the MITRE Corporation has developed ATT&CK, an extensive framework comprising data matrices. This framework serves the purpose of assessing a company's security preparedness and pinpointing vulnerabilities that may exist within its infrastructure. By leveraging the capabilities of MITRE ATT&CK, including its tactics and techniques, in conjunction with the LDA4CPS tool, we have devised a novel approach to identify the most critical vulnerabilities in a susceptible system. Furthermore, we have also devised a solution to tackle the challenges associated with these vulnerabilities. Employing LDA4CPS enables us to effectively solve the AND-OR graph, thereby offering a practical resolution. Moreover, the inclusion of MITRE ATT&CK mitigations provides the blue team (defensive side) with enhanced situational awareness and a deeper understanding of the prevailing circumstances. Consequently, the integration of LDA4CPS and MITRE ATT&CK equips organizations with valuable insights and practical measures to bolster their security posture, thus reinforcing their ability to combat cyber threats.

Nous étudions dans cette thèse l'algèbre de Hopf H associée à l'opérade pré-Lie. L'espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d'une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l'insertion d'un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l'algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l'algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l'espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d'insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l'algèbre pré-Lie associée à l'opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l'opérade pré-Lie s'obtient comme déformation de l'opérade NAP dans ce cadre.