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The creation of smooth interpolating curves and surfaces is an important aspect of computer graphics. Trigonometric interpolation in the form of the Fourier transform has been a popular technique. For computer graphics, simpler curves and surfaces like the B´ezier curve and B-spline curve have been more popular due to the computational efficiency. Fitting B-spline or B´ezier curves or surfaces to unorganised data points has been more challenging since these curves are not naturally interpolating. Normally a system of equations needs to be solved to obtain the curves or surfaces with the added problem of identifying data points to form piecewise continuous surfaces. We solve the problem of periodic interpolating curves and surfaces using harmonic interpolation [73]. We extend harmonic interpolation to handle an even number of data points. We then show how harmonic interpolation can be applied using geometry images [29] to create smooth interpolating surfaces. We introduce algorithms to manipulate the amount of interpolated points, and the location of the interpolated points. Finally, we show how a smooth interpolating surface created by harmonic interpolation can be converted to a series of B´ezier surfaces. The combination of techniques allows us to quickly create a smooth interpolating surface from a set of unorganised points that have a known spherical structure. Keywords: Interpolation, harmonic interpolation, trigonometric interpolation, B´ezier curves surface fitting, tensor product surfaces. / Prof. W.F. Steeb

Thesis (Ph. D.)--Hong Kong University of Science and Technology, 2004. / Includes bibliographical references (leaves 119-123). Also available in electronic version. Access restricted to campus users.

Thesis (Ph. D.)--University of Texas at Austin, 2002. / Vita. Includes bibliographical references. Available also from UMI Company.

In Reverse Engineering a physical object is digitally reconstructed from a set of boundary points. In the segmentation phase these points are grouped into subsets to facilitate consecutive steps as surface fitting. In this thesis we present a segmentation method with subsequent classification of simple algebraic surfaces. Our method is direct in the sense that it operates directly on the point set in contrast to other approaches that are based on a triangulation of the data set. The reconstruction process involves a fast algorithm for $k$-nearest neighbors search and an estimation of first and second order surface properties. The first order segmentation, that is based on normal vectors, provides an initial subdivision of the surface and detects sharp edges as well as flat or highly curved areas. One of the main features of our method is to proceed by alternating the steps of segmentation and normal vector estimation. The second order segmentation subdivides the surface according to principal curvatures and provides a sufficient foundation for the classification of simple algebraic surfaces. If the boundary of the original object contains such surfaces the segmentation is optimized based on the result of a surface fitting procedure. / Im Reverse Engineering wird ein existierendes Objekt aus einer Menge von Oberflächenpunkten digital rekonstruiert. Während der Segmentierungsphase werden diese Punkte in Teilmengen zusammengefügt, um die nachfolgenden Schritte wie Flächenerkennung (surface fitting) zu vereinfachen. Wir präsentieren in dieser Arbeit eine Methode zur Segmentierung der Punkte und die anschließende Klassifikation einfacher algebraischen Flächen. Unser Verfahren ist direkt in dem Sinne, dass es direkt an den Punkten arbeitet, im Gegensatz zu anderen Verfahren, die auf einer Triangulierung der Punktmenge basieren. Der Rekonstruktionsprozess schließt einen neuen Algorithmus zur Berechnung der k-nächsten Nachbarn eines Oberflächenpunktes und Verfahren zur Schätzung der Flächeneigenschaften ersten und zweiten Grades ein. Die normalenbasierte Segmentierung (Segmentierung ersten Grades) liefert eine Aufteilung des Objektes und detekiert scharfe Kanten, sowie flache oder stark gekrümmte Gebiete des Objektes. Ein zentrales Element unserer Methode ist die Wiederholung der Schritte der Segmentierung und der Schätzung der Normalen. Erst die Iteration ermöglicht die Schätzung der Normalen in der benötigten Genauigkeit und die Generierung einer zufriedenstellender Segmentierung. Die Segmentierung zweiten Grades teilt die Oberfläche nach den Hauptkrümmungen auf und bietet eine zuverlässige Grundlage für die Klassifizierung einfacher algebraischen Flächen. Falls der Rand des Ausgangsobjektes solche Flächen enthält, wird der Segmentierungsprozess auf der Grundlage des Ergebnisses der Flächenerkennungsprozedur optimiert.

Thesis (Ph.D.)--University of Nebraska-Lincoln, 2007. / Title from title screen (site viewed Oct. 10, 2007). PDF text: 115 p. : ill. UMI publication number: AAT 3260512. Includes bibliographical references. Also available in microfilm and microfiche formats.

Ce travail se divise en deux parties. Dans la première partie, nous généralisons le travail de Khuri-Makdisi qui décrit des algorithmes pour l'arithmétique des diviseurs sur une courbe sur un corps. Nous montrons que les analogues naturelles de ses résultats se vérifient pour les diviseurs de Cartier relatifs effectifs sur un schéma projectif, lisse et de dimension relative un sur un schéma affine noetherien quelconque, et que les analogues naturelles de ses algorithmes se vérifient pour une certaine classe d'anneaux de base. Nous présentons un formalisme pour tels anneaux qui sont caractérisés par l'existence d'un certain sous-ensemble des opérations standards de l'algèbre linéaire pour les modules projectifs sur ces anneaux.Dans la deuxième partie de ce travail, nous considérons un type de problème de Riemann-Roch pour les diviseurs sur certaines surfaces algébriques. Plus précisément, nous analysons les surfaces algébriques qui émanent d'un produit ou d'un produit symétrique d'une courbe hyperelliptique de genre supérieur à un sur un corps (presque) arbitraire. Les résultats principaux sont une décomposition des espaces de sections globales de certains diviseurs sur telles surfaces et des formules explicites qui décrivent les dimensions des espaces de sections de ces diviseurs. Dans le dernier chapitre, nous présentons un algorithme qui produit une base pour l'espace de sections globales d'un tel diviseur. / The contribution of this thesis is divided naturally into two parts. In Part I we generalise the work of Khuri-Makdisi (2004) on algorithms for divisor arithmetic on curves over fields to more general bases. We prove that the natural analogues of the results of Khuri-Makdisi continue to hold for relative effective Cartier divisors on projective schemes which are smooth of relative dimension one over an arbitrary affine Noetherian base scheme and that natural analogues of the algorithms remain valid in this context for a certain class of base rings. We introduce a formalism for such rings,which are characterised by the existence of a certain subset of the usual linear algebra operations for projective modules over these rings.Part II of this thesis is concerned with a type of Riemann-Roch problem for divisors on certain algebraic surfaces. Specifically we consider algebraic surfaces arising as the square or the symmetric square of a hyperelliptic curve of genus at least two over an (almost) arbitrary field. The main results are a decomposition of the spaces of global sections of certain divisors on such surfaces and explicit formulæ for the dimensions of the spaces of sections of these divisors. In the final chapter we present an algorithm which generates a basis for the space of global sections of such a divisor.

Soit π : X→ D un pinceau réel en courbes de genre $2$. L'objectif de cette thèse est de donner une classification partielle des fibres singulières possibles ; je donne les types de configurations réelles des fibres singulières et je détermine la topologie des fibres voisines. Je donne aussi les invariants déterminant d'une manière unique la classe réelle de tels pinceaux. / Let π : X→ D be a real pencil of curves of genus two. The goal of this thesis is to give a partial classification of possible singular fibers; we give the types of real configurations of singular fibers and we determine the topology of neighbors fibers. Also we give the invariants determining in a unique way the real class of such pencils

In Reverse Engineering a physical object is digitally reconstructed from a set of boundary points. In the segmentation phase these points are grouped into subsets to facilitate consecutive steps as surface fitting. In this thesis we present a segmentation method with subsequent classification of simple algebraic surfaces. Our method is direct in the sense that it operates directly on the point set in contrast to other approaches that are based on a triangulation of the data set. The reconstruction process involves a fast algorithm for $k$-nearest neighbors search and an estimation of first and second order surface properties. The first order segmentation, that is based on normal vectors, provides an initial subdivision of the surface and detects sharp edges as well as flat or highly curved areas. One of the main features of our method is to proceed by alternating the steps of segmentation and normal vector estimation. The second order segmentation subdivides the surface according to principal curvatures and provides a sufficient foundation for the classification of simple algebraic surfaces. If the boundary of the original object contains such surfaces the segmentation is optimized based on the result of a surface fitting procedure. / Im Reverse Engineering wird ein existierendes Objekt aus einer Menge von Oberflächenpunkten digital rekonstruiert. Während der Segmentierungsphase werden diese Punkte in Teilmengen zusammengefügt, um die nachfolgenden Schritte wie Flächenerkennung (surface fitting) zu vereinfachen. Wir präsentieren in dieser Arbeit eine Methode zur Segmentierung der Punkte und die anschließende Klassifikation einfacher algebraischen Flächen. Unser Verfahren ist direkt in dem Sinne, dass es direkt an den Punkten arbeitet, im Gegensatz zu anderen Verfahren, die auf einer Triangulierung der Punktmenge basieren. Der Rekonstruktionsprozess schließt einen neuen Algorithmus zur Berechnung der k-nächsten Nachbarn eines Oberflächenpunktes und Verfahren zur Schätzung der Flächeneigenschaften ersten und zweiten Grades ein. Die normalenbasierte Segmentierung (Segmentierung ersten Grades) liefert eine Aufteilung des Objektes und detekiert scharfe Kanten, sowie flache oder stark gekrümmte Gebiete des Objektes. Ein zentrales Element unserer Methode ist die Wiederholung der Schritte der Segmentierung und der Schätzung der Normalen. Erst die Iteration ermöglicht die Schätzung der Normalen in der benötigten Genauigkeit und die Generierung einer zufriedenstellender Segmentierung. Die Segmentierung zweiten Grades teilt die Oberfläche nach den Hauptkrümmungen auf und bietet eine zuverlässige Grundlage für die Klassifizierung einfacher algebraischen Flächen. Falls der Rand des Ausgangsobjektes solche Flächen enthält, wird der Segmentierungsprozess auf der Grundlage des Ergebnisses der Flächenerkennungsprozedur optimiert.

Wir behandeln nichtkommutative Algebren über Ringen und auf algebraischen Varietäten. Im ersten Teil beschreiben wir ein Kriterium, das angibt, ob und wie weit sich eine gegebene Azumaya-Algebra über dem Funktionenkörper einer algebraischen Varietät als Garbe von Azumaya-Algebren auf die Varietät ausdehnen lässt. Außerdem untersuchen wir die lokale Struktur von Azumaya-Algebren oder allgemeiner von Maximalordnungen, die mit Hilfe des Cyclic-Covering-Tricks von Chan konstruiert werden. Mit dieser Methode lassen sich Maximalordnungen auf algebraischen Flächen konstruieren, die zudem genau über einer gewählten Kurve verzweigen. Im zweiten Teil betrachten wir die nichtassoziativen Oktavenalgebren und allgemeiner auch Kompositionsalgebren über Ringen. Dabei übertragen wir die bekannten Aussagen von Kompositionsalgebren über Körpern auf die Situation von Algebren über Ringen. Wir untersuchen Oktavenalgebren und Maximalordnungen über diskreten Bewertungsringen und verallgemeinern ein Resultat von van der Blij und Springer über die lokale Natur von Maximalordnungen über den rationalen Zahlen und über algebraischen Zahlkörpern auf den Fall von beliebigen noetherschen, ganzabgeschlossenen Integritätsbereichen. Abschließend führen wir eine Definition von Garben von Oktavenalgebren und Garben von Maximalordnungen in Oktavenalgebren über algebraischen Varietäten ein.