Voronoi diagrams are partitions of a metric space into Voronoi cells according to distance from points on some set w.r.t. some distance. In this thesis we examine Voronoi diagrams of manifolds and varieties w.r.t. the Wasserstein distance from probability theory. We give some upper and lower bounds on the dimension of Voronoi cells based on the geometry of the manifolds and Wasserstein distance balls. We provide an upper bound on the number of full-dimensional Voronoi cells of algebraic varieties and show examples of the bound being tight. / Voronoi diagram är partitioner av ett metriskt rum i Voronoiceller enligt avstånd från punkter på någon mängd med avseende på ett visst mått. I den här avhandlingen undersöker vi Voronoidiagram för mångfald och varieteter med avseende på Wasserstein avstånd från sannolikhetsteori Vi ger några över och nedre gränser för dimensionen på Voronoiceller baserat på geometrin hos mångfalden och avståndsklot med Wasserstein mått. Vi presenterar en övre gräns för antalet fulldimensionella Voronoiceller för algebraiska varieteter och visar exempel på när gränsen är strikt.

Bacterial chemotaxis refers to bacteria's way of moving towards more hospitable environment. The bacteria does this by taking point-wise measurements of the amount of chemical attractants/repellents in its surroundings and comparing them, using the bacteria's built in "memory" the methylation level, to determine if the current direction is good or not. One of the first models to simulate E.coli bacteria undergoing chemotaxis by solving a differential equation was created by Yuhai Tu.The subject of this paper is to study how quickly bacteria can react and adapt to changes in its environments and how that model is affected by changes of the methylation level.How quickly the bacteria can react and adapt will be studied by estimating the time constant of the system. How sensitive the model is, with regards to the methylation level, will be studied by constructing a phase plane and by doing a sensitivity analysis.The estimated time-constant comes between 0.4 and 1.4 seconds.The relative speed of reaction and adaptation comes from the bacteria using its memory to decide if the current direction is good or not. When using the model with high changes in concentration the model seems to coincide with experimental data and theoretical knowledge. With high changes in the amount of concentration, the model fits well with experimental data and theory. It has a stable state at 0.333 and has perfect adaptation. The long-term behavior of the model is not changed by small changes of the methylation level but it is sensitive with regards to uncertainty in how the methylation works. A small uncertainty in methylation process induces a lot of uncertainty in the output of the model.When working with smaller changes of concentrations, the model does not seem to fit with experimental data.The model seems too sensitive to small changes in chemical attractants, which has the effect of the bacteria never leaving the steady state. This problem is probably due to a lack of understanding of the methylation process.Overall further studies of methylation process is needed, either to strengthen our belief in the current estimation or to find a better estimation of the rate of change for the methylation. This holds especially true considering that the model doesn't coincide with experimental data if the change in concentration is too small. / Bakteriell kemotaxis är bakteriers sätt att röra sig mot mer fördelaktiga omgivningar. Det görs genom att bakterien tar punktvisa mätningar och jämför de med varandra för att kunna avgör om den nuvarande riktningen är fördelaktig eller inte. För att kunna jämföra den nuvarande omgivningen mot tidigare omgivningar använder sig bakterien av sitt "minne" som skapas av en kemisk process kallad metylering.En av de första modellerna för att studera E.coli kemotaxis skapades av Yuhai Tu.Målet med den här uppsatsen är att studera hur snabbt bakterier kan reagera och anpassa sig till nya omgivningar och hur mycket Tu:s modell påverkas av förändringar och osäkerhet kring metylerings nivån. Bakteriers anpassningsförmåga till sina omgivningar studeras genom att uppskatta modellens tidskonstant och metyleringsnivåns påverkan på modellen studeras genom att göra en fas-plan analys och en känslighetsanalys.Tidskonstanten upmättes till mellan 0.4 och 1.4 sekunder.Denna snabba förmåga att anpassa sig till sina omgivningar krävs när bakterien ska avgöra om den nuvarande riktningen är bra eller inte. När modellen används med stora förändringar i mängden lockämne så stämmer den väl överens med experimentella resultat och vår teoretisk förståelse av kemotaxis processen.Med stora koncentrationsförändringar stämmer modellen väl överens med teori. Den ger en stabil lösning för systemet på 0.333 och bakterien får perfekt anpassning. Modellens långtidsbeteende påverkas inte av metyleringsnivån men modellen är känslig för förändringar i hur metyleringsprocessen fungerar. Känslighetsanalysen visar att lite osäkerhet i hur metyleringsprocessen fungerar skapar mycket osäkerhet för modellen .För små koncentrationsförändringar fungerar modellen inte.Modellen verkar för känslig mot små förändringar i mängden kemikalier, vilket leder till att modellen aldrig lämnar dess stabila lösning. Det här problemet skapas av osäkerhet om hur metyleringsprocessen fungerar.Vidare studier angående hur metyleringsprocessen fungerar krävs, antingen för att stärka tron i den nuvarande uppskattningen eller för att förbättra uppskattningen av den. Slutsatsen stärks av att modellen inte verkar fungera för små förändringar i mängden kemikalier.

A big focus of the Automotive Industry’s work is now on the development ofAutonomous Vehicles (AVs). In order to be able to release them on the market,they need to be tested and validated in a safe and efficient way. That is whycompanies working on the development of AVs use simulation to test the workthey are completing. Before putting an Autonomous Vehicle on any road, itwould be ideal to make sure, it will be able to navigate through the given roadsafely and react to everything that has ever happened on this road. What ismore, for the Autonomous Vehicle to be safely on the roads, it should also beable to react to uncommon situations, not seen exactly in the data it was trainedon before. In this thesis, the focus is on trajectories and their variations. Theaim of this work is to develop a framework, which would allow, having discretedata of traffic participants from chosen locations, to model the trajectories ofthose vehicles and the variations of those trajectories. This is to help withthe testing of Autonomous Vehicles in a simulation environment. The data,which is used to develop this method are from an intersection in Denmark,however, it is believed the method can be applied to data from anywhere,as long as it contains information about x and y coordinates of the vehiclesand the corresponding times of the vehicles being at those positions. In thiswork, only trajectories of cars are considered, but again other vehicles can betaken into account in the future. First, vehicle trajectories from given data aremodelled with the use of B-splines. The routine is set up as a constrainedoptimization problem with seven different constraints developed for a car.The constraints are highly nonlinear and therefore a constrained nonlinearoptimization problem is solved. The chosen method for this is the interior-pointmethod. After obtaining the approximation of the trajectory in the Bsplineform, a variation of it is achieved through the change of the speed of thevehicle and its initial position. A projection of the required velocity change onthe derivative of B-spline basis space is calculated and then a new variation ofthe original approximated trajectory in B-spline form is obtained. The methodwas implemented in Matlab and successfully used to approximate and varytrajectories from a dataset from an intersection in Denmark, Aalborg. / En stor del av fordonsindustrins arbete fokuserar i dagsläget på utvecklingenav självstyrande fordon. För att självstyrande fordon ska kunna komma utpå marknaden behöver de dock först testas och valideras på ett säkert ocheffektivt sätt. De företag som arbetar med utveckling av självstyrande bilaranvänder sig därför av simulering för att examinera det genomförda arbetet.Det optimala är att kunna säkerställa att ett självstyrande fordon kan navigerasig genom den angivna vägen och reagera på allt som någonsin hänt på vägeninnan fordonet de facto används på en väg. Därutöver, för att självstyrandefordon ska vara säkra på vägen, behöver de kunna reagera på oförutsebarasituationer som inte framgår av lagrade uppgifter dessförinnan. Förevarandeuppsats fokuserar på banor och deras variationer. Uppsatsens syfte är attutveckla ett ramverk som skulle göra det möjligt att, med hjälp av diskretauppgifter från trafikdeltagare på utvalda platser, modellera banorna för fordonsamt dess variationer. Detta för att underlätta tester av självstyrande fordoni en simuleringsmiljö. Uppgifterna som används för att utveckla en sådanmetod kommer från en korsning i Danmark. Metoden skulle samtidigt kunnatillämpas på uppgifter från vilken plats som helst, förutsatt att den innehållerinformation om x och x-koordinater från fordon samt tidsfrister under vilkafordon befinner sig i dessa positioner. Det här arbetet fokuserar enbart bilbanor,men även andra fordon kan tas i anspråk i framtiden.Först modelleras fordonsbanor utifrån lämnade uppgifter genom att användaB-spline. Rutinen är uppbyggd som ett begränsat optimeringsproblem med sjuolika begränsningar utvecklade för bilar. Begränsningarna är mycket olinjära,vilket loser ett begränsat olinjärt optimeringsproblem. Metoden som användsär den så kallade interior-punkt-metoden. Efter att ha erhållit en ungefärligbild av banan i B-splineformen uppnås en variation av banan. Detta genomatt fordonets hastighet och dess initiala position ändras. En projektion av denerfordeliga hastighetsändringen på derivatan av B-spline basis space beräknas.Därefter erhålls en ny variation av den ursprungliga ungefärliga banan i Bsplineform.Metoden har tidigare med framgång använts för att approximeraoch variera banor från ett dataset från en korsning i Aalborg, Danmark.

Benford’s Law describes a profound behavior that the leading digits of many quantities arising from mathematics, physics, finance, and engineering exhibit. In this text we prove Benford’s Law for the absolute value of the characteristic polynomial det (U-λI) of the CUE(N) as N →∞.  Our analysis produces an integrable bound for the characteristic function of log | det (U - λI|. / Benfords lag beskriver ett djupgående förhållande, vilket utövas av dem första siffrorna av många kvantiteter som uppstår i matematik, fysik, finansvetenskap och teknik. I den här texten bevisar vi Benfords lag för absolutbeloppet av CUE(N) karakteristiska plynomet det (U-λI) när N →∞. Vår analys ger en integrerbar övre gräns för den karakteristiska funktionen av log | det (U - λI|.

Model-Based Systems Engineering (MBSE) is the process of developing a set of system models that help define, design and document a system under development. These models provide an efficient way to explore, update, and communicate system perspectives to stakeholders, while eliminating dependence on traditional documents. It is also a cost-effective way to test and explore new system characteristics by testing early and getting feedback on different design decisions fast. Saab Surveillance has developed a version of MBSE to create system models for Saab's products. These models are made in the modelling tool Rhapsody Architect for SYstems Engineers [1] and use SysML as modelling language. With the evolution of electronic warfare systems, the complexity of these system models escalate progressively. This gives a great need for model validation and simulation in order to verify and improve systems both in the start and under development. The purpose of this thesis was to examine the possibility of validating and simulating the system models created in the business unit EW Systems at Saab Surveillance. The examination included a validation of the EW-MBSE system design and a suggestion of modelling modifications and tools needed in order to be able to simulate the MBSE models in early stages. The result showed that EW-MBSE is an accurate modelling method that does not need many modifications in order to support model validation and simulation. AS for the modelling tools, Rhapsody Designer for Systems Engineers [2] is a suitable choice for functional perspectives. Furthermore, it should be possible to supplement the MBSE models with mathematical models in Simulink [11] and integrate them in Rhapsody for continuous simulations. However, this was not possible to implement in this thesis because of reason described in chapter 4.1.3. / MBSE (Modellbaserad systemteknik) är processen att utveckla systemmodeller som hjälper till att definera, designa och dokumentera system under utveckling. Dessa modeller ger ett effektivt sätt att utforska, uppdatera och kommunicera systemaspekter till intressenterna, samtidigt som den traditionella dokumenthanteringen undivks. Dessutom är det ett kostnadseffektivt sätt att testa och utforska nya systemegenskaper genom att testa tidigt och få feedback om olika designbeslut snabbt. Saab Surveillance har utvecklas en egen version av MBSE för att skapa systemmodeller för Saabs produkter. Dessa modeller är gjorda i modelleringsverktyget Rhapsody Architect for Systems Engineers [1] och använder SysML som modelleringsspråk. Den ökade utvecklingen av elektroniska krigsföringssystem höjer komplexiteten av dessa systemmodeller successivt. Detta ger ett stort behov av modellvalidering och simulering för att verifiera och förbättre dessa system i början och under utveckling. Syftet med denna avhandling var att undersöka möjligheten att kunna simulera MBSE modeller som används av affärsenheten EW Systems på Saab Surveillance. Undersökningen omfattade en validering av affärsenhetens implementation av MBSE: EW-MBSE-systemdesign samt ett förslag på modellmodifieringar och modelleringsvertyg som behövs för att kunna genomföra en simulering av dessa modeller. Resultated visade att EW-MBSE är en bra modelleringsmetod som inte behöver många modifieringar för att kunna stödja modellvalideringar och simuleringar. Det lämpliga valet för systemdesignaspekternas simuleringsverktyg är Rhapsody Designer for Systems Engineers [2]. Dessutom borde det vara möjligt att komplettera MBSE modellerna med matematiska modeller i Simulink [11] och integrera de i Rhapsody för mer kontinuerliga simlueringar. Däremot var det inte möjligt att implementera detta i denna avhandling p.g.a. anledningar beskrivna i kapitel 4.1.3.

No description available.

The rise of battery driven technology and the strive towards circular economy calls for the indefinite recycling of metals used in batteries. To be able to study and optimize the processes used in recycling, mathematical models are required. One way of recycling metals is to leach them into an acid, this solution is then mixed with an anti-solvent to induce cryztallization of the metal. The resulting crystals can then be retrieved and further processed. This type of process is also used in the pharmaceutical industry to crystallize medicines. A mathematical model and a solver has been developed at KAIST (Korean Advanced Institute of Science and Technology) called multiphase particle-in-cell coupled with population balance equation (MP-PIC-PBE) that can model anti-solvent crystallization in pharmaceuticals. This paper provides a thorough description on the governing mathematical equations as well as the numerical framework used to solve them. A study of the discretization of the internal coordinates is performed to determine the appropriate discretization. Further the associated CFD-solver implemented in OpenFOAM is applied to simulate the mixing of a solution of lovastatin in methanol being mixed with pure water as an anti-solvent. The geometry is a 2 dimensional T-shaped mixer. For the simulation results presented here, the Reynolds number based on the injected solution is kept constant at 4000 while four different solution temperatures are considered. Finally, the paper concludes with a discussion of the model and solver, and some recommendations for future work are provided. / Uppkomsten av batteridriven teknik och strävan mot en cirkulär ekonomi kräver en oändlig återvinning av metaller som används i batterier. För att kunna studera och optimera processerna som används vid återvinning krävs matematiska modeller. Ett sätt att återvinna metaller är att lösa upp dem i en syra; denna lösning blandas sedan med ett antilösningsmedel för att framkalla att den lösta metallen kristalliseras. De resulterande kristallerna kan sedan tas bort och ytterligare bearbetas. Denna typ av process används även inom läkemedelsindustrin för att kristallisera mediciner. En matematisk modell och en lösare har utvecklats vid KAIST (Korean Advanced Institute of Science and Technology) som kallas "multiphase particle-in-cell coupled with population balance equation" (MP-PIC-PBE) som kan modellera kristallisation av mediciner med användning av antilösningsmedel. Denna rapport ger en ingående beskrivning av de bakomliggande matematiska ekvationerna för modellen, samt de numeriska metoder som har använts för att lösa dem. En undersökning av diskretisering av den interna koordinaten genomförs för att fastställa lämplig val av diskretisering. Dessutom tillämpas den samhörande lösaren implementerad i OpenFOAM för att simulera en lösning av lovastatin i metanol som blandas med rent vatten som antilösningsmedel. Dessa simuleringar är utförda i en 2 dimensionell T-formad blandare. För simuleringarna som utfördes hölls Reynolds-talet baserat på den injicerade lösningen konstant på 4000, medan fyra olika temperaturer på lösningen undersöktes. Till sist avslutades rapporten med en diskussion om modellen och lösaren, samt ges några rekommendationer för framtida arbete.

In recent years, data analysis in football has become an essential tool for evaluating the performance of teams and players. A variety of metrics, detecting different properties, are being used to gain the optimal advantage. These metrics have mostly been based on event data, but tracking data is becoming more available, providing a new level of context when incorporated into the models. In this thesis, this effect on passes, the most frequent action in football, have been investigated. This has been done by creating expected threat models, using logistic regression and neural networks, and comparing their performances, with and without tracking data. / Under de senaste åren har dataanalys inom fotboll blivit ett viktigt verktyg för att utvärdera prestationer av lag och spelare. Flera olika modeller som bedömmer olika egenskaper används för att uppnå framgång. Dessa modeller har huvudsakligen konstruerats med data baserad på händelser som involverar bollen, men på sistone har data som även innehåller spelares positioner och rörelser blivit mer tillgänglig, vilket förser modellerna med mer kontext. I det här arbetet har en undersökning av positionsdatans påverkan på passningar genomförts. Detta har gjorts genom att skapa expected threat modeller, med hjälp av logistic regression och neurala nätverk, och jämföra hur väl de presterar med och utan positionsdatan.

We introduce a new, accurate, stable, and divergence-free cut finite element discretization for the Stokes interface problem. The method is based on the Brezzi-Douglas-Marini-elements (\textbf{BDM}-elements). We provide analysis to demonstrate that the proposed scheme results in a pointwise divergence-free velocity field, and we prove consistency, continuity, coercivity, and an inf-sup result.  Additionally, we present three numerical experiments that support the theoretical results. We utilize the element pair $(\textbf{BDM}_1, Q_0)$, that is, \textbf{BDM}$_1$-elements for the velocity and piecewise constant polynomials for the pressure. These numerical experiments show that the method is robust and attains an optimal convergence order of two for the velocity and one for the pressure / Vi introducerar en ny, noggrann och divergensfri finita element diskretisering för Stokes ekvationer i fallet där det finns ett gränssnitt som skär genom nätet. Metoden är baserad på Brezzi-Douglas-Marini-elementen (\textbf{BDM}-element). Vi visar att våran metod resulterar i ett punktvis divergensfritt hastighetsfält, och vi bevisar konsistens, kontinuitet, koercitivitet och ett inf-sup-resultat. Dessutom presenterar vi tre numeriska experiment som stödjer de teoretiska resultaten. Vi använder elementparet $(\textbf{BDM}_1, Q_0)$ det vill säga \textbf{BDM}$_1$-element för hastigheten och styckvis konstanta polynom för trycket. De numeriska experimenten visar att metoden är robust och har konvergensordning två för hastigheten och ett för trycket

Model order reduction techniques are a powerful tool to ease the computational burden of simulating complex systems. By reducing the dimensionality of high-fidelity models, while preserving essential system dynamics, model order reduction enables faster and more efficient simulations without compromising accuracy. This reduction in computational complexity enables sensitivity analysis, optimization, and control design of complex systems making it particularly beneficial for time-critical applications that require real-time or near-real-time simulations. Projection-based model order reduction is a prominent rechnique in the field of model order reduction which involves constructing a reduced basis from the original system and projecting the system dynamics onto a small number of generalized states. A popular method for nonlinear systems is the Proper Orthogonal Decomposition which computes this basis based on pre-computed snapshots of the solution in an offline stage. However, unless the reduced operators can be pre-computed, the cost of projection-based model order reduction still scales with the size of the high-fidelity model and potentially fails to yield significant computational improvements. Until recently, most methods for reducing the evaluation costs of nonlinearities relied on empirical methods, like the Empirical Interpolation Method, which operate on the continuous formulation. COMSOL Multiphysics has a clear separation between the continuous formulation, with its direct access to the weak form, and the discretization, hidden in the core code. While this software enables flexible nonlinear extensions and modifications of the problem, this design makes equation-based model order reduction on the continuous level challenging. The objective of this thesis is to assess the feasibility of implementing state-of-the-art nonlinear model order reduction techniques within COMSOL Multiphysics. Numerical experiments are conducted to validate and evaluate the effectiveness of the proposed techniques. Furthermore, we propose in this thesis a method to stabilize general saddle point problems, which has been successfully tested on a structural mechanics problem involving a nearly incomplressible nonlinear material. / Tekniker för reduktion av modellordning är ett kraftfullt verktyg för att minska beräkningsbördan vid simulering av komplexa system. Genom att minska dimensionaliteten hos modeller med hög precision, samtidigt som den viktiga systemdynamiken bevaras, möjliggör modellorderrudktion snabbare och effektivare simuleringar utan att kompromissa med precisionen. Denna minskning av beräkningskomplexiteten möjliggör känslighetsanalys, optimering och kontrolldesign av komplexa system, vilket gör det särskilt fördelaktigt för tidskritiska applikationer som behöver realtids- eller nästan realtidssimuleringar. Projektionsbaserad modellordningsreduktion är en framstående teknik inom området modellordningsreduktion som innebär att man konstruerar en reduceras bas från det ursprungliga systemet och projekterar systemdynamiken på ett litet antal generaliserade stater. En populär metod för olinjära system är Proper Orthogonal Decomposition som beräknar denna bas baserat på förberäknade snapshots av lösningen i ett offline-steg. Men om inte de reducerade operatörerna kan förberäknas, ökar kostnaden för proektionsbaserad reduktion av modellordningen fortfarande med storleken på high-fidelity-modellen och potentiellt misslyckas med att ge signifikanta beräkningsförbättringar. Fram till nyligen har de flesta metoder för att minska konstnaderna för utvärdering av olinjäriteter förlitat sig på empiriska metoder, som den Empirical Interpolation Method, som arbetar med den kontinuerliga formuleringen. COMSOL Multiphysics har en tydlig separation mellan den kontinuerliga formuleringen, med direkt tillgång till den svaga formen, och diskretiseringen, som är dold i kärnkoden. Även om denna programvara möjliggör flexibla olinjära tilläff och modifieringar av problemet, gör denna design ekvationsbaserad modellorderreduktion på den kontinuerliga nivån utmanande. Syftet med denna uppsats är att bedöma möjligheten att implementera toppmoderna tekniker för reduktion av olinjär modellordning inom COMSOL Multiphysics. Numeriska experiment genomförs för att validera och utvärdera effektiviteten hos de föreslagna teknikerna. Dessutom föreslår vi i denna avhandlning en metod för att stabilisera generella sadelpunktsproblem, som framgångsrikt har testats på ett strukturmekaniskt problem som involverar ett nästan inkompressibelt olinjärt material.