L'objet de la thèse est l'étude d'un algorithme, simple d'implémentation et récursif, permettant de calculer l'intégrale d'une fonction par rapport à la probabilité invariante d'un processus solution d'une équation différentielle stochastique de dimension finie. <br /> La principale hypothèse sur ces solutions (diffusions) est l'existence d'une fonction de Lyapounov garantissant une condition de stabilité. Par le théorème ergodique on sait que les mesures empiriques de la diffusion convergent vers une mesure invariante. Nous étudions une convergence similaire lorsque la diffusion est discrétisée par un schéma d'Euler de pas décroissant. Nous prouvons que les mesures empiriques pondérées de ce schéma convergent vers la mesure invariante de la diffusion, et qu'il est possible d'intégrer des fonctions exponentielles lorsque le coefficient de diffusion est suffisamment petit. De plus, pour une classe de diffusions plus restreinte, nous prouvons la convergence presque sûre et dans Lp du schéma d'Euler vers la diffusion.<br /> Nous obtenons des vitesses de convergence pour les mesures empiriques pondérées et donnons les paramètres permettant une vitesse optimale. Nous finissons l'étude de ce schéma lorsqu'il y a présence de multiples mesures invariantes. Cette étude se fait en dimension 1, et nous permet de mettre en évidence un lien entre classification de Feller et fonctions de Lyapounov.<br /> Dans la dernière partie, nous exposons un nouvel algorithme adaptatif permettant de considérer des problèmes plus généraux tels que les systèmes Hamiltoniens ou les systèmes monotones. Il s'agit de considérer les mesures empiriques d'un schéma d'Euler construit à partir d'une suite de pas aléatoires adaptés dominée par une suite décroissant vers 0.

La problématique développée dans la thèse est d'estimer, dans une démarche prospective et dans un but d'anticipation, les impacts en puissance induits par les ruptures technologiques et comportementales qui ne font pas aujourd'hui l'objet de mesures dans les panels. Pour évaluer les modifications sur les appels de puissance du parc résidentiel engendrées par ces profondes transformations,un modèle paramétrique, bottom-up, techno-explicite et agrégatif est donc nécessaire. Celui-ci serait donc destiné à la reconstitution, de manière non tendancielle, de la courbe de charge électrique résidentielle. Il permettrait ainsi de conduire la simulation de différents scénarios d'évolution contrastés. L'élaboration d'un tel modèle constitue le sujet de ce doctorat.Pour répondre à cette problématique, nous proposons une méthode conceptuelle originale de reconstitution de courbe de charge. Sa mise en application centrée sur la génération de foisonnement d'origine comportementale a conduit à la modélisation d'un certain nombre de concepts. Ce travail a abouti à l'élaboration d'un algorithme stochastique destiné à représenter le déclenchement réalistedes appareils domestiques. Différents cas d'application ont pu être testés et les résultats en puissance ont été étudiés. Plus particulièrement pour analyser le foisonnement visible à un niveau agrégé, nous avons mis en place une méthodologie nouvelle basée sur une distance adaptée aux courbes de charge. Finalement, nous avons cherché à identifier des comportements réels d'usage des appareils. Pour cela, nous avons conduit différents travaux de classification de courbes de charge.

La thématique principale de cette thèse est la construction et l'étude de méthodes implémentables par ordinateur permettant d'approcher le régime stationnaire d'un processus ergordique multidimensionnel solution d'une EDS dirigée par un processus de Lévy. S'appuyant sur une approche développée par Lamberton&Pagès puis Lemaire dans le cadre des diffusions Browniennes, nos méthodes basées sur des schémas <br />d'Euler à pas décroissant, « exacts » ou « approchés », permettent de simuler efficacement la probabilité invariante mais également la loi globale d'un tel processus en régime stationnaire. <br />Ce travail possède des applications théoriques et pratiques diverses dont certaines <br />sont développées ici (TCL p.s. pour les lois stables, théorème limite relatif aux valeurs extrêmes, pricing d'options pour des modèles à volatilité stochastique stationnaire...).

Dans cette thèse, nous étudions des thématiques autour des algorithmes stochastiques et c'est pour cette raison que nous débuterons ce manuscrit par des éléments généraux sur ces algorithmes en donnant des résultats historiques pour poser les bases de nos travaux. Ensuite, nous étudierons un algorithme de bandit issu des travaux de N arendra et Shapiro dont l'objectif est de déterminer parmi un choix de plusieurs sources laquelle profite le plus à l'utilisateur en évitant toutefois de passer trop de temps à tester celles qui sont moins per­formantes. Notre but est dans un premier temps de comprendre les faiblesses structurelles de cet algorithme pour ensuite proposer une procédure optimale pour une quantité qui mesure les performances d'un algorithme de bandit, le regret. Dans nos résultats, nous proposerons un algorithme appelé NS sur-pénalisé qui permet d'obtenir une borne de regret optimale au sens minimax au travers d'une étude fine de l'algorithme stochastique sous-jacent à cette procédure. Un second travail sera de donner des vitesses de convergence pour le processus apparaissant dans l'étude de la convergence en loi de l'algorithme NS sur-pénalisé. La par­ticularité de l'algorithme est qu'il ne converge pas en loi vers une diffusion comme la plupart des algorithmes stochastiques mais vers un processus à sauts non-diffusif ce qui rend l'étude de la convergence à l'équilibre plus technique. Nous emploierons une technique de couplage afin d'étudier cette convergence. Le second travail de cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'optimisation d'une fonc­tion au moyen d'un algorithme stochastique. Nous étudierons une version stochastique de l'algorithme déterministe de boule pesante avec amortissement. La particularité de cet al­gorithme est d'être articulé autour d'une dynamique qui utilise une moyennisation sur tout le passé de sa trajectoire. La procédure fait appelle à une fonction dite de mémoire qui, selon les formes qu'elle prend, offre des comportements intéressants. Dans notre étude, nous verrons que deux types de mémoire sont pertinents : les mémoires exponentielles et poly­nomiales. Nous établirons pour commencer des résultats de convergence dans le cas général où la fonction à minimiser est non-convexe. Dans le cas de fonctions fortement convexes, nous obtenons des vitesses de convergence optimales en un sens que nous définirons. En­fin, l'étude se termine par un résultat de convergence en loi du processus après une bonne renormalisation. La troisième partie s'articule autour des algorithmes de McKean-Vlasov qui furent intro­duit par Anatoly Vlasov et étudié, pour la première fois, par Henry McKean dans l'optique de la modélisation de la loi de distribution du plasma. Notre objectif est de proposer un al­gorithme stochastique capable d'approcher la mesure invariante du processus. Les méthodes pour approcher une mesure invariante sont connues dans le cas des diffusions et de certains autre processus mais ici la particularité du processus de McKean-Vlasov est de ne pas être une diffusion linéaire. En effet, le processus a de la mémoire comme les processus de boule pesante. De ce fait, il nous faudra développer une méthode alternative pour contourner ce problème. Nous aurons besoin d'introduire la notion de pseudo-trajectoires afin de proposer une procédure efficace. / In this thesis, we are studying severa! stochastic algorithms with different purposes and this is why we will start this manuscript by giving historicals results to define the framework of our work. Then, we will study a bandit algorithm due to the work of Narendra and Shapiro whose objectif was to determine among a choice of severa! sources which one is the most profitable without spending too much times on the wrong orres. Our goal is to understand the weakness of this algorithm in order to propose an optimal procedure for a quantity measuring the performance of a bandit algorithm, the regret. In our results, we will propose an algorithm called NS over-penalized which allows to obtain a minimax regret bound. A second work will be to understand the convergence in law of this process. The particularity of the algorith is that it converges in law toward a non-diffusive process which makes the study more intricate than the standard case. We will use coupling techniques to study this process and propose rates of convergence. The second work of this thesis falls in the scope of optimization of a function using a stochastic algorithm. We will study a stochastic version of the so-called heavy bali method with friction. The particularity of the algorithm is that its dynamics is based on the ali past of the trajectory. The procedure relies on a memory term which dictates the behavior of the procedure by the form it takes. In our framework, two types of memory will investigated : polynomial and exponential. We will start with general convergence results in the non-convex case. In the case of strongly convex functions, we will provide upper-bounds for the rate of convergence. Finally, a convergence in law result is given in the case of exponential memory. The third part is about the McKean-Vlasov equations which were first introduced by Anatoly Vlasov and first studied by Henry McKean in order to mode! the distribution function of plasma. Our objective is to propose a stochastic algorithm to approach the invariant distribution of the McKean Vlasov equation. Methods in the case of diffusion processes (and sorne more general pro cesses) are known but the particularity of McKean Vlasov process is that it is strongly non-linear. Thus, we will have to develop an alternative approach. We will introduce the notion of asymptotic pseudotrajectory in odrer to get an efficient procedure.

L’objectif de cette thèse est de construire des estimateurs non-paramétriques d’une fonction de distribution, d’une densité de probabilité et d’une fonction de régression en utilisant les méthodes d’approximation stochastiques afin de corriger l’effet du bord créé par les estimateurs à noyaux continus classiques. Dans le premier chapitre, on donne quelques propriétés asymptotiques des estimateurs continus à noyaux. Puis, on présente l’algorithme stochastique de Robbins-Monro qui permet d’introduire les estimateurs récursifs. Enfin, on rappelle les méthodes utilisées par Vitale, Leblanc et Kakizawa pour définir des estimateurs d’une fonction de distribution et d’une densité de probabilité en se basant sur les polynômes de Bernstein.Dans le deuxième chapitre, on a introduit un estimateur récursif d’une fonction de distribution en se basant sur l’approche de Vitale. On a étudié les propriétés de cet estimateur : biais, variance, erreur quadratique intégré (MISE) et on a établi sa convergence ponctuelle faible. On a comparé la performance de notre estimateur avec celle de Vitale et on a montré qu’avec le bon choix du pas et de l’ordre qui lui correspond notre estimateur domine en terme de MISE. On a confirmé ces résultatsthéoriques à l’aide des simulations. Pour la recherche pratique de l’ordre optimal, on a utilisé la méthode de validation croisée. Enfin, on a confirmé les meilleures qualités de notre estimateur à l’aide des données réelles. Dans le troisième chapitre, on a estimé une densité de probabilité d’une manière récursive en utilisant toujours les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur de Vitale, de Leblanc et l’estimateur donné par Kakizawa en utilisant la méthode multiplicative de correction du biais. On a appliqué notre estimateur sur des données réelles. Dans le quatrième chapitre, on a introduit un estimateur récursif et non récursif d’une fonction de régression en utilisant les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur à noyau classique. Ensuite, on a utilisé notre estimateur pour interpréter des données réelles. / The aim of this thesis is to construct nonparametric estimators of distribution, density and regression functions using stochastic approximation methods in order to correct the edge effect created by kernels estimators. In the first chapter, we givesome asymptotic properties of kernel estimators. Then, we introduce the Robbins-Monro stochastic algorithm which creates the recursive estimators. Finally, we recall the methods used by Vitale, Leblanc and Kakizawa to define estimators of distribution and density functions based on Bernstein polynomials. In the second chapter, we introduced a recursive estimator of a distribution function based on Vitale’s approach. We studied the properties of this estimator : bias, variance, mean integratedsquared error (MISE) and we established a weak pointwise convergence. We compared the performance of our estimator with that of Vitale and we showed that, with the right choice of the stepsize and its corresponding order, our estimator dominatesin terms of MISE. These theoretical results were confirmed using simulations. We used the cross-validation method to search the optimal order. Finally, we applied our estimator to interpret real dataset. In the third chapter, we introduced a recursive estimator of a density function using Bernstein polynomials. We established the characteristics of this estimator and we compared them with those of the estimators of Vitale, Leblanc and Kakizawa. To highlight our proposed estimator, we used real dataset. In the fourth chapter, we introduced a recursive and non-recursive estimator of a regression function using Bernstein polynomials. We studied the characteristics of this estimator. Then, we compared our proposed estimator with the classical kernel estimator using real dataset.

La problématique développée dans la thèse est d'estimer, dans une démarche prospective et dans un but d'anticipation, les impacts en puissance induits par les ruptures technologiques et comportementales qui ne font pas aujourd'hui l'objet de mesures dans les panels. Pour évaluer les modifications sur les appels de puissance du parc résidentiel engendrées par ces profondes transformations,un modèle paramétrique, bottom-up, techno-explicite et agrégatif est donc nécessaire. Celui-ci serait donc destiné à la reconstitution, de manière non tendancielle, de la courbe de charge électrique résidentielle. Il permettrait ainsi de conduire la simulation de différents scénarios d'évolution contrastés. L'élaboration d'un tel modèle constitue le sujet de ce doctorat.Pour répondre à cette problématique, nous proposons une méthode conceptuelle originale de reconstitution de courbe de charge. Sa mise en application centrée sur la génération de foisonnement d'origine comportementale a conduit à la modélisation d'un certain nombre de concepts. Ce travail a abouti à l'élaboration d'un algorithme stochastique destiné à représenter le déclenchement réalistedes appareils domestiques. Différents cas d'application ont pu être testés et les résultats en puissance ont été étudiés. Plus particulièrement pour analyser le foisonnement visible à un niveau agrégé, nous avons mis en place une méthodologie nouvelle basée sur une distance adaptée aux courbes de charge. Finalement, nous avons cherché à identifier des comportements réels d'usage des appareils. Pour cela, nous avons conduit différents travaux de classification de courbes de charge. / In this dissertation, we focus on the estimation of the impacts in terms of power demand caused by the technological and behavioural breaks that will affect the domestic sector in the future. These deep changes are not measured in the existing panels and the estimation is required for prospective (long-term) studies. To evaluate the very likely modifications of the domestic power demand that will follow previous influences, a bottom-up, technically-explicit and aggregative model is needed. This one aims at reconstituting the electric residential load curve according to a non-trending manner. Thanks to it, various evolution scenarios can be simulated. The purpose of this PhD is the elaboration of such a model.A functional analysis was carried out to build up a new method to reconstitute the domestic electric load curve. Since the clarifying of the diversity represents one of the key points of our research, we decided to begin the modelling task with focus on it. More precisely, we elaborated a stochastic algorithm whose purpose is the realistic starting of domestic appliances. Some application cases have been tested. We studied the diversity affecting aggregated power demand and we propose a new methodology able to visualise and to analyse it. This method is based on a distance adapted to the load curve. Finally we tried to identify human behaviour concerning the use of appliances thanks to load curve classifications.