Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.

Cette thèse traite d'une part, de questions de gestion, de mesure et de transfert du risque et d'autre part, de problèmes d'analyse stochastique à sauts avec incertitude de modèle. Le premier chapitre est consacré à l'analyse des intégrales de Choquet, comme mesures de risque monétaires non nécessairement invariantes en loi. Nous établissons d'abord un nouveau résultat de représentation des mesures de risque comonotones, puis un résultat de représentation des intégrales de Choquet en introduisant la notion de distorsion locale. Ceci nous permet de donner ensuite une forme explicite à l'inf-convolution de deux intégrales de Choquet, avec des exemples illustrant l'impact de l'absence de la propriété d'invariance en loi. Nous nous intéressons ensuite à un problème de tarification d'un contrat de réassurance non proportionnelle, contenant des clauses de reconstitution. Après avoir défini le prix d'indifférence relatif à la fois à une fonction d'utilité et à une mesure de risque, nous l'encadrons par des valeurs facilement implémentables. Nous passons alors à un cadre dynamique en temps. Pour cela, nous montrons, en adoptant une approche par point fixe, un théorème d'existence de solutions bornées pour une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs dans la suite) avec sauts et à croissance quadratique. Sous une hypothèse additionnelle classique dans le cadre à sauts, ou sous une hypothèse de convexité du générateur, nous établissons un résultat d'unicité grâce à un principe de comparaison. Nous analysons les propriétés des espérances non linéaires correspondantes. En particulier, nous obtenons une décomposition de Doob-Meyer des surmartingales non-linéaires ainsi que leur régularité en temps. En conséquence, nous en déduisons facilement un principe de comparaison inverse. Nous appliquons ces résultats à l'étude des mesures de risque dynamiques associées, sur une filtration engendrée à la fois par un mouvement brownien et par une mesure aléatoire à valeurs entières, à leur repésentation duale, ainsi qu'à leur inf-convolution, avec des exemples explicites. La seconde partie de cette thèse concerne l'analyse de l'incertitude de modèle, dans le cas particulier des EDSRs du second ordre avec sauts. Nous imposons que ces équations aient lieu au sens presque-sûr, pour toute une famille non dominée de mesures de probabilités qui sont solution d'un problème de martingales sur l'espace de Skorohod. Nous étendons d'abord la définition des EDSRs du second ordre, telles que définies par Soner, Touzi et Zhang, au cas avec sauts. Pour ce faire, nous démontrons un résultat d'agrégation au sens de Soner, Touzi et Zhang sur l'espace des trajectoires càdlàg. Ceci nous permet, entre autres, d'utiliser une version quasi-sûre du compensateur de la mesure des sauts du processus canonique. Nous montrons alors un résultat d'existence et d'unicité pour notre classe d'EDSRs du second ordre. Ces équations sont affectées par l'incertitude portant à la fois sur la volatilité et sur les sauts du processus qui les dirige.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section. / This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options.