In this thesis we consider two sets of combinatorial structures defined on an Eulerian graph: the Eulerian orientations and Euler tours. We are interested in the computational problems of counting (computing the number of elements in the set) and sampling (generating a random element of the set). Specifically, we are interested in the question of when there exists an efficient algorithm for counting or sampling the elements of either set. The Eulerian orientations of a number of classes of planar lattices are of practical significance as they correspond to configurations of certain models studied in statistical physics. In 1992 Mihail and Winkler showed that counting Eulerian orientations of a general Eulerian graph is #P-complete and demonstrated that the problem of sampling an Eulerian orientation can be reduced to the tractable problem of sampling a perfect matching of a bipartite graph. We present a proof that this problem remains #Pcomplete when the input is restricted to being a planar graph, and analyse a natural algorithm for generating random Eulerian orientations of one of the afore-mentioned planar lattices. Moreover, we make some progress towards classifying the range of planar graphs on which this algorithm is rapidly mixing by exhibiting an infinite class of planar graphs for which the algorithm will always take an exponential amount of time to converge. The problem of counting the Euler tours of undirected graphs has proven to be less amenable to analysis than that of Eulerian orientations. Although it has been known for many years that the number of Euler tours of any directed graph can be computed in polynomial time, until recently very little was known about the complexity of counting Euler tours of an undirected graph. Brightwell and Winkler showed that this problem is #P-complete in 2005 and, apart from a few very simple examples, e.g., series-parellel graphs, there are no known tractable cases, nor are there any good reasons to believe the problem to be intractable. Moreover, despite several unsuccessful attempts, there has been no progress made on the question of approximability. Indeed, this problem was considered to be one of the more difficult open problems in approximate counting since long before the complexity of exact counting was resolved. By considering a randomised input model, we are able to show that a very simple algorithm can sample or approximately count the Euler tours of almost every d-in/d-out directed graph in expected polynomial time. Then, we present some partial results towards showing that this algorithm can be used to sample or approximately count the Euler tours of almost every 2d-regular graph in expected polynomial time. We also provide some empirical evidence to support the unproven conjecture required to obtain this result. As a sideresult of this work, we obtain an asymptotic characterisation of the distribution of the number of Eulerian orientations of a random 2d-regular graph.

Orientador: Celmar Guimarães da Silva / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Tecnologia / Made available in DSpace on 2018-08-23T22:48:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MarcheteFilho_JoaoRubens_M.pdf: 10431540 bytes, checksum: 5b2b14817538f82611b82878238e256c (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: A utilização de grafos acíclicos direcionados permite a representação gráfica de estruturas hierárquicas, o que facilita encontrar padrões e tendências durante a análise dessas estruturas. A principal abordagem de desenho automático desses grafos divide seus vértices em camadas, de tal modo que as arestas sempre apontem para uma mesma direção. Um dos principais critérios estéticos dessas estruturas visuais é evitar, sempre que possível, o cruzamento entre arestas, facilitando assim o entendimento do desenho. Os algoritmos de redução de cruzamentos devem também prover essa solução em um tempo inferior a 0,1 segundo, tornando mais apropriada sua utilização em estruturas visuais interativas. Nesta dissertação, pesquisou-se como uma estrutura de dados conhecida por árvore PQR poderia ser utilizada a fim de aperfeiçoar dois métodos de redução de cruzamentos: BC e MEDIAN. Dentre os novos métodos desenvolvidos, destacaram se: PQR_BC2 para o aperfeiçoamento do BC; PQR_M2 para o aperfeiçoamento do MEDIAN. Os resultados obtidos através da aplicação dos métodos a pacotes de grafos amplamente utilizados na literatura mostram que os métodos baseados em árvores PQR superaram o método BC e o método MEDIAN, com relação à redução de cruzamentos, em 42% dos casos, empatando nesse critério em 45% dos grafos analisados. Além disso, os métodos baseados em árvores PQR também executaram em um tempo viável para aplicação em estruturas visuais interativas / Abstract: The use of directed acyclic graphs allows the graphical representation of hierarchical structures, which eases to find patterns and trends during the analysis of these structures. The main approach to automatic design of these graphs divides its vertices in layers so that the edges always point toward the same direction. One of the major aesthetic criteria of such visual structures is to avoid, whenever possible, the crossing between the edges, thereby facilitating the understanding of the drawing. The crossing reduction algorithms must also provide this solution in a time less than 0.1 second, allowing its use in interactive visual structures. In this dissertation, was investigated as a data structure known as PQR tree could be used to improve both methods for reducing crossings: BC and MEDIAN. Among the new methods developed, stood out: PQR_BC2 for improvement of BC; PQR_M2 for improving the MEDIAN. The results obtained by applying the methods to packets of graphs widely used in the literature show that the methods based on PQR trees outperformed the BC method and the MEDIAN method, with respect to the crossing reduction, in 42% of cases, tying this criterion in 45% of the graph analyzed. In addition, methods based on PQR trees also performed at a feasible time for application to interactive visual structures / Mestrado / Tecnologia e Inovação / Mestre em Tecnologia

Orientadores: Célia Picinin de Mello, Christiane Neme Campos / Texto em português e inglês / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-25T12:30:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Luiz_AtilioGomes_M.pdf: 1439406 bytes, checksum: e2dc07f910b1876087a8f61428919e30 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O problema da coloração total semiforte foi introduzido por Zhang et al. por volta de 2005. Este problema consiste em associar cores às arestas e aos vértices de um grafo G=(V(G),E(G)), utilizando o menor número de cores possível, de forma que: (i) quaisquer dois vértices ou duas arestas adjacentes possuam cores distintas; (ii) cada vértice tenha cor diferente das cores das arestas que nele incidem; e, além disso, (iii) para quaisquer dois vértices adjacentes u,v pertencentes a V(G), o conjunto das cores que colorem u e suas arestas incidentes é distinto do conjunto das cores que colorem v e suas arestas incidentes. Denominamos esse menor número de cores para o qual um grafo admite uma coloração total semiforte como número cromático total semiforte. Zhang et al. também determinaram o número cromático total semiforte de algumas famílias clássicas de grafos e observaram que todas elas possuem uma coloração total semiforte com no máximo Delta(G)+3 cores. Com base nesta observação, eles conjeturaram que Delta(G)+3 cores seriam suficientes para construir uma coloração total semiforte para qualquer grafo simples G. Essa conjetura é denominada Conjetura da Coloração Total Semiforte e permanece aberta para grafos arbitrários, tendo sido verificada apenas para algumas famílias de grafos. Nesta dissertação, apresentamos uma resenha dos principais resultados existentes envolvendo a coloração total semiforte. Além disso, determinamos o número cromático total semiforte para as seguintes famílias: os grafos simples com Delta(G)=3 e sem vértices adjacentes de grau máximo; os snarks-flor; os snarks de Goldberg; os snarks de Blanusa generalizados; os snarks de Loupekine LP1; e os grafos equipartidos completos de ordem par. Verificamos que os grafos destas famílias possuem número cromático total semiforte menor ou igual a Delta(G)+2. Investigamos também a coloração total semiforte dos grafos tripartidos e dos grafos equipartidos completos de ordem ímpar e verificamos que os grafos destas famílias possuem número cromático total semiforte menor ou igual a Delta(G)+3. Os resultados obtidos confirmam a validade da Conjetura da Coloração Total Semiforte para todas as famílias consideradas nesta dissertação / Abstract: The adjacent-vertex-distinguishing-total-colouring (AVD-total-colouring) problem was introduced and studied by Zhang et al. around 2005. This problem consists in associating colours to the vertices and edges of a graph G=(V(G),E(G)) using the least number of colours, such that: (i) any two adjacent vertices or adjacent edges receive distinct colours; (ii) each vertex receive a colour different from the colours of its incident edges; and (iii) for any two adjacent vertices u,v of G, the set of colours that color u and its incident edges is distinct from the set of colours that color v and its incident edges. The smallest number of colours for which a graph G admits an AVD-total-colouring is named its AVD-total chromatic number. Zhang et al. determined the AVD-total chromatic number for some classical families of graphs and noted that all of them admit an AVD-total-colouring with no more than Delta(G)+3 colours. Based on this observation, the authors conjectured that Delta(G)+3 colours would be sufficient to construct an AVD-total-colouring for any simple graph G. This conjecture is called the AVD-Total-Colouring Conjecture and remains open for arbitrary graphs, having been verified for a few families of graphs. In this dissertation, we present an overview of the main existing results related to the AVD-total-colouring of graphs. Furthermore, we determine the AVD-total-chromatic number for the following families of graphs: simple graphs with Delta(G)=3 and without adjacent vertices of maximum degree; flower-snarks; Goldberg snarks; generalized Blanusa snarks; Loupekine snarks; and complete equipartite graphs of even order. We verify that the graphs of these families have AVD-total-chromatic number at most Delta(G)+2. Additionally, we verify that the AVD-Total-Colouring Conjecture is true for tripartite graphs and complete equipartite graphs of odd order. These results confirm the validity of the AVD-Total-Colouring Conjecture for all the families considered in this dissertation / Mestrado / Ciência da Computação / Mestre em Ciência da Computação

O Problema do Multicorte Dirigido Mínimo é um problema clássico em otimização combinatória. Ele é NP-difícil mesmo para instâncias muito simples. Este trabalho faz uma análise dos algoritmos exatos e de aproximação para resolver o problema. Também implementa alguns desses algoritmos e compara seus desempenhos. / The directed multicut problem is a classical problem in combinatorial optimization. It is NP-hard even for very simple families of instances. This work makes an analysis of the exact and approximation algorithms for the problem. It also implements some of these algorithms and compares their performances.

O Problema do Multicorte Dirigido Mínimo é um problema clássico em otimização combinatória. Ele é NP-difícil mesmo para instâncias muito simples. Este trabalho faz uma análise dos algoritmos exatos e de aproximação para resolver o problema. Também implementa alguns desses algoritmos e compara seus desempenhos. / The directed multicut problem is a classical problem in combinatorial optimization. It is NP-hard even for very simple families of instances. This work makes an analysis of the exact and approximation algorithms for the problem. It also implements some of these algorithms and compares their performances.

Made available in DSpace on 2016-12-23T14:33:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Kamila Ribeiro Ghidetti parte 1 p 1-60.pdf: 1277319 bytes, checksum: 04f11c251510276dd05a0c29559e9cb9 (MD5) Previous issue date: 2011-07-13 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A análise da influência dos algoritmos de reordenamento de matrizes na resolução de sistemas lineares utilizando os m´métodos iterativos não estacionários GMRES e Gradiente Conjugado, ambos com e sem precondicionamento, é o objeto de estudo desse trabalho. Os algoritmos mais referenciados na literatura para reordenamento de matrizes são Reverse Cuthill-McKee (RCM), Gibbs-Poole-Stockmeyer (GPS), Nested Dissection (ND) e Espectral (ES). Neste trabalho esses algoritmos foram analisados e algumas modificações foram propostas. Todos os algoritmos e suas versões modificadas foram implementados e comparados quanto a qualidade de solução (minimização de largura de banda e minimização de envelope) e tempo de execução. Além disso, os sistemas lineares associados as matrizes esparsas são resolvidos via m´métodos iterativos tipo Krylov precondicionados. Os precondicionadores analisados nesse estudo são baseados na fatoração LU incompleta. Para os testes computacionais é considerado um conjunto de matrizes estruturalmente simétricas oriundas das mais diversas áreas do conhecimento. Nossos estudos concluem que o reordenamento das matrizes, na maioria dos casos, reduz o numero de iterações dos métodos iterativos, entretanto a redução do tempo de processamento é dependente da dimensão e do condicionamento da matriz / This work analyzes the influence of matrices reordering algorithms on solving linear systems using non-stationary iterative methods GMRES and Conjugate Gradient, both with and without preconditioning. The algorithms referenced most often in the literature for the reordering of matrices are Reverse Cuthill-McKee (RCM), Gibbs-Poole-Stockmeyer (GPS), Nested Dissection (ND) and Spectral (ES). We analyze these algorithms and propose some modifications comparing their solution qualities (minimizing bandwidth and minimizing envelope) and CPU times. Moreover, the linear systems associated with sparse matrices are solved via preconditioned Krylov-type iterative methods considering the incomplete LU factorization preconditioners. For the computational tests, we consider a set of structurally symmetric matrices that can come from various fields of knowledge. We conclude that the reordering of matrices, in most cases, reduces the number of iterations in the iterative methods, but the reducing of the CPU time depends on the size and conditioning of the matrix